III

Distribution de la Chaleur dans un Cylindre homogène, primitivement échauffé d'une manière quelconque .

[47*] Nous supposerons qu’il s’agisse d’un cylindre droit à base circulaire; nous désignerons sa hauteur, ou la longueur de son axe, par 2 1 , et le rayon de sa base par A; et pour appliquer «à ce nouveau cas l’équation (1) du n.° 19, nous placerons l’origine des coordonées x, y, £, au milieu de l’axe de ce cylindre, que nous prendrons pour l’axe des x; appelant ensuite s la perpendiculaire abaissée d’un point quelconque du cylindre sur ce même axe, et ^ l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des x, y, nous aurons

y = s cos 4' , •/ = £*-! y 1 » 4 = arc ( tai\g rz:y-) ;

tous les points du cylindre seront déterminés par les trois coordonnées x, s, 4'» en étendant les valeurs de .y, depuis — / jusqu’à ,vrz+/, celles de s depuis 5=0 jusqu a jzzA, et celles de ^ depuis = o jusqu’à 4 '— *** désignant, à l’ordinaire, la demi-circonférence

pour le rayon égal à l’unité. En conservant la variable .v, et substituant s et 4 à y et on aura

y dl “ y z

du z 1 du

s* z dsd\ s*

z 1 , , dx u y z

du y 1 du

par conséquent, l’équation (i) deviendra

d 1 « . JL

I tf H

~TT = a

CîTg H “

ou , ce qui nous

sera plus

commode ,

d .u Vs

[ d x .u Vs

d 1 .u Vs

u Vs

\ dx>

Cette équation peut aussi se déduire de l’équation (2) qui nous a servi dans le S- précédent, en transportant le centre d’où partent les rayons r, à une distance infinie du corps que l’on considère. En effet, soit d’abord rz=zc — * , c0 = s , c étant une constante quelconque ; l’équation (1) deviendra

^fsin ’ ‘M'-’OM

L d *' N‘ s in-i-

{c —x)* sin*-^-

je divise tous ses termes par c, je substitue à la place de sin — , son

développement - ^' 7 - 4 - &c., puis je fais c — 00 : pour cette

valeur de c, les variables x, s et -J- exprimeront les coordonnées dont nous voulons faire usage , et cette équation se réduira à

ce qui coïncide avec le résultat précédent.

[48.] Pour simplifier la question, nous supposerons le cylindre placé dans un milieu dont la température est constante, et nous prendrons cette température pour le zéro de l’échelle thermométrique ; en appliquant alors l’équation générale du n.° 10 à la surface latérale de

notre cylindre, et faisant £ o , = b, nous aurons

équation qui aura lieu pour la valeur particulière s = A, et pourra se changer en celle-ci :

Les deux

~-'j — -fr) " V* = °- ( 2 7 )

bases du cylindre répondent, l’une à x — -f- / et l’autre

— /; nous représenterons les équations qui sy rapportent par

d il n

- 7 -+tiu = o,

la première ayant lieu pour x = -hl, la seconde pour xzzz — /.

Les coefficiens b, fi et fi' seront des quantités données, que nous regarderons comme indépendantes du temps et des variables j et ce qui suppose que le rayonnement de la surface convexe et des deux hases, conserve constamment la même intensité, et qu’il est le même dans toute l’étendue de chacune de ces trois surfaces , quoiqu’il diffère d’une surface à l’autre.

[ 49 ’] Désignons maintenant par n un nombre entier et positif ou zéro, par 4 un angle constant quelconque, et faisons

f o u i/ j cos n (4—4') d 4 = v ‘

En intégrant deux fois de suite par partie, on aura

f 1 jV cos ” (4-—4V4 COS « (4 — 4') + »»/««» (4 — 4' )

— n’ J u y/s cos n (4 — 40 ;