H INTRODUCTION

différentielles ordinaires du second ordre, entre les coordonnées de ces points et le temps. Le nombre de ces équations était triple de celui des points matériels.

H ami l ton a ramené ce problème à la recherche et à la différentiation d'une seule fonction, appelée par lui fonction principale ou fonction caractéristique, satisfaisant à deux équations aux dérivées partielles du premier ordre. Cependant la question était loin d'être résolue : la difficulté n'était que détournée,' comme l'a fait remarquer H ami l ton lui-même (*).

Les travaux à' Hamilton se rapportaient aux seuls problèmes auxquels s'applique le principe des forces vives.

M. Donkin et Jacobi ont montré que, dans le cas où les liaisons sont des fonctions du temps , c'est-à-dire lorsque le principe des forces vives n'est pas applicable , les équations de Lagrange peuvent encore se ramener à la forme canonique, et qu'il est possible de leur appliquer toutes les théories développées par Hamilton.

Reprenant, plus tard, la théorie de l'intégration des équations de la dynamique, Jacobi démontra qu'il est inutile de former les deux équations aux dérivées partielles A' Hamilton, et d'en trouver une intégrale

(*) Hamilton, On a gênerai method in dynamics, Pmlosopmc al Transactions , 1854, p. 248.

INTRODUCTION. m

commune. Il prouva qu'il suffit de chercher une solution complète d'une seule équation aux dérivées partielles du premier ordre, non linéaire : celle solution obtenue, dit l'illustre géomètre, le problème ne dépend plus que de simples différentiations. En outre, remarquant l'importance d'un théorème démontré par Poisson (*), il montra que, du moment où l'on connaît deux intégrales autres que celle dès forces vives pour un problème quelconque de mécanique, auquel ce principe est applicable, on peut, par la formule de Poisson, en déduire toutes les intégrales par de simples différentiations ; il a aussi étendu cette propriété aux problèmes auxquels le principe des forces vives n'est pas applicable. Cependant, comme l'a observé M. Bertrand (**), Jacobi s'est trompé sur la valeur du théorème de Poisson. Dans la plupart des cas, ce théorème donne des résultats illusoires : mais, en examinant la question de plus près, M. Bertrand est parvenu à profiter de ces résultats illusoires pour compléter la solution du problème. Les travaux de M. Bertrand, et ceux de Bour qui en sont le complément, ont terminé tout ce que l'on peut faire sur

(*) Poisson, Sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de mécanique. Journal de l'École polytechnique , i 5 e cahier, p. 280.

(**) Journal de mathématiques de M. Liou ville, t. XVII.

iv INTRODUCTION.

ce sujet. Bour (*) transforma la question : il établit l'équation linéaire aux dérivées partielles, à laquelle doivent .satisfaire les intégrales du problème. Chaque nouvelle intégrale qu'il parvient à trouver lui permet de diminuer de deux unités le nombre des variables; et même certaines intégrales qui, à première vue, sont étrangères à la question, permettent de diminuer en une seule fois de plusieurs unités le nombre des variables. Le procédé de Bour supposait les liaisons indépendantes du temps. Mais cette condition n'est pas indispensable, et M. Liouville a prouvé * d'ailleurs que le. cas général peut toujours être ramené au cas particulier traité par Bour.

(*) Bour, Sur l'intégration des équations de la dynamique. Mémoires des savants étrangers, t. XIV.