V-f-W = p 1 7, + ...-+- />„<?«', par conséquent
est la solution de l'équation (66) lorsque Ton aura remplacé, dans le second membre, les variables q l9 ... q n , en fonction de p i9 ... p n , au moyen des équations (36). .
47. On peut d'ailleurs vérifier facilement que (68) est une solution de l'équation (66).
En effet, en prenant la dérivée de (68) par rapport à t, on obtient
rfW dV dV dq { ^ *£»
dt dt dq i dt dq a dt
dq t dq n
* » Jï * " + *ltï •
Mais , par hypothèse ,
dV
par suite ,
dW dV
dt dt
De même, prenons les dérivées des deux membres de l'équation (68) par rapport à p t ; observons que V ne ren-
ferme pas explicitement p\ , . . . p„ , mais est fonction de
Qi> ••• ?n» a o ••• a «> et que 9i> •••?/! contiennent p i9 ... p„ ; nous aurons
dW dp,
dV dq { dV dq t dq { dp t dq % dp t
dVdq^ dq n dpi
9i + Pi
dq {
dpt *" dpi
ou bien, à cause de la relation ^- . = />,,
dW
rfV
En substituant les valeurs (70) et (72) de ^ et de q { dans Téquation (37) , on obtient l'équation (66).
48. Dans ce cas, les intégrales du problème, ou des 2n équations simultanées (26), sont
dW dpi dW
dW
dp n
dW
pv
49. Mais il est facile de démontrer que ces constantes (3' sont égales aux constantes (3, en signes contraires.
En effet, la dérivée de (68) par rapport à cl ï nous donne
dW __ dV dV dq t dV dq n
da, daj dgr { da {
<tyn da .
Pi
Pn
d«| rn d<x {
car V contient q iy ... ç n , lesquelles , en vertu des équations
dV
sont fonctions de <%<, ... a„.
X)r, cette équation (74) se réduit à
dW dV
et les intégrales du problème seront les 2n équations
dW dW
*T-*' d^ = ~ ft ' (76)
pour toutes les valeurs 1, 2, ..: n, de *'.
50. Ces dernières nous donneraient, de la même manière que précédemment (n° 45), la deuxième équation de Jacobi
dq k dct-i
5t. Considérons maintenant une fonction U de q l9 ... q n9 Po ••• P»> donnée par 1 équation
a u ... « n étant exprimées en fonction de (3 ... (3 n , au moyen des n équations (64) : cette fonction U est une solution de l'équation (37), et, si nous posons
dU
-— = const., dft
ces constantes sont a,, ... a n , en signes contraires. 82. Si nous calculons ^, et ~, il vient
dU dV dV da f dV da n d« 4 d*„
dt ~ dt + ^ dT"^ "• ■*■ d^ n ir " Pi dT"" '"""■ p " dp
car, V contient a î9 ... a„ qui renferment f, puisque les équations (64) renferment /. Ces mêmes relations (64) transforment cette dernière équation en
De même, V renfermant a,, ... a„ qui contiennent q l9 .~q n9
dU dV dV doL { dq t dq t da t dq {
dV da n da t da n dx n dqi dq { dq<
et, en réduisant,
dqi dq {
Par conséquent, U sera une solution de l'équation (37), U étant exprimée en fonction de q i9 ... q n , (3,, ... (3„, et la solution des équations canoniques sera alors
dU
du
dpi " d 9i
pour les valeurs de i égales à 1, 2, ... n.
