Démontrons actuellement que «',.= — a.. On a

dVda„

dU dV da,

dPi~~ d^ dPi '" doi n dPi

relation qui se réduit à

dU

dft""

da t da,,

p 'd£— "- p «dë;

la solution du problème est donc donnée par les 2n intégrales

dU dU

dy t . d^

De ces équations on déduira facilement la troisième formule de Jacobi .:

da t rfqr*

dp, dpi 54. Enfin , on obtiendra encore une solution Y du pro-

blême en remplaçant dans (77), p par q et réciproquement; les intégrales seront alors

desquelles on déduira la quatrième formule de Jacobi :

d* t dp k

dq k d$ { .

55. Les propriétés que nous avons démontrées dans les n os précédents se résument dans le théorème remarquable suivant :

Théorème. — Soit

une fonction des 2n *•+- 1 quantités q,, ... q n , «i, ... a n , t; au moyen des équations

dV rfV

dV __ dV

exprimons d'abord les quantités q 4 , ... q n , p ... p n , en fonction de a,, ... a n , (3 t , ... (3 n> t, W prenons les dérivées partielles de ces quantités par rapport à a k et (3 4 . Résolvons ensuite ces mêmes équations par rapport à a i9 ... a n , (3|, ... (3 n , en fonction de q 4 , ... q n , pi , ... p n , t, e£ prenons les dérivées partielles par rapport à p< ef q,; nous aurons les quatre relations

dfr^dfa. dpi __ doc k

dcc k dg { *dp k dq,

dq { . d« 4 dq { dft k

d$k dpi d* k dpi