ACA

C — (C — A)cos*j' d'où

dk k dk dk (C — A) k* cosj

dh %h d.cosi ' d.cosj 2AC/t

les intégrales du problème seront alors

rfV dh d\

= — r f i> COS i -f- o COS /l -+- / de=t — L,

2fc L * J1 J sine °'

- = & «/.H- / — . rf* = a 4 ,

t I */ Q sin J

dcos rfV (C— A) F cosj

I ^ cos i -«- c? cos / -*- / de I

dcosj 2AC/i [• * J J sin0 J

t/°cos l cos — cos / ~| * ./ Qsinô J f

L'intégrale f ^—^ se présentant sous une forme compliquée, nous pouvons l'éliminer entre la première et la troisième des équations (122); nous aurons

cos i cos B — cos / , « 2 C — A . . . , m ^ v

J dQ=-î — - kcosj. (t— f ); (1 23)

Q sin e k AC

si ensuite nous éliminons \p entre la première et la seconde de ces mêmes équations (122), il vient

tp cos i cos — cos j p sin 0d0~| J Qsine J Q .

J ) 024) 2h , v a 4 COS i

Ces deux dernières (123) et (124) nous donnent

* * sinedô A , . « 4 cos i -+- * 2 cos j ta M

si nous joignons aux équations (124) et (125) la seconde équation (122)

, r p cos j cos — cos t , ~1

**+-/ — ' . a de \=a n

L </ Qsine J

nous aurons, sous une forme simple, les trois intégrales cherchées.

79. Application III. — Mouvement d'un point attiré vers deux centres fixes en raison inverse des carrés des distances, le point se mouvant dans un plan passant par les deux centres.

Prenons le centre pour origine des coordonnées : soit C l'autre centre dont les coordonnées sont a et b; le point mobile m sera attiré vers le centre par la force ^> vers le centre C par la force p- , si nous posons Om = q\ y Cm = ç 2 .

Nous devons calculer la fonction

or,

d'où

xx 1 -*• yy' = q { q\ , (x — o) x' -*- (y — b) y' =.q % q\\

par suite ,

• * (y — 6) — y (x — a) oy — 6x

, xq t q' % — (x — a) ^gr',

En substituant dans ia valeur de T, on obtient

T = * g'«gW% -*- gWig* — 2 ?i? / *w^[y(y — 6) -*- afo— a )] .

2 {ay — bxf '

or, si nous faisons OC = /, nous aurons

= 2x* -+- 2y* — 2fcy — 2ax = q? + qf — P, d'où

en observant que

ay — bx = 2S,

S étant l'aire du triangle OCm.

Mais ,

S* = — (9^ -4- q % -+- (q { + q % — 0(^-4- / — qjfa + l — qj

donc,

r=2 44v.-ww.-iT • (428)