V- / df
Les intégrales du problème sont
L'intégrale (133) renferme deux fonctions elliptiques.
83. Remarque. — Si fa = o, le point est attiré vers un centre fixe, et l'on doit trouver les formules ordinaires du mouvement elliptique.
84. Application IV. — Proposons-nous encore de déterminer les éléments de l'orbite d'une planète, en la supposant seule en présence du soleil.
En prenant pour plan des xy le plan de l'écliptique, pour origine le centre du soleil , et pour axe des x la ligne des équinoxes Sy, les équations différentielles du mouvement de la planète sont
d?X f'px
dt* r 8
dt'
dans lesquelles /*' est la force avec laquelle s'attirent deux points -matériels dont la masse est égale à l'unité , situés à l'unité de distance ; en outre, fx = (M H- m), m étant la masse de la planète et M la jnasse du soleil; r est la distance Sm de la planète a,u soleil.
La fonction des forces étant
r nous aurons
H = - (x fi -^ y" + z">) — '— = A , 2 V ^ r
en posant
dx
dz
Par suiu
î, les équations
du mouvement,
, mises
sous
la
forme canonique , sont
dx
dH
<fy
dH
• dz
dH
dt
"rf/'
dt "~
dx'
dH
dz'
dH
dt.
rfx
dt "
dtj '
df
La fonction des forces ne contenant pas le temps, 1 équation aux dérivées partielles , du premier ordre , de laquelle dépend la solution du problème est
/d\y id\y /dvy vr* , • x
et il s'agit de trouver une intégrale complète de cçtte dernière, renfermant deux constantes arbitraires F et G; les intégrales définitives du problème seront alors
dY f dF~-''
dV __
dG~ 9 ' "
équations qui renferment six constantes arbitraires.
85. Pour simplifier l'intégration de cette équation (135), nous prendrons pour variables nouvelles les coordonnées astronomiques de la planète, c'est-à-dire sa distance au soleil, sa longitude et sa latitude héliocentriques, que nous désignerons par Sm = r, mV = G , yF*= $ ; les formules de transformation sont
x = r cos cos $ , y = r cos S sin <p , z = r sin 0.
par suite ,
r = vx* -+- y* -+- z a , tg <i>= — , sin =— •
ac r
Cela posé, on a
dV __d\dr dVde dY d*
dx dr dx do dx d$ dx
dV^dVdr dV de dV <fy
dy dr dy de dy d$ dy
dV dV dr dV de dV d*
dz dr dz de dz dty dz ' or,
dr == cos cos $ dx -+- cos e sin ydy ■+• sin edz,
sin 8 cos $ sin sin <p- cos
de = t/x ce y h ck ,
■ sin (/; cos^ l
r cos r cos
et, par conséquent, la transformée de 1 équation (135) est
fdvy 1 /rfv\ f 1 idvy 2/>
dont on peut obtenir une intégrale complète
V = f (r) -4- ts (S) ■+- a (<p).
Nous aurons facilement, d après 1 équation (136),
r* L" (r) - -^ - 2A 1 + w' 1 (0) + -L- «/" (*) = 0. (137) L r J cos a
On en déduit
car, en résolvant (137) par rapport à w' (*//), cette valeur ne renferme pas ^. Posons donc
d'où
Alors la somme des deux derniers termes de (137) est une constante, et Ton peut poser
on en tire
w '(0)=\/g*-J~-, x V «os 1
et
„/ v cos
cos*
La première partie de 1 équation (137), qui dépend seulement de r, doit être égale à — G 2 , et il vient
par suite, en intégrant
-yv
?(r)= / V^+2À-^rfr.
On satisfait donc à 1 équation (137) par l'expression
de
Vc=F*-h / Y/g 1 *
/ ▼ cos*
fyJ-%
/r +2Adr;
par conséquent, les intégrales définitives du problème sont
de / mv F-
dV t c - ,.
# cos* ô
dV / Grfe / 7*
JV-%
rfV I dr
Ces intégrales contiennent six constantes arbitraires que
nous appellerons éléments canoniques. Les racines de
l'équation
2Ar 2 -♦- 2/Vr — G*=0,
sont le plus grand et le plus petit rayon vecteur; la plus grande valeur de 8 est donnée par
d'où
COS 6 = — ■ as= COS J ,
J étant l'inclinaison du plan de l'orbite.
86. On peut trouver sans difficulté la signification des six constantes canoniques.
En effet, on a, pour les composantes de la vitesse, N
dx dV du dV dz dV
ai dx dt dy dt dz
de sorte que les équations des aires deviennent
xdii — ydx d\ dV
dt dy dx
ydz — zdy d\ d\
dt dz dy
zdx — xdz d\ d\
dt dx dz
en remplaçant ^>^>5j> %> y>*>y en fonction des nouvelles variables, on a
xdy — ydx dV
= sia *\/ G 1 — — 5 F tg B cos f. } (144)
*= — cos ^V/ G 2 - F tg sin f .
▼ cos 3
dt
ydz
zdy
dt
zdx
xdz
dt
Élevant au carré, ajoutant et extrayant la racine carrée, on trouve
•yV (xdy — ydxf h- (ydz — zdyf ■+■ (zdx — xdzf=G. dt
On conclut de là que F est la constante des aires dans le plan des xy, et G la constante des aires dans le plan de l'orbite.
Observons encore que les trois équations (141) ne forment pas un système équivalent aux équations (140); on doit y joindre l'équation des forces vives
dx* + dy % h- dz* Zf'/u, dt* r
La première équation (139) donne
o F JL
cos* ô F tg e
$ — f=l — = arc sin
d'où
tg = sin (} — / ) ;
de cette dernière on déduit facilement
G* V = l/G 1 — Fcosf* — /),
et, si l'on substitue cette valeur dans les équations (141 ), la deuxième et la troisième donnent
dt '
zdx <— xdz . >
dt '
ce sont les équations des aires dans les plans des yz et des xz. En joignant ces équations à la première (141), on a
(x sin f— y cos f) V& - F -^ F* = 0,
équation qui exprime que le mouvement a lieu dans un plan : c'est l'équation du plan de l'orbite. Si le plan des xy est fixe, la ligne des nœuds sera déterminée par I équation
d'où
x sin f — y cos /*= 0, y = x tg/*.
De cette dernière équation on conclut que /"est Y angle de la ligne des nœuds avec l'axe des x ; si donc N est le nœud de la planète , on aura /*= yN.
La seconde des équations (139) donne
G sin
arc sin
arc cos ~
