Théorème V. — Quelle que soit l'intégrale donnée

a = ?(Pi>- P«>9i. •••?«)>

il en existe toujours au moins une autre i, qui n'est ni r équation des forces vives, ni une fonction de celle-ci, et qui, combinée avec a, donne pour résultat (a, i) =* 1 .

Soit (3 une intégrale quelconque différente de celle des forces vives,

d'après ce que nous avons vu (n° 95), si, en combinant a avec (3, puis avec les intégrales résultantes, on ^rrive, après k opérations, à une intégrale rentrant dans les précédentes, la fonction qui, combinée ijvec a donne un résultat illusoire, est donnée par une équation aux dérivées partielles, à k variables indépendantes. Cette intégrale aura, par conséquent, k — 1 formes différentes.

Pour k = 1 , l'intégrale sera une combinaison de a et (3 ; par suite, elle est différente de celle des forces vives.

Pour k = 2 , nous aurons

Kr) = /'( a >(3>r).

Or, si Ton cherche une intégrale qui , combinée avec a, donne un résultat identique, cette intégrale sera ou non celle des forces vives. Si elle est l'équation des forces vives , il vient

d'où

H = /'(«,p,r); par suite,

r — CKP.H).

Si, actuellement, on considère une fonction £ (a, (3, H), déterminée de manière que l'on ait

la fonction € donnée par cette équation

sera différente de celle des forces vives , laquelle donne

tandis que Ton a pour l'intégrale €,

Si, dans la série des opérations successives entre a, 3, y, ..., on trouve une intégrale e pour laquelle

cette intégrale e sera différente de celle des forces vives. Si, au contraire,

s étant une fonction n (H) de l'intégrale des forces vives, on aura, en désignant par d l'intégrale précédente,

(a,tf):=€ = Il(H). (155)

Mais alors il est facile de voir qu'il suffit, pour changer la

chose, de prendre pour première intégrale jj-rm au '' eu c ' e P-

Dans ce cas, l'intégrale frjH) est différente de l'équation

des forces vives; combinée avec a, elle donnera un résultat identique

Le théorème est donc démontré dans tous les cas. 100. Des théorèmes précédents, M. Bertrand (*) déduit celui-ci :

Théorème VI. — Quelle que soit une intégrale donnée a, on peut toujours compléter la solution du problème en y adjoignant d'autres intégrales (3,, (3 2 , ... (3 2w ,, lesquelles, combinées avec a 9 donnent à l'équation de Poisson une forme identique :

(a,pj = i, (a,p ï )==0,...(tf,p 2ll 1 ) = 0. O Lagrange, Mécanique analytique , note de M. Bertrand, 1. 1, p. 426.

Comme nous l'avons vu (n° 99), quelle que soit l'intégrale a, il existe toujours une fonction (3, telle que

Nous devons maintenant prouver qu'il existe 2w — 2 intégrales distinctes de a et de (3, , qui combinées avec a donnent des identités. Si nous désignons par p le nombre des intégrales satisfaisant à cette condition, (3 â , ... (3^+,, et si nous supposons p. •+• 1 < 2n — 1 , il existera évidemment alors des intégrales indépendantes des précédentes, ainsi que de a et de (3 4 .

Si (3^+2 est une de ces intégrales, nous aurons

Pp.+3 étant différente de zéro. Je dis que (3^ est aussi différente de l'unité; car, sans cela, de

on déduirait

(a, (W* — ft) = 0;

d'où il résulterait que (3^ — (3, serait une fonction de Pu ... (3/x-h, et, par suite, (3^+, ne serait pas une nouvelle intégrale.

(3^ étant différente de zéro et de l'unité , nous aurons

(«> PlH-i) = IW* î etc -

Nous finirons par trouver une intégralç (3, qui sera identiquement constante, ou une fonction des précédentes.

Soit

ftm = F (a, p* , fc, ... ftc-i^) , (1 57)

cette intégrale: cherchons à déterminer une fonction y des intégrales a, (3,, ... Pp+^i, pour laquelle

Soit donc il viendra

(a, y) = (* , (3.) — H- (a, fr) -1 H- ... -4- (*, fr^) - — — ,

ou bien

«/o do dar rfo

«h a^+i «P/*-H-i "Pi

Cette dernière équation aux dérivées partielles, linéaire, sera celle dont les solutions détermineront des fonctions ts des intégrales a, (3 f , (3^, ... (V^-i : ces solutions seront différentes de (3 a , (3 S , ... (3^+t, sinon il existerait une relation entre les intégrales (3 5 , ... (3p +i , ce qui est contraire à riiypolhèse. Par suite, le nombre p. <2n — 2 n'est pas admissible.

101. Le théorème pourra donc être énoncé de la manière suivante :

Étant donnée une intégrale a, autre que celles des forces vives, et indépendante du temps, on peut compléter la solution au moyen :

1° De 2n — 3 intégrales indépendantes du temps, et telles que, combinées avec a, elles donnent

X étant Vune quelconque d'entre elles.

2° D'une autre intégrale fx, également indépendante du temps, et telle que

3° D'une intégrale u de la forme

u=*f(q ti ...q H ,p n .../>„) — *, telle que

102. La solution du problème peut donc être formée des 2n intégrales suivantes (*) *

1° L'intégrale des forces vives, a = H;

2° Une intégrale qui renferme le temps (3 = G — t;

3° 2w — 2 autres intégrales, indépendantes du temps, oc l9 a 2 , ... a 4ll 2, a 4 étant une intégrale quelconque, indépendante du temps, et autre que celle des forces vives.*

Ces diverses intégrales doivent donner

pour toutes les valeurs de i, égales à 5, . . . 2w — 2, c'està-dire pour i différent de 2. «

103. Il est facile de démontrer que la méthode de M. Bertrand doit toujours réussir, lorsqu'il s'agit du mouvement d'un point dans un plan, ou, plus généralement, lorsque les coordonnées peuvent être exprimées au moyen de deux variables indépendantes.

Supposons que le problème dépende des deux variables q\, q$ : soient les quatre équations du mouvement

dq { dU

dpi

du

dt dp x

dt

dq i

dq t dH

dp t

dH

dt dpt

dt ~~

dqi

H =h étant l'intégrale des forces vives, et

une deuxième intégrale. Cherchons s'il existe d'autres intégrales telles que (a, (3) = 0, et d'autres pour lesquelles

O Bour, Mémoire sur ^intégration des équations de la mécanique,

MÉMOIRES DES SAVANTS ÉTRANGERS, t. XIV, p. 796.

Nous connaissons deux intégrales , et le problème n'en comporte que quatre : de ces quatre intégrales, Tune renferme le temps , et trois ne le contiennent pas. 11 nous reste à trouver une de ces dernières.

Cherchons d'abord s'il en existe une qui donne (a, (3) = 0; nous aurons

da dp do. dp da. dp d* dô dq t dp l dp { dq { dq t dp t dp* dq t

en outre, si (3 est une intégrale des équations (1 59), il vient

> rfH dp dll dp dti dp dH dp

dqi dpi dp i dq { dq t dp t dp t dq t

Enfin, l'identité ((3, (3) = nous donne

dp dp dp dp dp dp dp dp - dq x dp { dp t dq { dq % dp t dp t dq t

Si l'on considère les quantités^- , ...^- , comme des inconnues, les équations (160), (16J) et (162) seront du premier degré par rapport à ces inconnues, pourvu que, dans l'équation (162), l'on regarde les coefficients comme égaux aux inconnues. Ces équations feront connaître ces quantités, ou plutôt leurs rapports ^— -%-,-J--' d~f t~ : t~* Or, ces équations sont aussi vérifiées si l'on remplace les dérivées de (3 par les dérivées de a : la première deviendra identique, et la troisième deviendra la première. Il en résulte que (3 doit être une (onction de a, et, par conséquent , fi = const. n'est pas une intégrale nouvelle, si toutefois aucune des équations ne rentre dans les autres.

Dans ce cas, les équations sont impropres à donner les inconnues, et l'on doit avoir

dp da.

dq t ~ dq t

dq t

dp „ d* mT d\\ a/> 4 a/> 4 a/>,

rfgr 2 d(3 dp,

dq t da

rfH

dqt dU

rf/>j rfp

Or, en multipliant par dq i9 dp,, dq^ , dp 2 , et ajoutant,

on a

dp = Mrfa -*- NdH , (K>4)

c'est-à-dire que (3 dort être une fonction dé a et de H.

Il s'ensuit qu'il n'y a pas d'intégrale (3, telle que (a, (3) =0 ; mais il y en a une qui donne (a, (3) = 1.

Soit y une intégrale pour laquelle (a, y) est différent de zéro; posons

# étant une constante numérique, ou non.

Si S est une constante numérique, on pourra multiplier ou diviser y par une constante k, de manière que <î= 1.

Si S n'est pas une constante numérique, elle' sera une

fonction de a, y, A, telle que a (a, y, A) : car, comme il y a

seulement trois intégrales distinctes qui ne renferment pas

le temps, toute intégrale nouvelle, ne contenant pas t, sera

une fonction des trois autres.

Prenons

et formons

ay dy

Pour que (a, (3) = 1, il faut que l'on ait

cette équation permet toujours de déterminer (3, et, par conquent, une intégrale telle que («, (3) = 1.

Enfin , on aura pour la quatrième intégrale

que Ton peut déterminer de manière que (a,e) = 0, ou

Or, (a, e) sera une expression ne renfermant pas t. Si (a , s) est une constante numérique, on pourra prendre £ de manière que la constante soit l'unité: si cela n'a pas lieu, c'est-à-dire si (a, e) n'est pas une constante numérique, on

aura.

et si Ton pose

il vient

(«>**)=.(«>*) •*- (*>/>>r,A)); d'où

df df

Or, on peut prendre fde telle manière que l'on ait

par conséquent,

On peut donc trouver une quatrième intégrale qui, combinée avec a, donne un résultat égal à zéro ou à l'unité.