IÎ

ANALYSE

Cette valeur de < 2 , et, par suite celle de B' n , étant ainsi déterminées,' nous en conclurons

O', — 2C <~ 1 .11/~ T (i—cos^'J-r-(/-»-/).sin"«]d«.

Dans le cas de « = o, cette valeur se réduit à

C\ = + sin 1 '» j du ;

ce qui servira à déterminer c au moyen des valeurs connues de C 0 et de c.

Cela pose, nous aurons

a' . —.. c 1 ^., r - f* ( 1 —-cos «)* sin 1 * «

2cj-z2)l ('"* [ 1 —cos w)* 1” —~-t -(?'-+-<■') sin*'»]^

nous aurons en meme temps

jfi +* -A — .v r ‘ 4 '^ 1 1 — ^ log a" -4- Iog a a -4- &c. ^ ;

et, d'après cela, la quantité R deviendra, en ramenant à la forme finie les séries contenues sous les signes d’intégration ,

R =■ - e - X p~'-ÿ* (x cos u -t- at) sin*' a du

-ex 1 *'- log xf* 4- 1 (atcos &> —t- rît) sin*' u du

zcx^'-J'J 4 ''(^C 0 Sù»-HrJ/)[^-(/-t-c')sin*' «] du

A désignant la partie de cette quantité qui s’évanouit avec «fi. Or, quand on substituera cette valeur de R dans celle de J, on pourra faire abstraction de son premier terme, qui a «fi pour diviseur, en observant

ANALYSE. 239

qu’il se confond avec le terme de même forme déjà contenu dans z ; faisant ensuite on aura

Z = J <p (x cos où -+- oit) sin 4 * où d où

... -+- A' li l x xi

- C log xJ** 4 // (* COS 0-+■ d f ) sin xl Où d Où

-f- icx^ïJ^J 4 '(x cos Ci-hat) - [q '-Hc') sin* 1 où J du ,

pour l’intégrale complète sous forme finie de l’équation (1), dans le cas de Æ = ou de m=i x - l — : on se souviendra que c et c sont

deux constantes déterminées, et que représente, pour abréger, le coefficient différentiel de l’ordre 2/ de la fonction arbitraire 4*«

Cette intégrale est, comme on voit, assez compliquée ; mais si l’on n a besoin , dans un problème particulier, d’employer que la partie de la valeur de z qui ne devient pas infinie quand * = o , il faudra , pour l’obtenir, faire ^x = o > ce qui réduira cette valeur à la forme très-simple :

<p (x cos oc -H at) sin 41 où d où.

[13.] Maintenant, considérons l'équation

d Z dt

dans laquelle, comme dans celle que nous venons de traiter, m et a sont des constantes données, mais qui diffère de l’équation (1), en ce quelle est seulement du premier ordre par rapport à la variable t.

Dans le cas de ;;/~o, son intégrale complète sous forme finie est, comme on sait,

ANALYSE

étant la base des logarithmes népériens, et indiquant une fonction arbitraire. Or, en examinant avec un peu d’attention, la manière dont cette valeur de £ satisfait à l’équation

±Z — a ijLï-,

d t - drX* * • •

on est conduit à conclure ,que Ion satisfera également à l’équation (9), en faisant, pour abréger , x -t— 2 a et -\/ t = * / prenant

et supposant que l’exposant k et les coefficiens A, , A % , A ,, &c. , soient les mêmes que relativement à l’équation (i) j>,* a]- En effet , on aura

ttdet

ou bien , en intégrant par parties,

-T7=“ J-zo\-T7^-+- A ' x dx. d*'. I

et si l'on substitue cette expression de -^-p- avec celles de z et ,

dans l’équation (9), on trouvera quelle devient identique, d après la nature des coefficiens A, , A t i A,, &c., et. de l’exposant k. On pourra aussi prendre successivement pour k les deux racines de l’équation (2) ; et si l’on désigne par k' la seconde racine, et par A',, A',, A ,, &c., la suite de coefficiens qui fui correspond, on aura

1 dcL

(to)

ANALYSE. * 4 '

pour l’intégrale complète c!e l’équation {ÿ\, O .t’ et -]/ x représentant deux fonctions arbitraires, indépendantes l’une de l’autre.

A cause que les intégrales relatives à et s’étendent depuis etzzz —oo jusqu a et -f- oo, on voit clairement que le changement de signe de a donnerait une seconde expression de % , absolument identique avec la précédente ; ce qui est également vrai, quoique moins facile à vérifier, par rapport au second membre de l’équation (4)» ainsi que nous l’avons dit dans le n.° 3. Les séries contenues sous le signe / étant les mêmes que celles qui entrent dans cette équation (4) , on les ramènera à la forme finie, dans les mêmes cas et par la même analyse que précédemment. Nous allons considérer successivement cés difFérens cas.

[14.] Lorsque les racines k et k' de l’équation ( 4 ) seront toutes deux positives, ce qui les suppose plus petites que l’unité, l’équation (10) prendra la forme [n.° 7] :

°° £ <J> (,v cos où -f- 2 a et V /) sin 1 '* -1 cà d a? J* - * 1 d et

-{-X ~ k J °° \J' 7F 4 ' (x COSCù 2 .Û et ■/}) s\r\'-- k O) </&>] e-* 1 d et ,

en observant que k' = 1 — k. Lintégrale complété de 1 équation (9) s’exprimera donc, dans ce cas, sous forme finie, au moyen d'intégrales définies doubles; mais il est très-remarquable que, sous cette forme , cette intégrale contienne deux fonctions arbitraires, indépendantes l’une de l’autre, quoique, d’après la nature de l’équation (9), son intégrale complète en série ordonnée suivant les puissances de /, ne doive renfermer qu’une seule fonction arbitraire. Pour dissiper tous les doutes qui pourraient résulter de cette remarque, il est bon de vérifier que les deux fonctions arbitraires contenues dans la valeur précédente de se réduisent à une seule dans son développement suivant les puissances de t.

Or, si l’on réduit en série, par le théorème de Taylor, les deux fonc- XlXd Cahier. H h

lions q>( vcosw-t- 2 adûVt) et ^ ( x cos « h— zacf/t) , et si Ion fait attention que n étant un nombre entier er positif quelconque, on a

e' Al <L 1,1 dcL :

on en déduira, pour ie développement de la valeur de Z> une st ^ r * e cette forme :

les coefficiens X„, X, , X z , &c., étant des fonctions de x dont le terme général X n sera

X n — x h | /ttJ ‘ cos u) sin 1 ' 4-1 u du

H- x' ~ k V'*f„ * \ (%n) (* cos w ) s * n '~ tk du :

on désigne, pour abréger, par <p' x, a, &c., ^ / 4' x, &c. , les coefficiens différentiels successifs de <px et 4*' en sorte qu on suppose, dans cette expression ,

. , tH -. <i ln <p * | fi»; y — AllAjL .

Si l’on y met n — 1 à la place de n, on aura

X nJ t = x k \/^J o * Cp îrt - 1 (a* cos a) sm lk ~' u du

-h x'~ k V*j * 4 s ” i (* cos "ï sin '~~ tk " ;

d’où ion tire

d1 X-* — ' ) x -t-zkx k Vv /* T (A-coswJsin^'”' u '~~~—du

-1-2(1 — k)x'~ Â Y-nf Q ^ 4 ' * n ~ ,} (xcosc*>) sin l ~~ lk u -~p- du -h x* yV^ ^ q> (2 ” ; (a cos u ) sin aA ” ' u cos* u d u x'~ k ^ \ (ln (xcoswj $h\'z lk ucos'u du ;

ANALYSE. 2 43

mais en intégrant par parties, et observant que A étant positif et < i , on a sin 2/4 u=zo et sin 2 2/4 u = o aux deux limites, il vient

f cj> cos co)d. sin 2 k u xj~ Cf) t2Wy (.y cos 6>) sin 2 ^ +I u du ,

f * [xQoscùjd.sm 1 -^ où = *J o ( x cos a) sin 3 " 2 * u du \

au moyen de quoi l'équation précédente devient -- / An - 1 — X„- ‘+-x k V~7f f* Q (inJ {xcos a) sin ik ~' u du

-t- x'~ k Y TT J (* COS") sin ' %l . " :

donc à cause de A (A— i ) z= /// et de la valeur de X„, nous aurons

On exprimera de même X n x au moyen de AV-i, et ainsi de suite jusqu’à X Q :, et de là, on peut conclure que toutes les fonctions X Q > X,, X lt &c., s’exprimeront au moyen de la première, dont la valeur est

X a — x k Yvrf * <P {x cos u ) sin 2 k “ 1 u du

-q- x* , ’" <t /tt^ T ^ ( .Y cos u ) sin 1 u d u t

et de ses coefficiens différentiels relatifs à .y. Cette quantité X Q sera donc la seule fonction arbitraire de x qui entrera dans la valeur entière de i, en série ordonnée suivant les puissances de t; ce qu il s agissait de vérifier.

Pour exprimer d’une manière générale la valeur de X„ , convenons d’indiquer par la caractéristique , placée devant une fonction quelconque A" de x, la combinaison-^-^-—■A'; pa r ^ A, «b 5 A, &c.,

la même combinaison dans laquelle on a mis successivement X,

Hh 2

244 ANALYSE

J Ki X , &c., à la place de X; c’est-a-dire, faisons, pour abréger,

d 1 x — x = cb X,

— -- S^Xz=r X ,

d Xî

D’après cette notation , on déduira de l’équation (i i),

la valeur de £ en série deviendra donc

et l’on reconnaît sans peine quelle exprime l’intégrale complète de lequation (p), X q étant la fonction arbitraire.

Cette singularité d’une série qui ne contient qu’une seule fonction arbitraire, et dont l’expression, sous forme finie, en contient deux, distinctes et. indépendantes entre elfes , méritait d’être remarquée, et c’est, je crois, la première fois quelle se présente dans l’analyse.

[ I j-, ] Si l’on a k = -X -, et par conséquent m = - j , l’équa¬

tion (p) sera , dans ce cas,

T = a '(-TÏ-+ iXY’

et son intégrale complète , déduite de celle du n.° précédent , sera

£ zm x 7 j 00 £ J" f [x cos'w -H- z a <t Vt ) d a ] e ~ eL ' d a.

+ l x cos « -H 2 a et Vt ) log (x sia 1 a» ) d a J e * ‘ r/a ;

ANALYSE

f et F indiquant deux fonctions arbitraires et indépendantes entre elles. On vérifierait, comme dans le n.° précédent, que ces deux fonctions se réunissent en une seule , dans le développement de cette valeur de £ suivant les puissances de /.

En faisant £ =: u\/x, on aura

du , / d* u I d u \

dt \ d x* x d x J

C'est l’équation aux différences partielles d’où dépendent les lois de la distribution de la chaleur dans un cylindre homogène et à base circulaire , lorsque tous les points également éloignés de l’axe sont également échauffés. Son intégrale complète sous forme finie sera

u £ y" * f(xc os a -H 2 a cl Vt) d J e "* 1 d cl

■+•'***/-il r: F (x cos a -f- 2 <7 et Y t ) dcù J e “* 1 d cl

+'/zu: F[* cos u> -t- 2 a cl V t) Iog(sin a>) d a J e “* d cl.

Mais si l’on veut que cette valeur de u ne devienne pas infinie pour x —O, il faudra en faire disparaître le second terme qui a log a pour facteur ; ce qui exige qu’on fasse la fonction F égale à zéro, et réduit cette expression à

u zz[/ */(* cos a -t- 2 a cl V1) d J e~ al d cl :

on naura plus alors qu’une intégrale particulière de l’équation (9), qui suffira néanmoins pour résoudre le problème de la chaleur, comme on le verra dans le Mémoire suivant.

[16.] Supposons encore que k soit un nombre entier et négatif, que nous désignerons par —/. En faisant k = — i et k’ — 1 -+-* > dans le second membre de l’équation (10) , la première série qu’il renferme ne se composera que d’un nombre fini de termes ; la seconde s’exprimera aussi

246 ANALYSE

sous forme finie par le moyen d’une intégrale définie ; et cette équation

deviendra d’abord (ji." 4 4 et I0 ]>

, rc or . ' , a

X J* I <J> (x+2 a<LV t X

t d 1 <p(x-^zaaVi)

A % d‘<p\x-i-J. a a r t ) -I A t x* dou

-f- y-y* 00 T (x cos « H- 2 ^2 cl "//) sin 11 w J ^ »

le terme général A n de la suite de coefïiciens A t , A a , ^ c * ’ e * ant

i.i—i.î— 2.1—3 . i-n-hi ( 2 )"

zi.zi— 1. 2 î—2.2/ — 3 -2/ —n-t-J

Mais l’intégrale relative à co , contenue dans cette valeur de s obtient sous forme finie; et si l’on fait

on aura , d’après ce eju’on a vu dans le n.° .11,

/ dF[x-t- zaa i/~ t ) d F [—x -h 2 aa-y/t) \

— F( — x-\-2actV t)-î-A t xy — x J x J

a / d 1 F [x zaa. J t) d x 1

d 1 F [—x-t-z a cl V~t)

i / d' / r ( x-4-2Utf/r) </ x'

</' F[—x-\-zaa V~ t )

r étant une constante dont la valeur dépend de i, et A,, A„ A ,, &c., exprimant les mêmes coefficiens constans que dans l’autre partie de la valeur de 2 . Or, en faisant c[Fx-F(-*)]=/* ‘ et observant q ue

f~F{-x + 2a*Vi)e- %

on en conclura

ANALYSE

x * f OO [ fc /' T ' 4 / ( A ' C0S w "+- Md-Vt) siii t,+1 u da~^e da*

■ /'CO r / \ . >1 d f{x 2aa-/~t)

= *'"'/.oo [A* ^ 2<,<t ^*) - rf ï- L

-t-A>x' i-Aix* ' ,/( T, 3 T ,r,>

quantité dont on pourra faire abstraction dans la valeur de £, puisqu'elle se confond évidemment avec la première partie de cette valeur. Nous aurons donc simplement

d l <p (x la a. yT t ) d x x

- 2 a. a Vï )

pour l’intégrale complète de l’équation (9) dans le cas de kzzz .— /, ou de /// = /(/ -4- 1), c’est-à-dire, de l’équation

dans laquelle / est un nombre entier et positif quelconque. On verra dans le Mémoire suivant que cette équation se présente dans la recherche des lois de distribution de la chaleur dans une sphère homogène, primitivement échauffée d’une manière quelconque.

[ 17.] Si l’on veut que la valeur de £ qui satisfait à cette équation, ne devienne pas infinie pour *zz:o , il faudra que le produit £x l s’évanouisse avec v ; il faudra donc qu’on ait, quelle que soit la valeur de t,

ce qui exige que l’on suppose

pour toutes les valeurs de x. Or, on remplira cette condition de la manière la plus générale, en désignant par Fx une fonction arbitraire, et prenant

ANALYSE

si donc on a égard à l'équation (12) que nous venons de former*, que l’on comprenne ie facteur constant c dans la fonction arbitraire , et que l’on fasse, comme plus haut,

la valeur précédente de z deviendra ^ — x i+ * °° j J * \ (x cos sin lw *' u> do)~^e~ a dcL ;

et quoiqu’elle contienne une fonction entièrement arbitraire, elle ne sera plus qu’une intégrale particulière, puisqu’elle résulte de l’intégrale complète, en y astreignant la fonction arbitraire à une condition qui en restreint la généralité.

[18.] Soit enfin A = / étant toujours un nombre entier

et positif quelconque. On aura mzrzi — , et 1 équation (9) seia

D’après ce qu’on a vu dans le n.° 12, son intégrale complète s’exprimera sous forme finie ; mais la valeur entière de z sera très-compliquée ; et , au contraire , elle se simplifiera beaucoup , si l’on en rejette la partie qui deviendrait infinie pour .v = o : on aura alors

£ — x i+ \J ' 00 T -(|) (x cos tù -t- 2 cl CL Y t) sin 11 « civile ** d ce ,

<}> indiquant une fonction arbitraire. Elle coïncide évidemment, dans le cas de /=o , avec la valeur de z donnée pour le même cas dans le n.° 15.

Cette dernière équation aux différences partielles est relative aux lois de la distribution de la chaleur dans un cylindre homogène et à base circulaire, primitivement échauffé d’une manière quelconque ; et quoique la valeur de u que nous venons d’écrire n’en soit qu’une intégrale particulière, elle suffira pour la détermination de ces lois, ainsi quon le verra dans le Mémoire suivant.