Démonstration. — 1° L'expression

p { dq t -h p,dq t + ... -*- p n dq n — Kdt ,

est une différentielle exacte : en d'autres termes, les conditions

dp { dp k dp { d(U)

dq k dq t dt dq {

sont vérifiées, (H) désignant le résultat <Je la substitution de p i9 ... p n dans H.

Nous avons vu (n° 1 3) que la condition

équivaut à la condition d'intégrabilité

dpi dp k dq k dq { '

il reste à prouver que la seconde condition

dp, rf(H) dt dq t

a également lieu.

Or, les quantités p i9 ...p„, ayant été déterminées par les équations "(14), la quantité H devient identiquement égale à la constante h, si l'on remplace p { , ... p n par leurs valeurs ; donc

et, comme p< ne contient pas explicitement t, il en résulte que la seconde condition est aussi vérifiée.

En intégrant l'expression (15) nous aurons

V'=V — ht, (10)

'V désignant l'intégrale de l'expression

p i dq l -*- ... -h p n dq n .

2° Les n autres intégrales du problème sont déterminées par les équations

dV' d\

da t da {

dV' d\ J

, da* da<i r

dV' dV l

da n i da n t . '

dV' dV

dh ~ dh ~ ' — "•'

a 4 , ...<x n désignant des constantes arbitraires.

Nous devons pour cela démontrer que les dérivées totales, par rapport à J, de ces équations se -réduisent identiquement à zéro, en vertu des équations (7).

Or, en désignant par i un des nombres 1,2, ... n — l , nous aurons

• da { dt

dV dat dq {

dq { dt dV

dV da { dq n

dq { dR

dq n dt dV

dg n dH

d'où

da ê dpi dH. dpi dp { da {

diii dp n dH dp» -

dp n da { '

dV

dôi d(H)

d£ dai

mais, comme (H) est identiquement égal à A, il en résulte

dV

que

da (

dt

DE LA MÉCANIQUE. * io

Si, maintenant, nous prenons la dérivée par rapport à t de la dernière des équations (17)

d\ f __ dV dh dh

il vient

i dY \ A— ' 1 d— ' d —

dh) L dh J dh dq { " dh dq t

dt dt dq { dt dq u dt

dh

par conséquent, la seconde partie de la proposition est démontrée.

17. Nous pouvons encore remarquer qu'il nest pas même nécessaire de déterminer la fonction V, donnée par la relation

v = fiPidqi -+- - -*■ Pndq n )- (18)

En effet,

si nous

prenons la dérivée par rapport à a^ de

légalité

dpi dp k dq k dq {

il vient

dq k dq { da/x. ddp.

ou bien

day. afifpt

dq k dq {

par suite, au lieu des n équations (17), on aura, pour déterminer les n dernières intégrales du problème, les n équations

AT d ? 4 + AT rf ?« "*■ - •** â," d 9»J =""

ooi ria, «a, /

/"/dp, t/p, d/>„ \

18. Enfin, on peut encore simplifier, ou du moins ramener à un autrç, le problème de la reoherche de la fonction V, telle que

dV' = p i dq l h- ... -4- p n dq n — - Hdf ,

ou de la fonction V, déterminée par l'équation

dV = pidqt + ... h- p n rfg n .

En effet, les valeurs de p i9 ... p„, déduites des équations (14), sont celles qui vérifient les équations

dV' dV^ dV'

dçt ' "" n d</„ d£

par conséquent, la fonction V doit, réduire à une identité l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

dV' / dV' dV'\

d7 •*• H ( ?lî9 ,,... 9n , -,...— )-0, (20)

ou bien, la fonction V doit vérifier l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

/ dV dV\ ,

\ dq t dqj

19. Nous voyons par là que le problème de l'intégration d'un système de 2n équations différentielles simultanées , auquel estTamené un problème de mécanique, lorsque le principe des forces vives est applicable, dépend de la recherche d'une solution complète d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, dans laquelle la fonction inconnue figure seulement par ses dérivées partielles. Cette équation peut toujours être formée facilement : elle n'est autre que l'intégrale des forces vives dans laquelle on a remplacé p l9 ...p n , par les dérivées partielles ^r-, ... sr;>dé la fonction inconnue. Si nous voulions intégrer cette équation aux dérivées partielles, par les méthodes connues, nous devrions intégrer un système de 2w équations différentielles ordinaires, qui serait précisément le système dont nous sommes partis. En apparence donc, nous aurions seulement transformé une question en une autre non moins compliquée. Mais on sait que , pour trouver une intégrale complète de l'équation (21), il n'est pas nécessaire de pouvoir déterminer les 2n intégrales du système (7) : il suffit de trouver une seule de ces intégrales, comme l'a fait remarquer Jacobi dans ses travaux (*) sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

(*) Jacobi , Nova methodus œquationes differentiales partiales primi ordinis integrandi, Journal de Crelle, LX.