Si maintenant, nous supposons avec Poisson
___ rfT rfT dT
S "~rf7' W== ^/' t?== rf6"''
nous aurons, puisque cp' n'entre pas dans les valeurs de p
et q,
__<*T dTe/r
df dr df de même, v// entrant dans p, q, r,
O Poisson, Mémoire sur la variation des constantes arbitraires, Journal de' l'École polytechnique,- 15 e cahier. O Idem.
dT dp dT dq dT dr dp d$' dq dtf dr d$' = Bq cos cos » -4- kp sin e sin y — Cr cos ,
et comme 0' n'entre pas dans r,
dT dp dT dq
u= ^-"d^ = - Apcos? -'- B9S,nf;
ou
A» = (u -t- s cos 0) v cos 9? ,
r v ' sin
Bûf = (w + s cos 0) — h v sin »,
sin
Cr = s.
Par suite,
m 1 r sin 9 ~f
2T = — I (u -4- s cos 6) 'v cos ?
A L ' sin J
ir . cos » . T l
-*---(«-♦- s cos e) h v sin y ) (1 14)
Si nous remplaçons dans cette équation u, v, s, par
dV do
rfV
ety
dV v = — ,
et si nous désignons par U la fonction des forces, et par h la constante des forces vives , le problème sera ramené à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles. du premier ordre
1 f (dV dV \ sin 9 dV "1»
-I — -H — COSe] —COS?
A I \dip d? /sine de J
1 f IdS dV \cos f dV .- I 1 [ /jjvx
"*■ « l"T- "*- i—cos* — h — sin* ) (115)
B[\^ d f /sine de r J [
1 fd\\*
75. L'intégration de cette équation , dans le cas où la fonction U est nulle , c'est-à-dire lorsque le corps est soumis à une impulsion instantanée, se ramène à de simples quadratures.
76. La solution peut alors être présentée de la manière suivante :
Si nous désignons par a, 6, c les cosinus des angles que fait Taxe des x avec les axes €, y , ç, a', 6', c' les angles de Taxe des y avec Ç, y, ç, etc., les trois équations de la conservation des aires nous donnent
Aap -+- Bbq h- Ccr = a,
Aa'p -*- Bb'q -+- Cc'r =p, } (116)
Aa"p -+- B6"9 -+- Cc"r = y.
Or, les formules (VEuler étant
a = cos e sin <// sin ? -+- cos <J» cos ?,
6 = cos e sin <// cos f — cos ^ sin f ,
c == sin sin <£ ,
a' = cos cos </» sin $> — sin ^ cos s,
6' = cos e cos <j< cos y -f- sin </> sin 5?,
c =sinôcos<p,
a" = — sin e sin y,
6"*== — sine cos y,
c" =cos e,
les équations (116) prendront la. forme
.V cos ^
vsm<j/
sin </> sin ô cos«f sin
($ -4- MCOS 0) = a,
(s h- wcos e) = (3,
En faisant la somme des carrés , et observant que
on trouve
«• + 0P + y 1 = JP,
4 j (« -4- « cos e) 1
sin 2
= ft 2 ,
et nous pouvons prendre pour intégrales du problème les trois équations
