Cela posé , on a (n
d'où
M (dV\ „ , (dV\ dV „ ,
et, à cause des équations (8) et (51),
dtl
Gomme H reste constante pendant toute la durée du mouvement (n° 8), V sera une intégrale commune aux deux équations aux dérivées partielles du premier ordre :
(d\\ / dV dV\ A
/rfV\ / . M dV dV\ A ^ 52)
ou O
l* j + T l ? " *' - qn ' V - dJJ = u (? " - g " H g3
/dV\ / dV d\\ ' {
b) + T (*> i°» - ^ If; ■dfj - ° ( *°" - *■>•)
^°i > ••• 9°« étant lefc valeurs initiales de q i9 ... g n .
39. Remarque. — La fonction V jouit donc de la double propriété suivante :
1° Si les positions des points extrêmes sont fixes, le premier terme de (47) est nul ; la variation de cette intégrale
O Hamilton, On. a gênerai method in dynamics, Philosophical Transactions, 1835, p. 100.
est nulle, et cette condition donne les équations différentielles du mouvement, sous la forme (4) assignée par Lagrange.
2° Si les positions extrêmes sont supposées variables, le premier terme de (47) n'est pas nul : on trouve alors pour $V, l'équation transformée (49), laquelle donnera les intégrales des équations différentielles du mouvement.
40. D'après Hamilton, la fonction V devait donc satisfaire à deux équations aux dérivées partielles, tandis que, d après Jacobi, H suffit (n° 29) de trouver une seule intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles, du premier ordre, non linéaire. C'est là le premier grand pas que le géomètre allemand (*) a fait faire à la théorie actuelle.
41. Outre la fonction V, Hamilton en considère une autre S définie par l'équation
Cette fonction jouit de propriétés analogues à celles de la fonction V, et peut lui être substituée, comme nous allons le voir.
En prenant la variation de S, on trouve
<?S = *V -+-(* — 'o) M -*- HM, et, en remplaçant ^V par sa valeur (49),
Si donc l'on considère S comme une fonction de q° { , ... q° n , q { , ... q n , et de II, on aura, après avoir éliminé le temps /, au moyen de l'équation H = T — U, les 2n-h 1 équations
(*) Liouville, Journal de Mathématiques, t. III, p. 79.
DE LA MÉGANIQUE. 37
rfS dS
dq, r dq n dS n dS
dS
lesquelles résoudront le problème lorsque S sera connue.
Or, la fonction S satisfait à une équation aux dérivées
partielles plus simple que la première des équations (53);
en effet, nous avons
et, en remplaçant p { , ... p n , par — , ... j^ , on obtient
m / rfS rfS \
équation qui ne contient pas la fonction inconnue S. 42. La fonction S n'est autre que l'intégrale définie
S = f* Vïdl ; (58)
en effet,
S=.V+H(*-f ), et comme
puisque H reste constante (*) pendant toute la durée du mouvement (n° 8).
Nous aurons donc
s =f (P* d( l* + ••• + Pnàq n ) ; (60)
(*) Bien entendu , en supposant toujours le principe des forces vives applicable.
le second membre est une différentielle exacte, puisqu'il doit se réduire à une fonction de t seulement.
43. Ces deux fonctions V et S qu'Hamilton a introduites, et dont la connaissance permet de déterminer rapidement la solution d'un problème quelconque de mécanique, auquel le principe des forces vives est applicable, ont reçu deux noms. La première, la fonction V, est appelée , la fonction principale du problème : quant à la seconde , la fonction S , elle porte le nom de fonction caractéristique. Si nous observons que
nous aurons
S=f dt^mv*; t.
cette intégrale est celle que Ton considère dans le principe de la moindre action.
RELATIONS ENTRE LES DÉRIVÉES DES VARIABLES PAR RAPPORT AUX CONSTANTES, ET LES DÉRIVÉES DES CONSTANTES PAR RAPPORT AUX VARIABLES.
44. Les équations qui donnent la solution du problème général
peuvent être considérées comme exprimant les variables
DE LA MÉGANIQUE. 39
Pi 9 — P/i? Qi > — Çn y en fonction de t et des 2n constantes, Ou bien les 2n constantes, en fonction de t et des 2n variables
Nous aurons alors les relations suivantes, énoncées pour la première fois par Jacobi (*) ,
dft
dq k
dft
dPk
dp k
dq k
da {
doL {
dq k
da {
dp k
dp k ~~
dfr'
dq k
rfft
45. Pour démontrer la première équation (62), considérons l'intégrale (n° 29)
dV
-r— ft» (63)
dont le premier membre est une fonction de Ci,... q n> a i9 ... a n , £, et remplaçons-y les quantités 94 , ... </„, déduites en fonction de (3 4 , ... (3 n , a i9 ... a n , des équations
dV dV
alors 1 équation (63) deviendra une identité , et sa dérivée par rapport à a v sera nulle. Par suite,
daida v dctfdqi do^, d ( x i dq n d<x v
Or, des équations (36) et (63) , il résulte
(*) Jacobi, Vorlesungen t Uber Dynamik,\>. 397. Notre démonstration diffère un peu de celle de Jacobi.
par conséquent , l'égalité (65) devient-
dp v dp i dq i dp n dq n
d«i d&i da v -dct^ da v
équation qui a lieu pour toutes les valeurs 1 , 2, ... n de t.
Art.'
Multipliant par-^, et faisant la somme pour toutes les valeurs de l'indice t , les indices ï et k restant les mêmes , le premier terme du résultat sera
dQ v d^ d& v da a d$ v da d3 v
doL { dp k datt dp k doi n dp k dp k
en effet, dans l'hypothèse actuelle, % ne renferme pas explicitement p k , '|3. f étant fonction de (/i , <fe, ... q n > a i > ••• a »> t. De même, dans le second terme, g^i sera multiplié par
dpi dai { dp { dot dp { da. n dpi
doc t dp k da. % dp k da n dp k dp k
puisque/)j est exprimé en fonction dé<x l ,a i ,;..a n ,q l , g,,.. .q ny t. Tous les termes suivants sont nuls aussi , excepté le coefficient de ^ , égal à ^ = 1 ; il vient donc
don* 9 ° dp k
dp v dq k dp k dv.?
ce qui démontre la première formule de JacobL
46. Les équations canoniques pont presque symétriques en p et q; pour changer Jes variables les unes dans les autres, il suffira de changer H en — H, de sorte que l'on peut faire dépendre l'intégration du système canonique de l'équation
dW
JdW rfW dW \ A ,„„,
- H t > ^ i "'Âr^^-"'-' , )" a (66)
Une intégrale de l équation (37) étant (n° 25)
V = f l (p K dq K -+- p t dq t h- ... -f- p n dq n — lldt),
une intégrale de l'équation en W (66) sera .
W^/^gr.tfp, -^ q t dp t -*• ... -+- q n dp n -+- Udt); (67)
en ajoutant, nous aurons
