Il y a peu de problèmes de mécanique dont on ne

(*) Jacobi, Nova methodus, etc., Journal de Crelle, t. LX, p. 43.

connaisse à priori deux intégrales; par conséquent, il n'existerait presque pas de problèmes dont on ne put, par cette méthode, trouver la solution complète. Cependant, il existe deux cas dans lesquels l'équation de Poisson peut conduire à un résultat illusoire :

1° Lorsque (#, (3), au lieu d'être une fonction de Pi> ••• Pn> 9i> ... q n > U se réduit à zéro ou à une constante •' numérique;

2° Lorsque cette quantité (a, j3) est une fonction de a et de [3, de sorte que (a, fi) = const. donne seulement une combinaison des deux intégrales connues, et n'apprend rien de nouveau.

Jacobi n'avait pas examiné ces deux cas d'exception. M. Bertrand, qui s'est beaucoup occupé de l'intégration des équations de la mécanique, et en a fait plusieurs fois le sujet de ses leçons au collège de France, a montré que les cas d'exception sont plus nombreux que ceux auxquels la méthode s'applique. Mais, dans ces cas, il est souvent possible de trouver un nombre plus ou moins grand d'intégrales nouvelles au moyen d'intégrales déjà connues. Comme nous l'avons déjà vu (n° 25), si l'on connaît la moitié des intégrales, on peut compléter la solution du problème au moyen d'une fonction V qui donnera toutes les autres intégrales.

95. L'examen approfondi que M. Bertrand a fait des cas d^exception du théorème de Poisson a eu pour résultat remarquable de conduire ce savant à une nouvelle méthode d'intégration des équations de la forme hamiltonienne.

Nous allons exposer, dans les numéros suivants, les travaux de M. Bertrand. et ceux de Bour, qui a aussi traité cette question.

94. Nous avons vu précédemment quels sont les cas dans lesquels les deux intégrales connues n'en peuvent

donner une nouvelle par la formule de Poisson : ces cas , au nombre de deux, peuvent toujours, au moyen du théorème suivant, se ramener l'un à l'autre :

Théorème I. — Si I

sonf deux intégrales d'un même problème de mécanique, et si (a, (3) est une fonction de a et de (3, il existe toujours une fonction de a, (3 qui, égalée à une constante y, donnera une intégrale telle que (a, y) soit identiquement égal à l'unité. En effet,

*S ldx dy da. dy \ ét\dqi dp { dpi dqj 9

or, y étant une fonction de « et de (3, on a

dy dy dx dy dp

dp { doc dp { dp dpi

dy dy dct dy dû

dq { d* dq t dp dq {

par suite, en réduisant

Si (a, (3) est une fonction de a et de (3, on pourra déterminer y par l'équation

dy 1

laquelle donnera

95. Théorème IL — Si a = 9, (3 = »//, sont deux intégrales d'un même problème, et si, en les combinant par la méthode de Poisson , on trouve les intégrales

telles que Ç = F (a, (3, y, ... *) (*), il existe une ou plusieurs intégrales de la forme

pour lesquelles (a,£) se réduit identiquement à zh*o, ou à l'unité.

Si nous remplaçons , dans l'expression

fi} lety, dp, (/# c/^/ '

les dérivées de Ç par leurs valeurs, nous aurons, après quelques ^réductions ,

dt; dÇ dÇ d£

(a, §)=(«, p) H- (*, r ) ^~ -♦- («,*) — ^ ... -♦- (a, if) —

<fê d? cfê / rf£

Si, maintenant, on veut déterminer £ de manière que Ton ait

(a,ê) = 0, OU (a,e) — 1,

on devra intégrer Tune des deux équations linéaires suivantes :

tfë ' </£ d£ dç

ou- )(150)

<tè de dÇ ' , <fê

dont les intégrales satisferont à lune ou à l'autre des conditions précédentes.

{*) II est certain que l'on arrivera à une intégrale ç jouissant de celle propriété d'être une fonction des précédentes : car la suite ne peut pas se continuer indéfiniment, les équations (36) n'admettant que 2n intégrales.

Donc, les intégrales de l'un des systèmes d'équations simultanées ordinaires

rfj5 dy dâ dy* rf§

ou

r~ 9~ * F(«,ja,y,..rt — '

dp dy dâ d)j rfÇ

donneront les valeurs de la fonction ?, au moyen desquelles on formera les deux expressions les plus générales qui seront les deux intégrales générales des équations linéaires (ISO). Si l'équation en ê renferme &. variables indépendantes, son intégrale générale sera une fonction arbitraire de k — 1 fonctions distinctes, et elle contiendra k — 1 intégrales satisfaisant à la condition énoncée. , De là, on conclut le théorème suivant :

96. Théorème III. — Une intégrale étant donnée , il y en a une ou plusieurs autres qui, combinées avec celle-ci, donnent des identités.

Soit

a = ?(Pi»-P»>9i»-9»)i

une intégrale donnée; si Ton en prend une seconde

et qu'on la combine avec a, on aura un résultat (a, (3) identiquement constant et le théorème est démontré; sinon (a, (3) = y sera une nouvelle intégrale.

On formera alors l'expression (a, y), laquelle sera constante ou non : si (a, y) est constante, la proposition est démontrée, sinon l'on posera (a, y) = <î, équation qui sera une nouvelle intégrale, et ainsi de suite.

De cette manière, on arrive à une fonction Ç qui est ;

DE LA MÉGANIQUE. 89

1° Ou bien constante et la proposition est démontrée, puisque la fonction précédente satisfait à la condition énoncée ;

2° Ou bien une fonction des précédentes : dans ce cas, en formant une fonction £ convenable des intégrales précédentes, on aura

ou

comme au numéro précédent.

97. Théorème IV. — L'intégrale des forces vives donne toujours un résultat identique, quelle que soit l'intégrale avec laquelle on la combine.

Soient en effet ,

H = cou st.

l'intégrale des forces vives, et

* = ?(Pi, -Pn>q» -g*)»

une intégrale quelconque, ne renfermant pas «explicitement. Je dis que Ton aura 1 équation identique

En effet, a = <p étant une intégrale, sa dérivée, par rapport à l, est identiquement nulle; donc

da dpi d% dp„ dot. dq { dx dq n

dp t dt ap n dt dq v dt dq n dt

ou , en vertu des équations (26),

(h^dn r/a d\l da. dll d* dH

dq { dp, dp { dq, " dq n dp n dp n dq n ~~

c'est-à-dire

Si a contient le temps explicitement,

nous aurons , en exprimant que cette équation est une intégrale du système (26),

doi doc dp { doi dq { det dp n da. dq n

cfr fi(pi df dgr, cto rf/ï tt dt dq n dt

ou bien ,

da^d^ da dH jfc rfH da tffl

c/gr, dp, dp f dq t '" dq n dp n dp a dq a ~

donc

et le théorème est démontré dans les deux cas.

98. Remarque. — On pourrait maintenant se demander si l'intégrale £ telle que (n° 96)

(a,£) = 0, ou (a,ê) = 1,

n'est pas ou l'intégrale des forces vives, ou une fonction de cette dernière. La proposition suivante prouve que cette intégrale diffère toujours de celle des forces vives :