MÉTHODE DE M. BERTRAND POUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS
88. Poisson, dans son mémoire, avait démontré le théorème que nous avons fait connaître précédemment (n° 58) ; mais il n'en a tiré aucune conséquence. C'est Jacobi qui,
( ¥ ) Nous avons encore fait une application de la même méthode au mouvement d'un point soumis v à deux forces centrales , l'une attractive, et l'autre répulsive. {Mémoires de la Société royale des Sciences de Liège , 2 e série, t. III.) Voir aussi pour les applications les mémoires cités précédemment : Hamillon , Jacobi et M. Donkin.
DE LA MÉGANIQUE. 83
le premier, trente ans après la découverte de Poisson, a signalé l'utilité de ce théorème qu'il considère comme le plus important du calcul intégral (*). « Cependant, dit-il, » on le croirait complètement inconnu; car on ne le trouve » dans aucun traité de mécanique , ni dans aucun ouvrage » sur l'intégration des équations différentielles. » Aussi, ce géomètre n'hésite pas à en conclure que probablement personne, ni Lagrange, ni Poisson lui-même, n'en a soupçonné l'importance. La conséquence inespérée à laquelle il conduisit Jacobi est celle-ci :
Dans tout problètne de mécanique, auquel s'applique le principe des forces vives, si l'on connaît deux intégrales autres que celle des forces vives, on pourra trouver, sans aucune nouvelle intégration, toutes les intégrales restantes.
89. Théorème. — Si l'on connaît deux intégrales du système canonique (26), contenant chacune une constante arbitraire, et résolues par rapport à ces constantes,
la quantité
a\dq t dpt dpi dqj '
reste constante pendant toute la durée du mouvement (n° 58) : en d'autres termes , cette quantité , égalée à une constante arbitraire, est une troisième intégrale du système proposé. Cela résulte de la formule (97) : le premier membre étant nul, on a identiquement
rf(«.p)
dt
(*) Jacobi, Nova methodus integrandi œquationes differentiales fartiales, etc., Journal de Crelle, t. LX, pp. 45 et 46. ,
par suite (n° 23), (a, (3) est une intégrale des équations proposées (26).
90. Il paraîtrait donc, et c'est en cela que consiste le théorème de Jacobi (*), qu'il suffit de connaître deux intégrales d'un système canonique, oo d'un problème quelconque de mécanique , pour en avoir la solution complète , par une série de différentiations seulement.
En effet, (a, (3) étant une fonction dep { ,...p n9 ...q i9 ...q n9 t 9 si nous l'égalons à une constante arbitraire, nous aurons une troisième intégrale : celle-ei , combinée de la même manière avec les deux premières, nous donnera une quatrième et une cinquième intégrale, et ainsi de suite.
91. Il peut se faire que l'on n'ajoute aucune nouvelle intégrale aux deux premières, auxquelles on a appliqué le théorème de Poisson : cela aura toujours lieu lorsque l'une des intégrales a, (3, est l'équation des forces vives.
Soient , par exemple ,
* = H (?n?«> "• <ln>Pl>Pi>-Pn)>
P = ? (?n 9*9 ••• 9»> Pi» P*' • • Pn)y
la seconde intégrale (3 ne renfermant pas le temps; nous aurons
Si l'intégrale (3 contient le temps explicitement,
on aura
donc, dans les deux cas, il est impossible de former une nouvelle intégrale.
