Si les liaisons du système sont fonctions du temps t
; dx dx f dx »
ou
dx' dx
dq't ~ d# t ' cela posé, calculons £, et j^-; nous aurons
,rfr — *L *?L dT dy' dT d£
dg^ dx' dq'i dy' dq\ dz' dq' { ou
dT dT dx dT dy dT dz
dç'i dx' dq { dy' dq t dz' dq t En outre,
dT dTdx[ dTdy' dTdz'
dq { dx f dq t dy' dq { dz' dq t Or,
dx' d fdx , dx f dx \
d fdx\ , d fdx\ , d ldx\
= it \djj "** 9i d^ld^/"*"- ••■*" 9 "d^ld^;/
, dx
^ d 9i dt
par conséquent,
dT dT ~" d^, dT ~ ' dq t dT .dy
dx dt/ dz
e£qr { dx' dt dy' dt dz' dt
Maïs on a
dT I dx dT
* dît | dT ' dqt dx ' ' dx'
— -±1 = -2- -*- / h- etc. ;
dt W/x' dt dq { dt '
d'où , en soustrayant ces deux dernières équations ,
dT
, dT , dT , dT
dq'i dT dx' dx dy' dy
dz dz
dt
dq {
dt dq { dt dq t dt dq
En multipliant par 5q i9 et prenant la somme, il vient
dq'i dT I v
dt
dT
dx
dt
<fcr +
dy'
dt
ty
dT dz'
df
■âz
en vertu de l'équation (3).
Si nous remplaçons aussi dans U, x, y,z, en fonction de q { , . . . q n , nous aurons
enfin , si Ton suppose que le nombre des variables indépendantes le plus petit possible est n, les variations àty seront indépendantes, et il viendra
dT dq'i
dt
dT diï dq f dq {
Les équations, au nombre de n, que Ton déduit de cette dernière, sont les équations fondamentales de la Dynamique.
4. Les équations (4), qui sont dues à Lagrange, sont du second ordre par rapport kt; elles ne sont pas faciles à intégrer dans le plus grand nombre des cas. Mais si Ton introduit de nouvelles variables, en faisant usage de la
tranformation imaginée par Poisson (*) et par Hamillon (**), on pourra les réduire à d'autres qui ne contiennent plus que des dérivées du premier ordre, mais dont le nombre sera doublé. Cette transformation est généralement attribuée à Hamillon, parce qu'il en a déduit des propriétés remarquables sur lesquelles nous reviendrons plus loin.
5. Pour effectuer cette transformation, nous supposerons d'abord un problème dans lequel les liaisons sont indépendantes du temps, et nous aurons
dx
dx dq n
= —q\ dq t
■ + dï n i"
dz dq {
dz dq n
x\ y' y z'* — seront donc des fonctions, homogènes et du premier degré, de q' { , .. q' n . Mais alors, il est évident que la fonction T sera aussi homogène et du second degré par rapport à q f iy .. ç'„.
Cela admis, posons avec Poisson et Hamilton,
dl
wr*> (5)
p { , ... p n étant de nouvelles variables liées aux anciennes par les équations (5). Ces équations sont linéaires en q' { , ... q' n : en effet,. T étant homogène et du second degré par rapport à q' i9 S- sera homogène et du premier degré.
O Poisson, Sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de mécanique, Journal de l'École polytechnique, 15 e cahier, p. 272.
(**) Hamilton, On a gênerai method in dynamics, Philosophical Transactions, 1855, p. 97.
Par suite de ces transformations:
1° Le premier terme de l'équation (4) devient ^.
2° Le second membre ^- ne changera pas, puisque U qui renferme seulement 94 , ... q n est indépendant de q\ , ... q' n9 et par suite de p { , ... p n .
3° Le second terme -g- pris en supposant T fonction de 9i> •• ?n> Qi> - <?'*> changera de forme, et nous nous proposons de chercher ce qu'il devient lorsque T est fonction
de q i9 .. q n9 P{ 9 •• p„.
6. Nous aurons, en vertu du théorème des fonctions homogènes ,
M rfT . dT . T ,
OU
par suite ,
Or, si nous prenons la différentielle totale des deux membres, il vient
dT =pidq\ + p % dq\ -+- ... h- p n cty'„
+ q'idpi + ç'irfpï -*- ... -*- g'„dpn
dT , dT , dT ,
dT dT dT
ou, en réduisant,
dT = fl'tdpt + 9 4 dp, -h .. -*- q n dp n — — dq { — ... — — dq n .
Les coefficients du second membre étant les dérivées partielles de T, nous aurons
dqj dq { dp é * dt
de sorte que, dans la nouvelle hypothèse, les équations du mouvement sont comprises dans les formules
dp, dU dT
dt ~~ dq i dq t '
dq, dT ■ M '
dt dp {
