IV
Distribution de la Chaleur dans un Corps homogène dont plusieurs dimensions sont infinies .
[58.] L’integrale générale sous forme finie de l’équation (i) du n.° ip, est, comme on sait,
u — “ 77 ~ ffff[x-\rzaxYt, y+iacL Yt, i+iaal Yt) daud al dal\
en faisant, pour abréger , et 2 —f- ce 1 H— ce " 1 m désignant par f la fonction arbitraire, et prenant les intégrales depuis —00 jusqu’à -t-00, Si l’on y fait t = o , il vient
la fonction arbitraire représente donc la loi des températures initiales;
par conséquent, si le corps s’étend indéfiniment dans tous les sens autour de l’origine des coordonnées, cette fonction sera donnée pour toutes les valeurs réelles, positives ou négatives des trois variables quelle contient; d’ailleurs il n’y aura, dans ce cas, aucune condition particulière à remplir relativement à la surface du corps: la valeur précédente de u en fonction de x,y, z et /, renfermera donc la solution complété du problème; c’est-à-dire qu’elle fera connaître immédiatement la température à un instant quelconque, de tel point du corps que Ion voudra.
On peut lui donner une forme un peu différente, en posant
x-ï-zaa,Vt = x\ y-Y-iaa!Vt —y
d CL Z=
2 a Vt
dcL
Vt
£-t-2rtct VI
d cl =:
Vt
il en résultera
u = —-—r fffe~. J "/(*•/> z) dx ' d y d z !
les intégrales relatives à y > z* seront encore prises depuis — oo jusqu à —J—oo , et ion aura, en meme temps,
r , -2(n l +;/+tf)+ *'* y* ~+~ ^ ‘- 3
en appelant r le rayon vecteur du point dont les coordonnés sont y, 1, ou sa distance à leur origine.
Lorsque le corps n’aura été primitivement échauffé que dans une portion limitée autour de cette même origine, en sorte que la fonction f[x,y, z) n'ait de valeurs que dans cette étendue, et soit nulle pour toutes les valeurs de x, y, z> appartenant à des points qui n’y sont pas compris, il en sera de même à l’égard de la fonction f(x\y, z ) par rapport aux valeurs de x,ÿ, z , et il suffira conséquemment d’étendre les intégrales aux valeurs de ces variables pour lesquelles cette fonction n’est pas nulle. A parler rigoureusement, il se manifestera
dès le premier instant une variation de température dans toute la masse du corps; mais à cause de l’exponentielle e~ J ‘ comprise sous le signe d’intégration triple , il est évident que cette variation sera insensible dans les premiers momens , pour tous les points sensiblement éloignés du lieu de réchauffement primitif. Si l'on considère un point dont la distance à ce foyer soit très-grande par rapport à ses dimensions, et que Ion fasse abstraction de l’intervalle de temps pendant lequel la variation de température de ce point sera insensible, on pourra négliger les variables .y', y, contenues dans <b\ et réduire l’exponentielle
* la quantité constante e ^ j on aura alors
" - fffn*'>• ^ dx ' d > d z s
ce qui montre que la température d’un tel point , devenue sensible , ne dépendra que de la quantité totale de chaleur primitivement communiquée au corps, et nullement de la manière dont elle a été distribuée. En désignant par C cette quantité, et par r la chaleur spécifique de la matière du corps, on aura
C = c fff/(*’'/’ Z) dx' dy' dï , et par conséquent
Si Ion determme le maximum de cette valeur de u par rapport à t, on trouve qu’il répond à r= et qu’il a pour valeur
il est donc indépendant de la quantité a, qui règle la vitesse de « a propagation , et il suit la raison inverse du cube de la distance au foyer de réchauffement primitif ; tandis que dans une barre il est seu
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lement en raison inverse de cette distance [n.° 13 du premier Mémoire].
[59.] Considérons présentement un corps homogène , compris entre deux plans parallèles, et s’étendant entre eux à l’infini dans tous les sens. Nous prendrons l’un de ces plans pour celui des coordonnées y, z* et l’axe des .v , perpendiculaire à ce plan , sera dirige dans iintéiieur du corps ; nous appellerons / son épaisseur, de sorte que les deux plans qui le terminent, répondront, l’un à * = o et l’autre à x = l. Dans ce cas, la fonction f(x,y, z) continuera d’ètre donnée pour toutes les valeurs réelles de y et z depuis —00 jusqu’à -f-00 ; mais elle ne le sera plus que pour les valeurs de .v, positives et </; par conséquent, si l’on fait
J r“"7(x,; + 2<ï<t' Vt, £-4-2rt£t" Vt) daJ dal' ;
