VIII. Méthode de Bour

Note -. 114

SUR

RÉDUCTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT DE LAGRANGE A LA FORME HAMILTONIENNB. — INTÉGRATION DE CES ÉQUATIONS.

1. Dans son immortel Traité de Mécanique analytique, Lagrange a montré comment toute la théorie de la Dynamique se réduit à la formule générale

« IcPx <Pu <Pz \ <-n

m étant la masse d'un des points matériels composant le système, x 9 y, z les coordonnées de ce point, X, Y, Z les composantes , parallèles aux axes coordonnés, des forces qui sollicitent le point m.

S'il existe qne fonction des forces, c'est-à-dire une fonction U, dont les dérivées soient égales aux composantes des forces, de manière que

dx ' dy ' dz '

(*) En d'autres termes , nous supposons que Xdx -4- \dy •+- Ut est

T ek) — ««I.

1 équation (1) prend la forme

f <Px d\ d*z

*■ y dt

2. Aux variables x, j/, z 9 .... , substituons n variables nouvelles g 4 , g 2 , ... q n9 liées aux précédentes par des équations de condition , telles que *•

x = f(t 9 qi,... q n );

nous aurons, en remplaçant par x', q' if ... q' n , les dérivées de x, q i9 ... g„ , prises par rapport à t ,

et

d*x dx

d«* dt

Or, en désignant par T la moitié de la somme des forces Vives du système , c'est-à-dire en posant

nous aurons

dT dx

• = mx ,

et, par suite

d*x dx'

dl 2 dt

de sorte que l'équation (2) devient

- -s? rf 'rf7, d 'rf?,

dt

dt

dt

= eHJ.

une différentielle exacte. Nous ferons la même hypothèse dans toute l'étendue de notre travail.