CL A - --— = O
Les quantités A, à\ X, t' et x qui entrent dans ces quatre équations, peuvent être déterminées avec exactitude en prenant les moyennes des résultats d’une longue suite d’observations faites dans un même lieu de la terre : deux de ces équations, les premières , par exemple, suffiront ensuite pour déterminer les valeurs de a et b, et les deux dernières serviront de vérification à la théorie. Il faut néanmoins observer que les circonstances locales, telles que la non-homogénéité de la terre près de sa surface, la variation du pouvoir rayonnant dans le voisinage
de l’endroit que Ion aura choisi, et la forme du terrain , doivent influer sur la loi des variations de température dans le sens de la profondeur; en sorte que s’il arrivait, dans quelques lieux, que ces équations ne s’accordassent pas entre elles, il faudrait, avant den tirer aucune conséquence , examiner avec soin si les circonstances locales n’ont pas pu produire un tel résultat.
En éliminant le produit ab entre la première et la troisième de ces quatre équations , et la quantité a entre la seconde et la quatrième, on obtient deux équations fort simples, qui ne contiennent plus que des données immédiates de l’observation , savoir :
À ' x zzz A* ( 1 —sinact/')-, X = A' e~ CLX .
Au reste, ces diverses équations conviennent non - seulement aux inégalités annuelles de la température , mais aussi à ses inégalités diurnes : on sera libre de prendre pour unité de temps la période entière de l’inégalité que l’on voudra considérer ; 011 aura alors ctz=: 27 r; et les temps t' et .y' devront être exprimés en fractions de l’année, s'il s’agit des variations annuelles, ou en fractions du jour, s’il s’agit des variations diurnes.
[4 I.] Examinons présentement le cas où la température extérieure Ç ne dépend pas du temps et est exprimée par une fonction quelconque des angles 8 et^. La quantité q sera aussi indépendante de t; sa valeur ne dépendra que de // ; et la valeur correspondante de v se déduira de l’équation (21), en y faisant /fr = o , A = q, ce qui donne
Après avoir mis dans cette valeur, à la place de q, l’intégrale double que cette lettre représente , l’équation (8) du n.° 20 donnera
■ = |r//t*.TfSr (t)’ '’.]<■ *">•' ; M
désignant ce que devient £ quand on y remplace 8 et par 8 et
4/, les intégrales étant prises depuis ô'rzzo et r^’ = o jusqu’à 9 ' = ^ et 4 ^ :==2 ' 7r > et la somme X s’étendant à toutes les valeurs du nombre entier 11, depuis // = o jusqu’à n = oo.
En ajoutant cette valeur de u au second nombre de l’équation (19), on aura, pour le cas que nous examinons, l’expression complète de la température à un instant quelconque; mais alors la fonction/ (r, 9 , 4 /), qui entre dans l’équation (19), ne représentera plus la loi des températures initiales; et si l’on représente cette loi par F[r, 0 , -JL ), il faudra remplacer f(r, 9 , 44 P ar cette fonction F [r, 9 , 4 ") » diminuée de la valeur précédente de //. Tous les termes de la formule (19) continueront toujours de devenir insensibles après un intervalle de temps plus ou moins grand ; par conséquent, la formule (23) exprime la loi des températures invariables dont tous les points de la sphère s’approchent de plus en plus, et qu’ils atteignent, sans erreur sensible, après un temps suffisamment considérable. Lorsqu’il s’agira du sphéroïde terrestre, on devra prendre pour Ç la partie constante de la température extérieure , correspondante à un point quelconque de la surface, c’est-à-dire, la moyenne des températures variables de l’air qui s’observent pendant une ou plusieurs périodes de leurs variations. La formule (23) représentera la température fixe d’un point quelconque de la terre, assez distant de la surface pour que les variations périodiques soient sensiblement éteintes; ou bien encore, si On l’applique à des points plus rapprochés de la surface, ou à la surface même, elle fera connaître la partie constante de leurs températures, ou la moyenne de leurs températures variables.
[ 42 .] Quand le rayon / est très-grand, comme dans le cas de la terre, et que l’on considère des points de la sphère dont la distance a la surface est très-petite par rapport à ce rayon, la fraction ~ diffère alors très-peu de l’unité ; mais, à cause que les valeurs du nombre « s’étendent jusqu’à l’infini , il n’est pas généralement permis de faire
1 ( J ans l’expression du terme général de la série (23) ; et, pour
MATHÉMATIQUE. j 2 t
la même raison, on ny peut pas non plus mettre bl à la place de bl-\-n. Toutefois, il existe un cas fort étendu dans lequel ces réductions peuvent se faire sans produire d’erreur sensible : ce cas est celui où la température extérieure Ç est une fonction rationnelle et entière , et d’un degré quelconque, des trois quantités cosÔ , sin 0 sin ^ et sin 0 cos 4 ". En effet, d’après les propriétés connues de la fonction P „, on aura alors
ff P n sin 0 ' d 0 ' d *4 = o r
pour toutes les valeurs de // qui surpassent le degré de la fonction £ ; la série (23) ne sera donc composée, dans ce cas, que d’un nombre de termes fini et égal à ce degré; et les valeurs de ri étant ainsi limitées , on pourra faire ” = 1 , et mettre bl à la place de b !-{-n,
dans le second membre de l’équation (23). De cette manière, on aura, à très-peu près ,
sin Vdi’AVi
équation qui est la même chose que a = en vertu de la formule (1) de / Addition au premier Mémoire (*). Ainsi le rayon / étant très-grand et la température extérieure étant exprimée comme nous le supposons, la température fixe des points dont la distance à la surface est trèspetite par rappoit a l, seia sensiblement la meme pour tous les points d’un même rayon, et égale à la température extérieure qui répond à son extrémité.
Relativement à la terre, cette expression de la température extérieure convient aux variations de chaleur qui ont lieu de féquateur aux pôles , et qui ne sont sensibles que pour des points très-éloignés sur sa surface. Ces variations ne sauraient donc produire, sur chaque verticale, aucun accroissement appréciable de température dans le sens de la profondeur, pourvu que la distance à la surface soit une très-
(*) Page 148 de ce volume.
,g ' PHYSIQUE
petite fraction du rayon terrestre, ce qui a effectivement lieu pour ■ tous’les endroits souterrains ou les observations thermometr.ques peuvent s’étendre. Mais, indépendamment de cette diversité e tempera tures des différens lieux de la terre, il arrive encore, par des circonstances locales, que la chaleur de sa surface et celle de lair en contact avec elle varient quelquefois d’une manière sensible, dans une c très-peu considérable ; or, cette sorte de variations influe sur la loi des températures fixes dans le sens de la profondeur ; et pour en connaître l’influence , il est nécessaire de ne point alterei a va eur c donnée par l’équation (23); c’est pourquoi nous allons-transformer la série qui la représente, en une intégrale définie qui exprimera sa valeur
exacte- n q r ° 1
[ 43 *] D'après la signification des coefficiens P oi c c * L n ’
nous avons
en faisant, pour abrège
P — cos e cos 6' -+- sin 6 sin 6' cos ( 4 -— 4 '')- En combinant cette somme avec sa différentielle par rapport a r, on en déduit
s (* fl -t-1) (—) p *= (i . apr ^71T’
mettant dans cette équation r,- à la place de r, multipliant ses deux membres par <*/'- </*, « ^ intégrant ensuite depuis <t o jusqu a ot = i * il vient
Uil / r \n r, r' HP—* 1 r 1 )* 61 ' 1 .
0 (tÏ r-
-J ) fjry p f" /(/*-*’ T 1 )*”'' d* , •n \l 1 n J 0 ( l x —2 p r la -H r 2 a. 1 ) -
substituant donc cette valeur dans l’équation (23), nous aurons
et cette formule servira à calculer la température fixe du point quel- conque de la sphère, déterminé par les trois coordonnées polaires r,
0 et 4*
Au centre , où l’on a r=o , cette valeur de u se réduit à
K = Tr//Ç' sin9 ' dV d ^'\
ce qui montre que la température fixe du centre est égale à la moyenne des températures extérieures qui répondent à tous les points de la surface.
Si la température extérieure est indépendante des angles 0 et 4 * et égale à une constante c, il est évident que la température fixe d un point quelconque de la sphère devra aussi être égale à c. C’est ce que donne immédiatement l’équation (23), en y faisant £ ? ' = c, et observant quon a
yy' P„ sin 0' dû' d\' r=r o ,
pour toutes les valeurs de n, excepté rt = o , ce qui réduit cette équation à
u z=: -S — yy P o sin 0 ' d§ r d 4 ' — c.
Pour vérifier que lequation (24) donne le même résultat, nous ferons passer le rayon fixe d’où ion compte l’angle 0 , par le point de la sphère pour lequel il s’agit de calculer la valeur de u; nous aurons alors 0 = o, p = cos0 / , et en faisant ~c, il viendra
bel 1 ff P (/* — CL 1 r M )&*’-' sine 1 dV d\' d*
4 ^ (/* — zrl cl cos G' +r , <t , )T
Les intégrations relatives à 0 ' et 4 * s’effectuent immédiatement; en prenant ces intégrales depuis 4 ,;==0 » 0~o, jusqu’à , 0 z=7r,
on a
XIX/ Cahier..
Tt
: idf B 1 [(/-H*r) ^'-(l-*r) *"-]■£■ =zlctfj U=r ;
ce qu’il s’agissait de vérifier,
[ 44 -] Pour appliquer l'équation (24) au cas où le rayon est trèsgrand et doit être traité comme infini, nous ferons h , d h .
les valeurs de h correspondantes aux limites cl = o et a,= 1 de 1 intégrale relative à cl, seront /iz=zl=oo et hz=. o; et en faisant l-=oo » on aura
-bh
Soit en outre r=:J —£ , iüzzzs, Ib'zzns' ; il en résultera, en développant les puissances de j et /, et supprimant les termes divisés par des puissances de /,
(/* — cl* r x ) / sin 0' d§' ■=. 2 [h -H l) s d s ,
V — zrl<Lp-\-r' au — jj'cos^— *»
l’intégrale relative à s devra aussi être prise depuis s zzzo jusqu à s =: ir l=oo y et l’équation (24) deviendra
b f'f'f' ( h -f- £ ) e~ th Ç 1 s' d s' d d h
2 * JJ J [■(/* -*-zY -w" — 2ss> cos (4 — 4'*)]*
Dans la sphère du rayon /, la variable s-=lü aurait représenté l’arc de grand cercle tracé sur la surface et compris entre l’extrémité du rayon fixe d’où l’on compte l’angle 8 et celle du rayon variable qui répond à cet angle ; à la limite 1 = 00 t la sphère se change en un corps terminé par un plan indéfini, et qui s’étend aussi indéfiniment d’un côté de ce plan ; et ces deux rayons deviennent deux perpendiculaires à ce plan, dont la variable s exprime alors la distance mutuelle. Le point auquel appartient la température fixe u, est maintenant déterminé par les trois coordonnées s et *[/, savoir, sa distance s au plan qui ter-
mine le corps, et les deux coordonnées polaires de sa projection sur ce plan, c’est-à-dire, la ligne s qui joint cette projection et un point fixe choisi arbitrairement sur ce plan, et l’angle ^ compris entre cette ligne et une droite menée arbitrairement par le point fixe et dans ce meme plan. La quantité Ç est la température extérieure qui répond à cette projection ; elle est censée donnée en fonction de s et ^ , et la quantité Ç' est la même fonction de s' et •>{/.
Lorsque la température est devenue invariable en chaque point de ia sphère, 011 a = o , ce qui réJuit l’équation (1) du n.° 19, à
la valeur précédente de u doit Jonc satisfaire à cette équation ; et , en effet, si Ion remplace les coordonnées polaires s et ^ P ar des coordonnées droites x et y , c’est-à-dire, si l’on fait s cos ^ 1= x, jsinJ/=9’, et de même / cos 4 /—x , / sin , 011 aura
s ds z=.dx dy l , j* — \-s % —2j/cos(-J/—*s|/)=zz(tf— x') 1 -+- [y—y ) x ; la valeur de u deviendra
b d. e - lh Ç' d x' dy dh
“ — TT-dTjJJ + + ’
et l’on vérifie par la substitution immédiate, quelle rend identique l’équation précédente.
[ 45 >] On simplifiera la valeur précédente de u , en prenant pour centre des coordonnées s et , la projection même du point du corps dont on veut calculer la température. On aura alors ; et si l’on
fait
f. tw ^ d \' — 2 *■/*'»
en sorte que fs' soit la moyenne des températures extérieures qui ont lieu à la distance s de cette projection, la valeur de u deviendra
■ £) e ~ bh f s> • s ds dh
{'h+zY -+- s ' 1 ]7
On voit par cette expression que la température fixe des points dit corps variera avec leur distance £ à sa surface , et que la loi de ces variations dépendra de celle des températures extérieures » ou de la forme de Ja fonction fs'. On voit aussi que la température fixe de chaque point de la surface, ou la valeur de u qui répond à j —o, différera de la température correspondance du milieu extérieur : celle-cr est la valeur de Ç ' qui répond à s z=zo , ou , ce qui est la même chose , elle est égale à la valeur de fs pour s f — o, laquelle valeur sera plus petite ou plus grande que celle de u r et en différera plus ou moins suivant la forme de la fonction fs , et la grandeur de la constante b qui mesure le rayonnement de la surface. Si les variations de celte fonction 11e sont sensibles qu'à de très-grandes distances du point de la surface que l’on. considère, elles n’auront pas d’influence sur la loi des températures dans le sens de la profondeur , ainsi qu’on peut s’en assurer, en considérant la fraction qui multiplie fs sous les signes d’intégration, et dont les valeurs sont très-petites et peuvent être négligées, quand la variable s est devenue très-grande. Si la quantité fs est rigoureusement constante et représentée par c, la valeur de u sera aussi constante et égale à c ; car, on aura alors
u=be r 00 ( r 00 )s ds A e- iA dh—bc r°°
Jà [Jo W]ï J Jo
Il est encore bon de vérifier que l’expression de u satisfait à l’équation (3) relative à la surface [n.° 19}, laquelle devient
en y faisant — z> et représentant par g fa valeur de qui ré>-
pond à j=o, ou de Ç' pour j' = o : comme cette quantité doit
devenir en même temps indépendante de 4/on aura Q d-\!
— l'Ttgy et par conséquent fs —g, pour s'=. o. En intégrant par partie relativement à h, la valeur de 11 deviendra
/ r 00 fs'.s' ds
tj r r e- tk fs'.s' ds' dh
d’où Ton conclut
d u -, . /- OO f s' . z s' d s'
Or, la quantité comprise sous cette intégrale devient nulle pour 3— n excepté pour j'= o , cas dans lequel elle devient infinie : nous en déterminerons donc la valeur, comme nous l’avons pratiqué dans tous les cas semblables, en regardant 3 et s' comme des quantités infiniment petites; nous ferons s' tout-à-fait nulle dans fs , il en résultera d’abord
,U——hg f--
et cette intégrale étant nulle en même temps que 3, pour toute valeur finie de s , il sera permis de l’étendre, sans en altérer la valeur, depuis j — o jusqu’à s =00 ; on aura alors
et par conséquent - bu — — b g ; ce qu’il s’agissait de vérifier.
[ 46 .] Dans les applications qu’on pourra faire de la formule (25) au sphéroïde terrestre, il sera nécessaire de connaître la valeur de la quantité à, et de la supposer constante à cette surface, ou du moins de supposer quelle ne varie pas sensiblement dans le voisinage du point de cette surface que l’on aura choisi : mais on s’affranchira de cette hypothèse, et Ion n’aura pas besoin de connaître la valeur de b, si, au lieu de chercher la relation qui existe entre la température extérieure et celle de la sphere à différentes profondeurs , on considère la relation qui a lieu entre les températures de la terre à la surface
meme et à une profondeur donnée. Dans ce cas, il faudra considérer tous les points de la surface comme entretenus forcément à des températures fixes et données; en représentant alors par Ç la température du point quelconque qui répond aux deux coordonnées j et *v|/, lequation de condition relative à la surface devra se réduire à ce
qui aura effectivement lieu, si l’on y fait Æ:=oo. Ce nouveau cas est donc compris dans celui que nous avons considéré; et la formule (25) s’y appliquera également, en y donnant à b une valeur infinie. Or, à cette limite, le facteur e~ i,k , contenu sous les signes d’intégration, sera nul pour toute valeur finie de h; on pourra donc supprimer h dans la quantité multipliée par cette exponentielle ; observant ensuite que
l’on a b f°° e~ bh dh = 1 , la formule (25) deviendra
fs' .is'ds'
I ✓'OO /-2T ^Ç's'ds'd^'
Cette expression de la température fixe à une profondeur quelconque, d’après celle de la surface, a l’avantage de ne contenir aucune quantité dépendant de la nature du terrain, ni du rayonnement de la surface. Dans la pratique, on déterminera, par la méthode des quadratures, la valeur approchée de cette intégrale double, au moyen d’un certain nombre de valeurs particulières de la quantité Ç : on prendra
pour chacune de ces valeurs la moyenne des températures de la surface, observées pendant un long intervalle de temps, et marquées par
un thermomètre dont la boule sera très-peu enfoncée dans l’intérieur de la terre ; la valeur de u, ainsi calculée pour une valeur donnée de 1 ,
exprimera la température fixe qui répond à cette profondeur, ou la moyenne des températures variables ; et le résultat du calcul ne différera pas de la moyenne observée à la même profondeur £, si la terre est, en effet, parvenue dans sa couche extérieure à un état permanent
de température.
On peut remarquer que la valeur de a à une profondeur quelconque,
sera toujours comprise entre la plus haute et la plus basse température de la surface; car si Ion désigne par m la plus grande valeur de , on aura évidemment
m /~oo 7s ds' d-L'
quantité égale à ni, en effectuant les intégrations ; et de même à l’égard de la plus petite valeur de Ç
