Si maintenant nous posons

dT dT

nous aurons

. âq\q\q\ — 9iW' t (9*i + q\ — P) \ p,=2. - ■ ,

„ , îq\q\q\-q l q\q i {q\ + q \-P) \ ^

en faisant

D = Aftf, - (q\ -4- q\ - 0*-

De ces deux équations (129), on déduit facilement DM Vi "*" ~y qiq% ^ q "*" 9 """" ^

Dp, Vp*q\q\ h- — ç,ft (?*, -f- g 8 , — F)

ou, en supprimant le facteur D, commun aux deux termes

' '« ™ P* "'"' J"T fa*« "*■ «*■ "" *>'

Ces valeurs de q\ et q'% devant être substituées dans la fonction T (128), on trouve

<iq\q\ (q'\ + g",) - ^^ [4 9 \ ? \ -H (g», H- f», - ff]

et, par suite, la valeur de T devient, par la suppression du facteur commun D = 4gVA — (?*i + î*î — P)*>

Enfin, si Ton remplace p { , p 2 par ^ > ^ , l'équation des

forces vives

T-U=A, dans laquelle

nous donnera

\a</i/ Vaçt/ ag^ agr 4 \ 7^2 / \gr t q % I

pour Téquation aux dérivées partielle^, du premier ordre, dont une intégrale complète donnera la solution du problème.

81. Remarque. — On peut arriver immédiatement à Téquation (131) de la manière suivante :

L équation, dans le système ordinaire de coordonnées, est

^[Kdxl \dyl J q t q*

q { > q% étant exprimées en fonction de x, y.

Cherchons à transformer cette équation, en prenant q i9 qz pour variables indépendantes; nous aurons

dV __ dV dq { dV dq* dV x d\ x — a

dx dq { dx dq % dx dq { q i dq 2 q t

rfV rfV dq t dV dq t d\ y dV y—b

dy dq { dy dq % dy dq { q\ dq % q % donc,

fdvy (d\y idvy tdvy

\dxl \dyl \dqj \dqj

\dqj \dqj L qfl* J '

et comme

2 [x (x — a) -+- y (y — 6)] = 9*4 -h ^ - P, Téquation aux dérivées partielles sera

/rfvy idv y rfv dv / ?•, + g\ - n 2*

\dqj \dqj dq,- dq t \ q t q t I q t . „„..

comme au numéro précédent.

82. Nous devons, pour résoudre le problème, trouver une. solution de cette équation, renfermant une constante arbitraire : or, nous pouvons l'écrire sous la forme

Odwy [dwy] dv dv , , , m ) Wr\^Jr^^ (qi + qi) (132) = fy^j -*- 2f49t -*- Zhqfl» )

pour faire disparaître le produit gfgj, nous prendrons deux nouvelles variables fetg, telles que

d'où

et alors

dV rfV d/* dV dg dV dV

dq { dfdqi dg dq { df dg dV__rfVd/ d\dg__dV dV dq* x df dq* dg dq % df dg

L'équation (132) devient

= a*i if— g) -*- fn(f + g) + - (P - flf 2 ;>

ou bien

(dV\* /dV\* h

Gomme nous n avons besoin que d'une solution particulière, nous pourrons poser

d\ .. rfV

d'où nous déduirons les valeurs de -^ et j- > et nous aurons

vp— P