Les équations canoniques étant (n
«ty<__
dt
dpt
dU
dt
dq t *
dans lesquelles
H = F (t,qi, ... q ni p l , ...p„),
nous savons que les intégrales, au nombre de 2n, contiennent 2n constantes arbitraires a 4 , ... a n , (3 4 , ... (3 rt . On peut, comme nous l'avons déjà remarqué (n° 44), les résoudre par rapport aux variables p if ... p n , q i9 ...q n , en fonction de cl { ... a n , (3 4 , ... (3 M , f, ou par rapport aux constantes ««> - *„> Pi, - P„> en fonction de f, ç n ... q n , p ly ... p tt .
Dans la première hypothèse,, il existe une relation due à Lagrange; elle donne
dp { dq { dp { dq t da. dp dp da.
dp n ^9n^Pn <tyn
da. dp dp da
= const.y
ou , sous une forme symbolique ,
[a, p] = const. (83)
57. Démonstration. — Considérons la fonction H, et supposons que Ton y remplace les inconnues en fonction de t, et des 2n constantes, parmi lesquelles se trouvent
DE LA MÉGANIQUE. 47
«, (3 : cela posé, la démonstration repose sur l'identité
dadp — dpda Nous aurons
dH __ dH dq K dH dp, dH d?,, dH dp n
(/a dçr { (/a (Ip x da dq n da dp n da
ou, en vertu des équations canoniques,
dH dpidqi dq i dp i dp n dq n dq H dp n
da dt da dt da dl da dt da
par suite ,
ePH d*p { dq K dp { d?q t dfy dp,
dadp dtdp da dt dddp dtdp da
dq { <Pp l tfp n dq n dp H <Pq n
dt dadp dtdp da dt dadp
d>q n dp { dq n d*p H .
dtdp da dt dadp
nous aurions, de la même manière,
dH dH dq { dH dp { dH dq n dH dp n
dp dq t dp dpi dp ' dq n dp dp H dp
dq { dp i dpt dq H dq H dp t
d'où
dH
dp ~
dp i dq {
Ht dp
et
dt dp dt dp dt dp
d*/?i dq { dpi d*q { d*q t dp t
dpda ~~ dtda dp - dt dpda dtda dp
dq t <Fp t cPp n dq { dp n d*q n
dt dpda dtda dp dt dpda
d?q n dp n dq n d*p n
dtda dp dt dpda
En égalant les deux expressions (85) et (87), on trouve
dtdp dd dtdoi dp dtdp d* dtda dp "*" ' * '
Or, cette expression n'est autre chose que^
on en tire
[a, (3] == const.,
ce qui démontre la proposition. .
58. Il existe un théorème analogue à celui de Lagrange, mais beaucoup plus important : ce théorème, découvert par Poisson (*), suppose les intégrales résolues par rapport aux constantes a, p. On l'énonce ainsi :
Théorème. — Si l'on connaît deux intégrales
résolues par rapport à a, (3, l'expression
d* dp do. dp dd dp d* dp
dq t dp K dp i dq K "" <fy„ dp n dp n dq n
sera constante pendant toute la durée du mouvement. Pour démontrer cette proposition, il suffit de prouver
que •
en vertu des équations canoniques.
(*) Poisson, Sur la variation des constantes arbitraires, etc., Journal de l'École polytechnique, 15 e cahier.
DE LA MÉGANIQUE. 49
On peut le faire par une simple vérification, comme M. Bertrand (*), ou directement comme Jacobi (**), et M. Donkin (***).
59. Avant de passer à la démonstration de cette formule, nous devons faire observer que, d'après la notation de Poisson (n° 11), on a
60. En outre, nous ferons remarquer les deux formules suivantes, faciles à démontrer.
Si Ton désigne par <p, \p, G trois fonctions quelconques des variables t, p { , ... p„ , ç 4 , ... q n , on a (****)
(f. (*,•)) + (M e »ï)) + (Mf>*)) — 0; (93)
si l'on cherche la dérivée partielle de (<p, \p) 9 par rapport à Tune quelconque des variables, t,p i9 ...p n9 q { , ...q„, on aura, en désignant cette variable par f ,
61. Cela posé, nous donnerons la démonstration de M. Donkin, la plus simple et la plus élégante de toutes. Nous aurons, en prenant la dérivée totale de (a, (3) par rapport à t,
(*) Lagrange, Mécanique analytique , 1. 1, note 7.
(**) Jacobi, Vorîesungen iiber Dynamik, pp. 421 et 426.
(***) Donkin, On the differential équations of dynarflics , Philosophical Transactions, 1854.
(****) Donkin , On the differential équations ofdynamics , Philosophical Transactions, 1854, p. 92.
(*****) Idem.
d («, p) = d (a, p) ^ d (*, p) dq g ^ + <*(«,?) cfy. Q dt dt dq { dt dq n dt
d («, p) dp, d (a, p) d/>„ #
dpi dt dp n dt
or, en vertu des équations canoniques, il vient d (a, p) d (a, p) d («, (3) dH d (a, p) dH
dt dt dq { dp { dp { dq {
d (a, p) dH d (*, p) dH
d<7„ dp n dp n dq n
ou bien
. -dr^—dr* ((a ' p) ' H) -
Mais, on sait, d après la relation (94), que la dérivée partielle du second membre est
dt \dt ,p l \'dth
par conséquent, la formule (97) devient
, Puisque les fonctions a, (3 sont des intégrales du système (26), noas aurons (n° 23)
(*) Dans les formules (95), (96), (97) et (98) le d{a ^ du premier membre est une dérivée totale , celui du second membre une dérivée partielle.
DE LA MÉGANIQUE. M
L'équation (98) devient alors
dt
ou, à cause des relations (92),
mais , d après la formule (93) , le second membre de cette dernière équation est nul, et, par conséquent
dt ~" 9 d'où
(a,p) = con*f.,
ce qui démontre la proposition.
62. On peut donner au théorème de Poisson plus de précision : a { et (3. étant deux constantes conjuguées, il
vient
(« t ,p,) = zb4, (99)
tandis que
■(«oM — 0, i
En effet, Ton a
rfa,. rfp 4 doti dp,- da^ dPi da, dp,
dq { dp t dpidqi '" dgf„ dp„ dp n dq n '
ou , en vertu des équations de Jacobi (n° 55) ,
/ c\ ( d *i dQi doL { dp { da. { dq n d^dpA
\a(/4 dct-i dp { doii dq n da { dp n da { /
on déduit de là
doL {
car,
et , en remplaçant dans a, , p et g par leurs valeurs , en fonction de a, (3, /, on a une identité, et la dérivée de a { , par rapport à a., est l'unité.
