XIX.’ Cahier
3^8 physique
aux deux limites 4 ===0 et 4 — 2 7r, chacun des termes compris hors du signe / prendra la meme valeur ; car ces deux valeurs de 4 " rc ~ pondant au même point du cylindre, les valeurs de u qui leur correspondent doivent être égales entre elles, ainsi que les valeurs de j
d’ailleurs il en est de même évidemment à l’égard de cos «( 4 — 4 ) et sin//(4— 4/), puisque n est un nombre entier: passant donc à 1 intégrale définie, 011.aura simplement
//’ cos // (4 — 4 /') d\ = — 1*“ V.
II résulte de là que si l’on intègre tous les termes de I équation (26), depuis 4 = 0 jusqu’à 4 = 2 ^ » après les avoir multipliés par cos// (4 — 4') <l\ , on obtiendra
= a bnr
et en même temps les équations (27) et (28) , traitées de la même manière , deviendront
pour s — A ;
pour x — / ;
-- fi V = O ,
pour x = — /.
Il existe sans doute d’autres valeurs de u en fonction de 4 > qui satisfont aux équations (2 6), (27) et (28), et ne sont pas égales pour 4 0 e t 4 = 2 TT : pour ces valeurs de u , l’équation (29) n’a pas lieu : mais nous devons en faire abstraction comme étant étrangères à la question qui nous occupe. De cette manière, nous n’aurons plus à considérer la variable 4» qui n’entre pas dans les équations (29) et (30) qu’il s’agira de résoudre. La valeur de v, quand elle sera complètement déterminée par le moyen de ces équations et de l’état initial du cylindre, renfermera, outre les variables x, s et t , Iangle 4 et le
nombre n ; or, si l’on y change en , et que l’on désigne ce quelle devient par V„, on en conclura la valeur de. u\/s, en fonction de 4 ^» s > x et t, au moyen de la formule^) de l ’Addition au premier Mémoire(*), suivant laquelle on aura
la somme S s’étendant à toutes les valeurs du nombre entier n, depuis n — i jusqu a //z=oo.
[yO.] La manière dont les variables .y et s entrent dans les équations (29) et (30), permet de les considérer successivement, et de faire d’abord abstraction de x , qu’il sera facile ensuite de rétablir dans la valeur de u en fonction de s et /. Cela revient à traiter, en premier lieu, le cas particulier oit la distribution de la chaleur est la même dans toutes les sections du cylindre perpendiculaires à son axe, et où l’on suppose /= 00; en sorte que le cylindre se prolonge indéfiniment de part et d’autre de l’origine des x : dans ce cas, la valeur de v est indépendante de cette variable, l’équation (29) se réduit à
et l’on n’a plus besoin d’avoir égard aux deux dernières équations (30).
Il faudra joindre à la première de ces trois équations, la condition v —o, quand s = o, nécessaire pour que la température u ne devienne pas infinie dans l’axe du cylindre : or , si la valeur de v doit s’évanouir avec s , à plus forte raison faudra-t-il en rejeter la partie qui deviendrait au contraire infinie pour j = o ; mais alors, d’après ce qu’on a trouvé dans le n.° 18 du Mémoire précédent, l’intégrale complète de l’équation (32) se réduit à
' = s"* ^ \Jl ^ (* r co .s & -t- 2 a cl Y't) sin** co da> J e a 'da
(*) Page 156 de ce volume.
Vv 2
<P indiquant une fonction arbitraire, et e étant à l’ordinaire la base des logarithmes népériens. La condition v = o, quand jzzzo , se trouve, comme on voit, remplie par cette expression de v; il reste donc à satisfaire à la première équation (30) , et à éliminer la fonction cp pour la remplacer par celle qui exprime la loi des températures initiales du cylindre. Mais on peut remarquer que l’équation précédente , l’équation (j 2 ) et la première équation (30) se déduisent des équations analogues dans le problème de la sphère , c’est-à-dire , de l’expression de v du n.° 2 1 , et des équations (5) et (7) du n.° 20, en mettant dans celles-ci s, À, 11 - - et b -»• respectivement à la place de r, l, n et b;
d’où nous pouvons conclure que , sans qu’on ait besoin de faire aucun nouveau calcul, la valeur de v, qu’il s’agit maintenant d'obtenir, se déduira de la première valeur de v du n.° 3 1 , par les mêmes substitutions. Ainsi, en employant en outre la lettre h à la place de / , nous aurons
R Fs ds
R'ds
a ' h 1 \fo C0S ( S h C0S U ) •!
dcù
expression dans laquelle Fs représente la valeur initiale de v , où l’on a [n.° 27]
R s n ^ * J ^ cos [sh cos où) sin*" u d où ;
et où la somme 2 s’étend à toutes les valeurs réelles et positives de h données par l’équation (n.° 26)
fj[{ b A-+-«)cos(/;Acos«)-/iAcos «sin(^Àcosw)] sin lM ce du zz: o , (33)
en réduisant à moitié le terme de cette somme qui répond à h — r> En même temps, 1 équation (18) du n.° 30, qui nous sera utile pour le calcul de i’intégralej/^ R 1 ds , deviendra
Jo ^ 1 ^ s ~~ThT^Jl cos (Æà cos où) sin zn a> d où , et la quantité M quelle renferme aura pour valeur
M~f 0 [ (Æà-hm- 1 ) sin (//Àcoscc))-f-^Acos«cos(^Àços a>) ] sin 1 w &> cos« dco.
[ 5 1 -] Cela posé, si nous représentons par f(s, ^), la valeur initiale de u, ou la loi des températures primitives dans chaque section u cylindre, perpendiculaire à son axe, nous aurons
v = Fs= ]A/ o f( s> 4) co s n (-vj/ —%[/') d\ t
pour t o , substituant cette valeur de Fs dans l’expression de v à un instant quelconque, et échangeant entre eux les angles ^ et J/, nous aurons la valeur de V n , savoir :
j:u? f(s, 4 " ) cos n ( 4 /> — •-J') J R -j/j d s
T^FJs “
e h 1 f 0 cos (sh cos a) s”* * sin 1 ”a> daj .
au moyen de quoi la formule (31) donnera immédiatement la valeur de « en fonction de , et /. On peut, dans cette formule, réunir à la somme S le terme relatif à F 0 ; nous aurons alors
/(■?> 4'J cos »(4>' —4 ) ^ 4 , ] R j/j ds
^ Io Rlds
Jo cos (s/i cosa)s" siil‘"a ! (j 4 )
en etendant la somme relative an .
r , . , au nombre entier n, depuis //=: o jusqu'a
11 — 00, sauf a réduire a moitié dq„ c f, a ri , 1
, lle » dans la double somme S, les termes
correspondant a «=o, aussi bien que ceux qui repondent à i =0 de sorte que ie terme qui répondra à -la-fois à h = o et „ = 0 J trouvera réduit au quart de sa valeur. *
On reconnaît immédiatement que cette valeur de a devient, comme cela doit être, indépendante de l'angle 4, soit quand on y fait s=o. soit lorsque sa valeur initiale est une simple fonction de a. On s’assurera aussi, par un calcul semblable à celui du n." 33, quelle devient sensiblement égale, après un certain temps, à la moyenne de toutes les températures initiales de chaque section, lorsqu’on a b=o, cestà-dire, lorsqu'on suppose nul le rayonnement de la surface du cylindre que l’on considère. Enfin, si l’on y fait /=o. elle se changera en J'{s, • 4 /); et l’on aura ainsi une nouvelle expression d’une fonction de deux variables , qui représentera cette fonction pour toutes les valeurs de s et de 4-, depuis s = o et 4 = o , jusqu’à r = oo et 4 = 27r > sauf les restrictions semblables à celles qui ont été énoncées à la fin du n.° 31.
[52.] En combinant l’équation ( 34) avec les formules de mon premier Mémoire, on exprimera sans peine la loi des températures a un instant quelconque, dans un cylindre d’une longueur donnée, primitivement échauffé d’une manière tout-à-fait arbitraire. Dans ce cas général, la fonction qui exprime la loi des températures initiales, dépendra des trois variables x, r et 4 ; elle sera donnée pour toutes les
valeurs comprises depuis x— F s — o, 4 °’ j lis |l u ^ A
s —\ t et nous la représenterons par /(*, s, 44 . en sorte
qu’on ait
quand t = 0 . Soit aussi F(x, s, 4 , t), ce que devient le second membre de l’équation (3 44 lorsqu’on y met/(x, r, 4 ') à la place de /(r, 4/) , ou, autrement dit, faisons , pour abréger ,
J~ x £ J~ f(x,s, 4 ') cos n ( 4—4 ) ] R V s
e ~* %kXt f * cos cosù> ) * n s* 11 *" u | ;
nous pourrons regarder cette fonction comme connue pour toutes les valeurs de /, et pour toutes les valeurs précédentes de .v, s et J/ ; et de plus , elle se réduira à f[x, s, dans le cas de t = o. Or , si nous
prenons
u — ~hr /-Z e ~*‘ s, 4 , t) j a,,
il est évident que cette valeur de u satisfera à l’équation (26) dans toute sa généralité , a 1 équation (27) P ollr s ~~ A , et à la condition u —/(*, s > 4) » ( 3 l,an d x = o; par conséquent, si le cylindre se prolonge a 1 infini de part et d’autre de l’origine des .v, ou qu’011 ait I = oo, cette formule renfermera la solution complète du problème, puisque alors on 11’aura pas à considérer les équations (28) , relatives aux deux extrémités de ce corps. Mais quand le cylindre aura une longueur donnée, il faudra encore satisfaire aux deux équations (28); et en vertu de ces équations, la valeur précédente de u se transformera, coinme on l’a vu dans mon premier Mémoire [n. os 16-19], en celle-ci : u — s ^ P co* J> * h- Q «n j> * j 9
ou Ton a fait, pour abréger,
[ 2 // —/sin il f —/ 3 / 3 '—/ 1 J | F(x, s, /)côs fxdx
“MÆ— fi) / f__iF[x s, 4,, f) sin fx' dx' = P , ^*)cos2/^—^sin ^ /) sîn f x'dx
-f -(/3 — / 3 ') F(x, s, 4 , t) cos j>x'dx=z Q,
[/3h-/3'-+-2/(/3/3'— f t )]cosx/f— ■[2H-2/(/3-+-/3 , )]/sin 2// = R;
et dans laquelle la somme X s’étendra à toutes les valeurs réelles et positives de /, tirées de l’équation :
(/ 3/3 / l ) sin 21f -f- (/3 -+- fi') f cos 2 / f = o ,
le terme correspondant à j> = o devant être réduit à moitié.
De cette manière, nous avons la solution la plus générale du problème que nous nous proposions de résoudre. La loi des températures à un instant quelconque, dans un cylindre primitivement échauffé d’une manière arbitraire, est, comme on voit, très-compliquee; ce qui tient sans doute à la nature et à la grande généralité de la question ; car il ne paraît pas qu’on puisse réduire à une forme plus simple l’expression générale de u en fonction de s, et f, que nous venons d’obtenir.
Si le cylindre rentrait sur lui-même et formait un anneau, on aurait pour ce cas la température à un instant et en un point quelconques , en faisant fc=o dans l’expression de u du n.° 39 du premier Mémoire, et y renfpiaçant fx par la fonction F[x, s, 4 "> /).
[ 53 .] Lorsque le rayon A du cylindre sera très-petit, et que le produit Z>A sera aussi une très-petite fraction , l’équation (3 3) se réduira à très-peu près, à
J'J [// cos (/i A cos où ) — h A cos u sin [h \cos «)] sin 1 " u du = o ,
pour toutes les valeurs de n, excepté « = o. Les valeurs de //A qu’on en tirera seront indépendantes de A; les valeurs correspondantes de h seront donc en raison inverse de A , et par conséquent très-grandes ; donc à raison de l’exponentielle e~ d h 1 qui se trouve facteur a chacun des termes de l’expression de F(x, s, 4 ^, t) , ces termes décroîtront très-rapidement, en sorte qu’au bout d’un temps très-court, ils seront tous sensiblement nuis ; et si nous faisons abstraction de ce qui se passe dans cet intervalle de temps, la valeur de F(x , s, •*]/, t) pourra être réduite, sans erreur sensible, à la partie qui répond à n = o.
Pour cette valeur de n, l’équation (33) devient
[/>A cos(^Acosw) — h Acosw sin (AAcosw)] du = o ;
on en tire une valeur très-petite de h 1 A* , qui s’obtient en négligeant dans cette équation le carré et les puissances supérieures de cette quantité, et son produit par b A : on a alors
b À J~ d u — h 1 A* y* cos* u du — 0 ; doù Ion tire
//* A 1 = 2 b A ou // = y/
Les autres valeurs de h, déduites de cette équation, seront toutes trèsgrandes par rapport à celle-ci ; et ion pourra négliger, après un trèscourt intervalle de temps , les termes de la valeur de F(x, s, t) qui leur correspondent, aussi bien que ceux qui ne répondent pas à ri —o. Cette vaieur se réduira donc au seul terme qui répond à h=o et h ~- "j/~ > et comme on n’en devra prendre que la moitié, on aura d’abord
/o x [. f”n*.s,v)dy]Ri/sJs
-J~ 17r COS^J-y/^COS C^jdcù .
D’ailleurs la variable s étant très-petite, et comprise entre zéro et A, on aura à très-peu près
R — i/j/^^cos^ y/ j. cos où ^ d a — 7r p/j ;
d’où il résultera
la 1 b t
F(x, s, 4,, /) = e~ a q> .y , en faisant, pour abréger,
en sorte que x soit la moyenne des températures initiales dans la section perpendiculaire à Taxe* correspondante à une distance quelconque x.
XIX; Cahier.
D’après cette valeur de F(x, s, 4 '» 0 » celle u sera indépendante de s et de 4; ce qui montre qu’après un temps très-court, la température est sensiblement la même en tous les points de chaque section perpendiculaire à l’axe, dans un cylindre d’un très-petit rayon, quelle que puisse être la manière dont il a été primitivement échauffé; et l’on voit, de plus, que cette température est égale à celle qui aurait lieu, si tous les points de chaque section avaient eu primitivement des températures égales entre elles et à la moyenne des températures initiales dans cette section.
2 a* St
L’exponentielle e A se trouvera facteur commun à tous le termes de la valeur de u ; or, si l’on désigne , comme dans le premier Mémoire , par faire d’une section perpendiculaire à l’axe, par g la circonférence de cette section, par c la chaleur spécifique de la matière dont la barre est formée, par k la conductibilité de cette matière , et par y la mesure du rayonnement extérieur de sa surface, on aura
yj
par conséquent cette exponentielle deviendra e cu . On reconnaît alors qu’elle est la même que l’exponentielle e~ bt qui 'multiplie aussi tous les termes de l’expression de u , trouvée dans le premier Mémoire [n.° i p] ; d’où il résulte que ces deux valeurs de u coïncident parfaitement, lorsqu’on prend, dans la seconde, w—pour la loi des températures initiales ; coïncidence qui devait avoir effectivement lieu , et qui peut servir de vérification à l’analyse précédente.
[j 4 -] Maintenant supposons, au contraire, que le rayon A soit très-grand et puisse être regardé comme infini, ainsi que le produit hX. Dans ce cas, la transformation de la valeur de F(x, s, 4 » O pré- ^ente beaucoup de difficulté; c’est pourquoi nous allons en développer les calculs avec soin.
Le rayon du cylindre étant devenu infini, on peut, sans nuire à la généralité des formules, prendre pour son axe telle perpendiculaire que I on voudra au plan de sa base : pour simplifier les calculs, nous ferons passer cette droite par le point même dont il s’agit de déterminer la température; nous aurons alors jn o,'ce qui réduira fexpreSsion de F[x, .s, -s),, t ) à la partie qui répond à nzzzo ; et comme on ne doit prendre que la moitié des termes correspondans à cette valeur de //, si l’on désigne cette fonction par H, dans le cas de j=z o, on aura
En même temps F équation (33) se réduira à celle-ci :
J* o [ÆA cos (//À cosw) — h A cos u sin ( h A cos «)]</&> = o ; (35)
doit l’on tirera les valeurs réelles et positives de //, auxquelles se rapporte la somme S. Dans le cas où b A est un très-grand nombre , cette équation se résout en série ordonnée suivant les puissances descendantes de b A, et de la forme :
k, k', k", &c., étant des coelficiens numériques, indépendans de h A, Le premier sera déterminé par l’équation
f o cos ( k cos et ) d u — o ;
les autres se déduiront successivement du premier, en substituant la série entière dans 1 équation qu’il s’agit de résoudre , et égalant à zéro, dans le développement de son premier membre, les ternies dépendant de chaque puissance de b A; mais à la limite bA = oo, on aura simplement hA’^zk, en sorte qu il nous suffira de connaître les valeurs de k.
Xx 2
Pour h-o, la valeur Je l’intégral R 1 ds donnée plus haut [n.° 50] devient
J " A /?* ds = cos ( h\ cos u) du J ;
le produit compris entre ies crochets se présente sous une forme indéterminée, quand on y fait b A=:oc et h\ = k; mais sa valeur exacte est donnée par i’équation (35), doù l’on tire alors
cos [h A cos w) du ■=. kj^ sin (Æ cos u) cos u de » :
on aura, par conséquent,
R 1 ds = b ~J ~ 0 * s * n ( ^ cos ®) cos a
Dans ce même cas de n = o , la quantité M a pour valeur
M~ [b Ah- 1 )J'’* sin (/'A cos a ) cos & du -+- h\* cos(//Àcoso) do»
— b A J*^ cos (//À cosw) sin 1 u du ;
par l’intégration par parties, on a
Ji xJ' * cos [h A cos*») sin 1 u du sin [h A cosw) cosw du ;
on aura donc
Mz=l b -s: sin (h\ cos «) cos a du -+- //A J~ cos (^Àcos où)du>. Faisant ensuite h\—k, il en résultera
M = b a /; sin ( k cos u) cos 00 d u , et par conséquent
J' X R 1 d s = -j- £ * sin ( k cos u) cos où d u J •
Enfin pour ti = o , on a [n.° 50 J
R —. j/j cos (/iX cos a) J a ;
substituant donc cette valeur et la précédente dans l'expression de H, on aura
I mn COS (ÆÀCOS Où) d 6) J s
sin (A coscù) cos où d où J 1
et il ne restera plus qu a déterminer la série des valeurs de A.
[J5*] ^ ion réduit le premier membre de l’équation dont ces valeurs dépendent, en série ordonnée suivant les puissances de A, et qu’on fasse, pour abréger, ( A ) z = A', on trouve
&c. rzz o.
Par des essais successifs , on déduira de cette équation les premières valeurs de A', en commençant par la plus petite ; mais au-delà d’une certaine limite, ces essais deviendront impraticables, et il faudra donner une autre forme à l’équation pour en déterminer les très-grandes racines. D’un autre côté, tous les termes de la série qui exprime la valeur de H , sont infiniment petits à la limite Azzioo ; on peut donc en supprimer un nombre fini quelconque , sans altérer cette valeur : ainsi , nous pouvons faire abstraction de tous ies termes correspondans aux valeurs de A, qui tombent au-dessous d’une quantité déterminée aussi grande qu’on voudra, et ne tenir compte que des termes qui répondent aux valeurs de A supérieures à cette limite, ou, généralement, aux trèsgrandes valeurs de A, que nous déterminerons de la manière suivante.
Considérons A comme une variable continue, et soit
y =f Q cos (* cos a) du:
en différenciant, par rapport à A, on aura
=-/: sin ( k cos «) cos ce d où ;
-s: cos (Â cos u) cos* cù d où ;
Jl y
par conséquent
y -b ~j~p~ — J~ o cos(Æcosa>) sm'udcd * sin (Acos0)cos«</0 ;
d’où il résulte
' ~ ~dir -+~ y =: ° m >
équation que l’on peut aussi écrire sous cette autre forme :
d 1 .y Vk f I
d A* VT * 7
Son intégrale complète, sous forme de série, peut être représentée par
yV k = [A-*-- k - >- 4 ^-*-^ —h Sec.) cos k
-+- l^B -H -1— -p —I— p —I- &c.) sin k ;
A et B étant les deux constantes arbitraires, et A', A", A'", &c. , B', B", B'", &c., désignant des coefficiens indépendans de k, qui se détermineront au moyen de A et B. En substituant cette valeur de y\/k dans Téquation précédente , et comparant entre eux les termes semblables, on aura, pour cette détermination, ces deux séries d’équations :
dont les lois sont faciles à saisir.
—2. iB" -h ^ 1.2H—j A ' = o, -2.3r+|2.3+-j-)^" = o , —2. ^ B ,y ~~\ ^3 • ^ 0 »
Nous déterminerons les deux constantes A et B, en différenciant la valeur de y\/k, et faisant ensuite k = oo dans y\/k et —^ — ; de cette manière, nous aurons
y ]/k zzz A cos k -H B sin k ,
d .y VU /. d y .
d — y * ~d~JT — — ^ Sin * B cos k ;
d’où l’on tire
A = cos * — djL sin k j ^ ,
B z=z [y sin k -f- cos A J j/Æ.
Je remets dans ces formules, à la place de y, l’intégrale définie qne cette lettre représente ; il vient
A — \/kf o [ cos (A cos a) cos k cos a sin [k cos o>) sin Æ] du,
B = Vkf o [cos(Æcosw)sinÆ — cos o>sin [k cos u>) cosÆ] du ; et à cause que
cos* -j- w -f-sin* ~ tù — 1 , cos* -j- u — sin* ^ — cos ,
ces valeurs sont la même chose que
A = ]/kf° cos ^ 2 A sin*cos 2 — u du
sin | 2 A cos* a; j sin* — ,
Æ = V k j: sln (a*siV-i- w )cos a -£-« du
-+~ 1 /kfl sin ^zk cos* ~u Jsin*'-d-<» du ;
cest-a-dire, que A et B sont les valeurs que prennent ces fonctions de k, quand on y fait kzzzoo, après avoir effectué les intégrations.
Or, si nous faisons, pour un moment,
2 k sin*-^-« = ** , j/ï cos-^- a du = dx ,
nous aurons
1 /kj' cos^2 A sin 2 -^-oj^cos 2 -j-« duzzz -y/zj'^ cos* 2 . - ^/ \~l~dx,
y/kj** sin^2 Asin* -^-a> j cos* ~ a du-=zY z f ^sin a 1 * . j/ \-~dx;
après avoir réduit en série le radical -y/ 1 , on aura à prendre des
intégrales de la forme :
/ yn x 1 ' . r VTft . x xi ,
cos x . —p —rrr dx , / sin *”. —777- d x ,
dans lesquelles i est un nombre entier ou zéro: mais, par des intégrations par parties, on s’assure immédiatement que ces intégrales sont nuiles pour kzzzoo , excepté celles qui répondent à i= o ; et comme on sait que
f°° cos* 2 dx = / o °° sin** dx ~ I
on en conclura
l /k f Q cos ^2 k sin* cù j cos 2 ~~ u d u ■=. j/tt ,
*|/k J sin (2 Asin* -i- a> jcos* ~-ea du -j/tt ,
dans le cas de kzzzoo. A cette limite, on trouvera de même
\/kJ~ o T cos ^2 k cos* — sin* - 4 - « ~ |/tt ,
fj s * n ( 2 ^ cosl ~ wJsin*“-^-w du -= ■j/'tt ;
au moyen de quoi, nous aurons
A B z=z yV.
Les valeurs de A et B, et par suite-celles de A, A', &c., B', B\ &c., étant ainsi connues, Iéquation (37) donnera, aussi exactement qu’on voudra, les valeurs de y j/X, correspondantes à de grandes valeurs de k . Si I on suppose cette quantité k assez grande pour qu’on puisse négliger les termes divisés par k , on aura simplement
yVk = (cosk-hs\nk) j/tt , ^ y/k — (cosÆ — sin k) j/tt.
Les valeurs approchées des très-grandes racines de l’équation ^ = 0 s’obtiendront donc en faisant
cos k -f- sin k = o ;
d’où l’on tire
cos Æ = — sin k = ztz -jL- et A = / tt -h -L- ;
/ étant un nombre entier indéterminé, auquel 011 ne donnera néanmoins que de très-grandes valeurs, afin que celles de k soient aussi très-grandes.
La valeur de -X qui répond à ces valeurs de k, sera d ou Ion conclut, sans ambiguité de signe ,
(tt)' = [/T sin (*COSO>)COS«</«]* =
donc, a cause de — h t l’équation (36) deviendra
~ r S [ 7 Ô (yl /(• v '- î ' 4 /, )^ -7^ ,r cos(//^cosù>)d'ajj//q/,e—
[56.] Les valeurs de h correspondantes à ces valeurs de k, seront ^ = “À 1 JT”* e ^ es s ^ ter, dront depuis une valeur très-grande, mais finie , du nombre entier i, jusqu’à / = oo; et elles croîtront par des différences constantes et égales à ~. A la limite A=00, la quan- XIX. e Cahier . y v
tite h se changera en une variable continue dont la différence sera , et qui s’étendra depuis une valeur infiniment petite jusqua l’infini : on fera donc z= zdh , et l’on changera la somme S en une intégrale
ordinaire; et à cause que cette intégrale n’est pas du nombre de celles qui prennent une valeur finie dans une étendue infiniment petite des valeurs de la variable, on pourra, sans aucune erreur, la faire commencer à Jiz=. o. On pourra aussi , pour plus de symétrie , étendre l’intégrale relative à où , depuis cù — o jusqu’à où = i 7 r, sauf à diviser le résultat par 2 ; de cette manière nous aurons
ffffe~ alhit cos [hs cos où) f[x, s, \')shds dh doo d\! ;
les intégrales relatives aux deux angles 4/ et où étant prises depuis zéro jusqu’à 2 7r , et celles qui se rapportent à h et j , depuis zéro jusqu’à l’infini.
Cette intégrale quadruple se réduit à une double , en observant que les intégrations relatives à h et où peuvent s’effectuer sous forme finie. En effet, soit
T ■=. Jj e~ ai h1 ' cos (// s cos où) h dh d où ;
nous pouvons considérer h et où comme étant les coordonnées polaires des points d’un plan indéfini , rapportées à un centre et une ligne fixe, pris dans ce plan : l’expression d’un élément de la surface sera hdhdcù\ et à cause des limites h = o et h~o o, où— o et ù)~2vr, l’intégrale double s’étendra à tous les élémens de cette surface plane infinie. Si l’on change les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires * et en sorte qu’on ait
x zr: h cos où , x" zz: h sin où , h 1 z=z x ' 1 -f- x" x ,
l’élément de la surface plane deviendra dx dx" , de manière qu’on aura h dh doù -zzdx dx" , et l’intégrale étendue à la surface entière devra être prise depuis x' zzz — 00, X — ‘— 00, jusqu à ,v izz-Hoo, x —-f-00;
on aura donc
T —fj cos sx'.dx' dx"
mais par des formules connues, on a
luanbosuoo jed
7 * zzz - * 4 a 2 t
résultat qui change l’expression de H en celle-ci :
H —J7ï~'ff e 4a ‘‘/(*- s, \')sdsd\'.
Telle est donc la valeur de la quantité H qu’on devra substituer à la place de la fonction F dans les formules du n.° 52, pour avoir l’expression de la température à un instant quelconque, en tel point qu’on voudra, d un cylindre à base infinie, ou d’un corps compris entre deux plans parallèles et qui s’étend indéfiniment en tous sens entre ces plans, dont la distance mutuelle est 2/. L’axe des * est une perpendiculaire à ces deux plans, menée par le point dont on veut calculer la température; x est la distance de ce point au milieu de cette droite; j est la perpendiculaire abaissée d’un point quelconque du corps sur 1 axe des x\ ^ 1 angle compris entre le plan de ces deux droites et un plan fixe, mené arbitrairement par la seconde; enfin f(x, s, est la température initiale du point dont la position est déterminée par la distance x et par les deux coordonnées polaires s et «j/ / , en sorte que cette fonction est donnée pour toutes les valeurs de ces trois variables, comprises depuis x = — l, s=o, ^'~o t jusqu’à x—l, j — 00*
[ 57 •] Cette position particulière de l’axe des x a été nécessaire
Yy 2
j 5 6 physique
pour faciliter les calculs précédens; mais il est aisé maintenant de déterminer les points du corps par des coordonnées rectangulaires x , y, l, rapportées à des axes dont aucun ne passe par le point particulier dont il s’agit de calculer la température. Nous prendrons toujours i’axe des x perpendiculaire . et le plan des y, Z . parallèle aux deux plans, qui terminent le corps; et nous placerons Iorigine de ces coordonnées au milieu de leur distance mutuelle : x, y, Z seront les coordonnées du point que l’on considère, et dont u est la température au bout du temps t ; nous représenterons par x, y, z> celles du point quelconque qui était précédemment déterminé par les trois variables x, s et 4 - » et dont la température initiale était exprimée par/(x, s, 4 - ) ; elle le sera maintenant par une fonction de x, y, l', que nous désignerons par q> (x,y , z ) > et qui sera donnée pour toutes les valeurs de ces variables, depuis x — — l, y' — 00 > Z — — 00 ’ î u * t J u ‘ 1 x * '
y' —00, z ' = 00. De plus les coordonnées polaires s et -p J e la projection de ce dernier point étant remplacées par les coordonnées droites y et z • on a toujours
s d s d\' = dy' dz ,
quelle que soit la nouvelle origine de/ et z'! et l’intégrale relative a s et J/, qui était prise depuis s=o, 4 - — °> jusqu à s OO, y - 27r < ou qui s’étendait au plan entier de ces coordonnées, aura présentement pour limites / = ±oo, z'— — 00 ’ enfin la distance de ce même point à celui que l’on considère et qui répond à x, y, z> ayant été exprimée par s, on aura
s i = [y—y'Ÿ -+- iz — i'Y-
Au moyen de ces diverses transformations, la valeur de H deviendra H - J— /'°°/°° e- Q [Xt y',ï)dy'dz.
Sans changer les limites des intégrales, on y peut faire
y = y “ 4 - 2 a al Yt , 1 z=z 1 -H 1 a ou" Yt ;
d y' = 2 a Yt d ad , d z = 1 a Yt d cl" ;
et il en résultera définitivement
H — e~ <t ' x ~ a - l ' x <p(x, y-h lUcu'j/l, £-*-2rf<t" j/7) dal dau\
pour la quantité H que l’on devra substituer à la fonction F dans les formules du n.° 52. II est sans doute beaucoup plus simple de former directement cette expression de la foncion F, relative au cas où le rayon du cylindre devient infini ; mais nous avons pensé qu’il n’était pas inutile de montrer par quelle suite de détours on parvient à appliquer à ce cas particulier la valeur générale de la fonction F, donnée dans le n.° 52 ; et nous l’avons fait d’autant plus volontiers, que les difficultés que cette transformation présente, peuvent aussi se rencontrer dans d’autres questions.
