XIX.‘ Cahier. I

à laquelle on parvient, est subordonnée à cette hypothèse ; elle serait differente, par exemple, si le rayonnement intérieur s’étendait à une distance sensible : dans la supposition contraire, que nous avons adoptée, cette équation ne dépend pas de la forme du corps ; elle dépend uniquement de sa constitution intérieure ; et je l’ai obtenue dans le premier Mémoire, pour le cas d’un corps hétérogène dans lequel la conductibilité et la chaleur spécifique varient d’un point à un autre, suivant des lois quelconques. Cette équation générale coïncide, dans le cas particulier de l’homogénéité , avec celle que M. Fourier avait précédemment donnée pour le même cas.

Relativement aux points voisins de la surface , on admet qu’indépendamment de leur rayonnement mutuel', ils émettent de la chaleur au dehors ; de manière que la chaleur rayonnante qui s’échappe d’un corps solide , ne part pas seulement de sa surface , mais elle émane aussi de tous les points qui en sont voisins , jusqu’à une profondeur imperceptible. Pour conclure de ce mode de rayonnement extérieur , l’équation du mouvement de la chaleur à la surface d’un corps de forme quelconque, j’ai supposé, dans mon premier Mémoire, que la température n’éprouve pas de changement brusque près de cette surface, c’est-à-dire, qu’à la surface même et dans l’étendue où se fait l’émission extérieure , la température ne diffère pas sensiblement de celle qui a lieu à la petite profondeur où cette émission a cessé. A la vérité, la loi de continuité exige que l’on passe par une gradation insensible , de la température du corps à celle du milieu dans lequel il est placé ; mais notre hypothèse n’était pas pour cela inadmissible ; car on peut concevoir qu’il existe en dehors du corps, dans le milieu extérieur , une couche d’une épaisseur aussi petite quon voudra , dans laquelle la température varie très-rapidement, et qui serve à lier l’une à l’autre les températures intérieure et extérieure. II était donc nécessaire d’examiner ce qui devait arriver dans cette hypothèse : or, il en résulte , comme conséquence nécessaire , une relation entre les deux fonctions des petites distances qui expriment la loi du rayonnement

intérieur et ia loi de l’émission de la chaleur au dehors, relation qui n a rien d’impossible en elle-même, mais qui n existerait pas en général, si ces deux fonctions étaient données à priori. L équation relative à la surface, obtenue de cette manière, ne serait démontrée que pour le cas ou cette relation aurait effectivement lieu ; ce qui laisserait du doute sur sa généralité, et sur les applications qu'on en pourrait faire. C’est pour cette raison que j’ai repris en entier cette question dans ce second Mémoire, pour la traiter sous un nouveau point de vue.

Je regarde maintenant le corps que l’on considère comme terminé par une couche d’une épaisseur insensible, dans laquelle néanmoins ia température éprouve une variation d une giandeui sensible . cette couche peut d’ailleurs se prolonger au dehors dune quantité également insensible; de manière que la température inconnue qui répond à la surface même du corps, puisse différer sensiblement de celle qui a lieu à une distance insensible, soit au dehors, soit à 1 intérieur. Pour expliquer plus facilement cette disposition de la chaleui aux extrémités des corps solides , nous pouvons ia comparer a une circonstance analogue qui se présente dans la théorie des tubes capillaires, dont la physique est redevable à M. Laplace . On sait, en effet, d’après cette théorie, que le plan tangent à la surface d’un liquide qui s’élève ou qui Rabaisse dans un tube capillaire, varie très-rapidement près des parois du tube, de telle sorte quelle est très-différente à ia paroi meme et à une distance imperceptible : la nature de cette surface près des parois du tube dépend à-la-fois de ia loi de l’attraction du liquide sur lui-même, et de ia loi de l’attraction du tube sur le liquide, de même que les températures des points voisins de la surface d’un corps échauffe dépendront, dans notre nouvelle hypothèse, de la loi démission de la chaleur au dehors et de celle du rayonnement intérieur U une distance sensible de la paroi, l’équation de la surface du liquide est connue, et ne dépend plus des lois d’attraction ; et aussi dans l’intérieur du corps-, ia loi des températures est indépendante de la fonction qui exprime ia loi du rayonnement à petites distances entre ses molécules.

Léquation quii s’agissait d’obtenir, à laquelle je-suis parvenu dans ce second Mémoire, a la même forme que celle qui se trouve dans le premier ; mais elle n’est plus sujette à aucune restriction, et le sens réel qu’on y doit attacher, est fixé d’une manière précise : au lieu de s appliquer à la température des points de la surface qui reste inconnue , et qui ne saurait non plus être donnée par l’observation , cette équation subsiste pour la température qui a lieu à une très-petite profondeur , laquelle température est en même temps celle que l’on peut calculer et que l’on peut observer.

Dans le premier Mémoire , j’ai aussi considéré la distribution de la chaleur dans un corps composé de deux parties de matières différentes, en supposant toujours, comme pour la surface extérieure, que la température n’éprouve pas de changement brusque près de leur surfacé de contact. Dans celui-ci , j’examine de nouveau cette hypothèse, et je fais voir qu’elle entraîne des conséquences qu’on ne peut admettre, sans nuire à la généralité de la question. En l’abandonnant ensuite, je parviens à deux équations relatives à la surface de contact, qui n’avaient pas encore été .données. Outre la conductibilité propre de la matière dans chacune des deux parties du corps, ces équations renferment une quantité qui se rapporte au passage de la chaleur de l’une de ces parties dans l’autre, et dont la valeur ne peut aussi se déduire que de l’observation : j’ai • indiqué, à la fin de ce Mémoire, les expériences et les -calculs qu’il faudrait faire pour déterminer cette valeur de la manière qui paraît la plus susceptible d’exactitude.

Les équations différentielles du mouvement de la chaleur étant ainsi établies, il faudrait, pour en faire des applications numériques, connaître les valeurs de certains élémens quelles renferment, savoir : la chaleur spécifique de 4 a matière du corps, la mesure 0 * de sa conductibilité propre , celle du pouvoir rayonnant de sa surface pour un excès donné de sa température sur celle du milieu extérieur, et enfin la quantité relative au passage* de la chaleur d’une substance solide dans une autre. Il serait donc à desirer que l’expérience eût fait connaître, pour

un grand nombre de corps, les valeurs de ces divers élémens '/mais si ion excepte la chaleur spécifique, nos connaissances à l’égard des autres sont encore extrêmement bornées. D’un autre coté, pour que les équations différentielles restent linéaires et puissent être résolues , on est obligé de regarder ces diverses quantités (tomme indépendantes de ia température ; or, I expérience a prouvé , au contraire, que ia chaleur spécifique et la mesure du rayonnement extérieur éprouvent de grandes variations dans les hautes températures ; et il est naturel de penser quil en est de même à l’égard de la Conductibilité. La solution des problèmes particuliers, fondée sur l’invariabilité de tous ces élémens , n est donc qu’une approximation qui sera suffisante dans le cas des températures ordinaires, mais qui pourrait induire grandement en erreur, lorsqu’il s’agira de températures qui viennent ^dépasser certaines limites.

I elle est l’analyse-succincte de la partie physique de la question qui fait 1 objet de nos deux Mémoires. La résolution des équations différentielles dans les différens cas. qu’il est possible de traiter, relativement à la forme du corps et à la distribution primitive de la chaleur entre tous ses points, n’offre plus que des problèmes de pure analysé, pour lesquels on peut suivre deux méthodes différentes qu’il est bon de comparer entre elles.

L’une de ces méthodes est celle que j’ai suivie dans le premier Mémoire. Elle consiste à partir directement de l’intégrale complète sous forme finie, de l’équation aux différences partielles-, relative à chaque problème particulier. La fonction arbitraire que cette intégrale renferme, représente immédiatement, du moins dans tous Tés exemples du premier Mémoire, la loi des températures initiales des' points du corps que Ion considère : dans d’autres questions plus compliquées, elle est implicitement liée à cette loi ; de manière qu’elle est censée déterminée dans tous les cas, mais seulement pour toute l’étendue du corps dont il sagit; et elle reste, air contraire, indéterminée pour toutes les valeurs des variables correspondantes à des points qui tombent hors de cette étendue. Cette division d’une fonction arbitraire en plusieurs

portions qui forment comme autant de fonctions differentes , et dont une seule est donnée par les conditions initiales de la question , se retrouve dans les solutions de la plupart des problèmes de physique ou de mécanique dépendans des équations aux différences partielles , et le problème des cordes vibrantes en offre le 'plus simple et le plus ancien exemple. L’indétermination d’une partie de la fonction arbitraire est ce qui permet, dans ces différens problèmes, de satisfaire aux équations qui se rapportent aux extrémités du corps ; et dans la question qui nous occupe actuellement ,*on parvient, au moyen de ces équations, par une singulière analyse , sinon à déterminer , du moins à éliminer en entier la partie inconnue de cette fonction ; en sorte qu’il ne reste que des quantités données dans l’expression des températures de tous les points du corps à un Instant quelconque. De plus, cette expression se trouve alors transformée en une série infinie d’exponentielles , dont les exposans ont le temps pour facteur, et sont essentiellement réels et négatifs , et dont les coefficiens ne dépendent pas de cette variable. Après un intervalle de temps plus ou moins considérable, cette série se réduit sensiblement à un seul terme , à celui qui contient l’exponentielle affectée du moindre exposant ; d’où il résulte que le temps continuant à croître par degrés égaux, les températures de tous les points du corps décroissent suivant une même progression géométrique, dont le rapport est indépendant de la distribution initiale de la chaleur ; et c’est lorsque les corps primitivement échauffés d’une manière quelconque, sont parvenus à cet état régulier, que les physiciens commencent à observer les lois de leur refroidissement*

La seconde des deux méthodes que nous voulons comparer, est, pour ainsi dire, l’inverse de la première. Elle consiste à représenter la température à un instant et en un point quelconques , par une série infinie d’exponentielles dont les exposans sont proportionnels au temps , et les coefficiens, indépendans de cette variable; qui satisfasse à l’équation aux différences partielles du problème, et puisse en être regardée comme l’intégrale complète. On détermine sans difficulté les exposans

MATHÉMATIQUE. 2.5 j

et une partie des coefficiens de cette série , au moyen des équations relatives aux extrémités du corps ; après quoi Ion dispose du reste des coefficiens pour assujettir la série à représenter les températures initiales, qui sont données arbitrairement pour tous les points du corps. Or, pour qu’il ne reste aucun doute sur la généralité d’une telle solution , il faut qu’on soit certain que la série d’exponentielles exprime, en effet, l’intégrale la plus générale de l’équation du problème; car, sans cela, 011 pourrait craindre qu’en partant d’une autre forme d’intégrale, on ne parvînt à une autre distribution de la chaleur à un instant quelconque. 11 est vrai que le problème semble , par sa nature , ne devoir admettre qu’une seule solution; mais si cela est, il vaut mieux que ce soit une conséquence de la solution directe de la question , plutôt qu’une des données qui servent à la résoudre. Cependant l’usage des séries d’exponentielles pour représenter les intégrales des équations linéaires aux différences partielles, est d’une grande utilité dans beaucoup de problèmes de physique ou de mécanique ; il y en a même plusieurs qui ne se résoudraient que très-difficilement sans le secours d’une série de cette nature : il était donc bon d’en fixer le degré de généralité; et je crois y être parvenu par une considération fort simple, sur laquelle je me suis déjà appuyé dans d’autres recherches , et que j’aurai l’occasion. de rappeler dans la suite de ce Mémoire. Quant à la représentation des températures initiales par la série dont il est question , on y parvient assez simplement dans plusieurs des problèmes que l’on a résolus jusqu’ici ; mais on trouvera dans ce Mémoire , des moyens généraux et directs que je propose pour atteindre le même but, qui pourront s’appliquer aux cas les plus compliqués , et qui serviront à compléter , sous ce rapport , la méthode que nous examinons. La seule difficulté quelle présentera encore, c’est la nécessité où l’on est, en suivant cette méthode, de prouver que les coefficiens du temps dans les exponentielles sont tous des quantités réelles et négatives; ce qui est indispensable, non pas pour la solution même de chaque problème, mais pour qu’on puisse déduire de cette solution

les états successifs du corps échauffé , et particulièrement l’état final qui précède son refroidissement complet. Or , ces coefficiens sont les racines d’équations transcendantes, dont la forme varie pour les différens problèmes et qui sont quelquefois très-compliquées : dans tous les cas, on reconnaît immédiatement que leurs racines réelles ne peuvent être que négatives ; mais si l’on excepte les plus simples de ces équations , on n’a aucun moyen de s’assurer de la réalité de toutes leurs racines ; et généralement les règles que les géomètres ont trouvées pour cet objet , ne sont point applicables aux équations transcendantes , comme nous le ferons voir par des exemples. Ainsi , à cet égard , la seconde des deux méthodes que nous examinons, est moins complète que la première , à laquelle cette difficulté est tout-à-fait étrangère.

Les problèmes particuliers que j’avais choisis pour exemples dans mon premier Mémoire, étaient les plus simples que présente la théorie de la chaleur : ils se réduisaient réellement tous au cas d’une simple barre , échauffée d’une manière quelconque , auquel on ramène sans difficulté le cas d’une sphère qui a la même température dans tous ses points également éloignés du centre, et dont on étend la solution au cas d’un parallélépipède rectangle quelconque , en considérant successivement, et indépendamment l’une de l’autre, les trois dimensions de ce corps. Mais j’annonçais, en terminant le préambule de ce Mémoire, que j’essaierais par la suite d’étendre ce genre de recherches à d’autres questions d’un ordre plus élevé : ces questions soht celles dont je me suis occupé dans mon nouveau Mémoire.

Le principal problème dont il renferme la solution complète , estrelatif à la distribution de la chaleur dans une sphère homogène, primitivement échauffée d’une manière entièrement arbitraire ; et quoique cette question ait été traitée avant moi par M. Laplacé (*), on ne trouvera pas sans doute superflu que cet important problème soit résolu de

(*) Connaissance des temps t année 1823.

mathématique. 2 57

deux manières différentes. D’ailleurs, la méthode que j ai sui\ie a la vantage de s’appliquer en même temps au cas dun cylindre homogène, à base circulaire, dans lequel la distribution initiale de la chaleui est aussi tout-à-fait arbitraire; problème dont on ne s'était point encore occupé, et qui sera résolu par les memes formules que celles qui ton ferment la solution du problème relatif a la sphere.

Afin de pouvoir appliquer cette dernière solution aux températures du sphéroïde terrestre, abstraction faite toutefois de la non - homogénéité de ses couches, il a fallu supposer que la température du milieu extérieur varie, non - seulement avec le temps, mais aussi d’un, point à un autre de la surface. Or cette sorte de variation présente deuxcas qu’il importe de bien distinguer :

La température extérieure change avec la latitude; mais on trouve qu’à raison de la grandeur du rayôn terrestre . cette variation n’a pas d’influence sensible sur la loi des températures dans le sens de la profondeur, pourvu du moins que la distance à la surface soit très-petite par rapport au rayon , ainsi que cela anive.à toutes les pro fondeurs où les observations peuvent se faire. Cette remarque est due à M. Laplace ; et sur ce point je n’ai fait que confirmer le résultat de son analyse, en montrant aussi que cette variation de chaleur dépendante de la latitude n’influe pas non plus sur la loi du décroissement des inégalités périodiques diurnes ou annuelles , ni sur 1 instant de leur maximum, à diverses profondeurs.

2.° La température extérieure varie encore par des circonstances locales, de telle sorte quelle s’élève quelquefois à des degrés très-différens, dans des lieux qui ne sont séparés que par de petites distances : or , cette autre espèce de variation influe sur la loi des températures intérieures ; et il en résulte que la chaleur qui existe à une pro on eut déterminée, ne dépend pas uniquement de celle qui a lieu à la sur ace sur la même verticale ; elle dépend aussi des température, des points circonvoisins, jusqu’à des distances plus grandes que cette meme pro- XIX.’ Cahier. Kk

fondeur. On trouvera, dans mon Mémoire, une formule pour calculer le degré de chaleur qui doit avoir lieu à une distance donnée au-dessous de la surface de la terre , d’après les températures des points de cette surface, fournies par l’observation.

Ces résultats se rapportent à l’état permanent du sphéroïde terrestre, déterminé par les causes qui agissent constamment à sa surface, et indépendant de sa chaleur primitive. Mais j’ai aussi considéré l’état final d’une sphère homogène d’un très-grand rayon, qui précède immédiatement son état permanent, et dans lequel on verra que les températures de tous les points également éloignés du centre , sont devenues égales entre elles, et proportionnelles à la moyenne de leurs grandeurs initiales ; de manière que l’inégalité de température subsistera encore dans le sens du rayon , à une époque où elle aura entièrement disparu dans tout autre sens.

Le dernier paragraphe de ce Mémoire est relatif à la distribution de la chaleur dans une sphère composée de deux parties de matières différentes. J’ai choisi ce problème pour donner un exemple de l’usage des nouvelles équations que j’ai annoncées plus haut, et qui se 1 apportent au passage de la chaleur d’une partie d’un corps dans un autre. Il m’a aussi fourni l’occasion de faire quelques remarques sur le refroidissement des corps solides recouverts par une couche très-mince d’une matière différente de la leur , et sur celui des liquides contenus dans des vases d’une très - petite épaisseur : je les soumets aux physiciens*; elles montrent, ce me semble, l’imperfection de la méthode que l’on a suivie quelquefois pour comparer les chaleurs spécifiques de différens corps, d’après les vitesses de leurs refroidissemens.

mathématique.

§. I. er

Équation différentielle du Mouvement de la Chaleur à la surface d'un Corps solide de forme quelconque .

[ I.] Dans le n.° 4 6 du premier Mémoire, nous avons calculé la quantité de chaleur que reçoit à chaque instant un point du corps situé dans son intérieur, à une distance de sa surface plus grande que celle à laquelle s’étend le rayonnement mutuel de ses molécules ; dans le n.° 51 et les suivans, nous avons calculé cette même quantité pour le cas où il s’agit, au contraire , d’un-point très-voisin de la suiface, mais nous supposions alors que la température n éprouvait aucun changement brusque près de la surface : maintenant, nous allons reprendre ce dernier calcul, en admettant, comme il a ete dit plus haut, que la température puisse varier très-rapidement dans 1 épaisseur extrêmement petite de la couche qui termine le corps, et dont les points emettent de la chaleur au dehors ; en sorte qu’au même instant cette quantité soit trèsdifférente à la surface même et à l’autre extrémité de cette couche.

Soit donc M un de ces points très-voisins de la surface ; soit M' un second point très-rapproché de M ; désignons , au bout du temps quelconque t, par /a et fÀ les températures qui ont lieu en Ai et Ai représentons par dv et dv les élémens de volume qui repondent a ces points , par s' leur distance mutuelle , et par fs . une fonction qui devienne insensible ou nulle pour toute valeur sensible de la variable s : la quantité de chaleur envoyée dans l’instant dt, par le point Ai au point M, sera représentée, comme dans le premier Mémoiie, pai le produit ( \a '— [A )f s dv dv dt t et par conséquent la quantité totale de chaleur que le point M reçoit, dans cet instant, de tous les points du corps qui l’environnent, sera exprimée par dv dt f /*)/•* dv ;

l’intégrale étant prise dans des limites convenables, que nous allons déterminer.

Kk 2

^6o PHYSIQUE

Abaissons du point M une perpendiculaire sur la surface du corps, qui la rencontre en un point que nous indiquerons par E; soit r la grandeur de la droite ME, qu’on suppose très-petite; par le point E, menons un plan tangent à la surface ; dans ce plan et par le même point , menons arbitrairement une droite fixe ; désignons par r' la perpendiculaire abaissée de M' sur ce plan , par s la droite qui joint le pied de cette perpendiculaire et le point E, et par cl l’angle que fait la ligne s avec la droite fixe : de cette manière, nous aurons

/* = j 4 -+- (r' — r) x , dv' = s ci s dr d cl.

De plus, si le point M' était à ia surface du corps , on tirerait de l’équation de cette surface une valeur de r qui serait du second ordre par rapport à s, et que nous représenterons par r —ps z , p étant une fonction de s et oc, qui ne devient pas infinie pour jirzo. Cela étant, lintégrale f [p! — p,)/s dv devra être prise, d’abord depuis r = p s x jusqu a r' = oo, et ensuite depuis ct = o, s = o , jusqu’à cc — itt , s — oa; 7r indiquant à l’ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre : on étend cette intégrale jusqu’à rzmoo et jrzoc , par 1a propriété de la fonction fs' de devenir tout-à-fait insensible dès que s a acquis une valeur sensible.

Soient encore x ' et y' les deux coordonnées rectangulaires du pied de r , rapportées au point E comme origine, et telles que l’on ait

x ' zzz s cos cl , y '.’zzz. s sin ce ;

p*' sera une fonction de x', y' et r' qui- variera très - rapidement par rapport à r' ; pour cette raison on ne pourra pas la développer suivant les puissances de cette variable ; mais la même circonstance n’ayant pas lieu à legard des deux autres variables, son développement suivant les puissances de x' et y sera permis, et l’on aura, en série très-convergente ,

fA.' — -h qx‘ -+- q'y' -+. & c . ;

les coefficiens q, q, & c., étant, ainsi que le premier terme ^r', des fonctions inconnues de r . Au point M, on aura = ju* \ r = r , x zr: o , y o , et par conséquent /x, = -sj/r.

Maintenant, si Ion néglige les termes qui ont la troisième puissance de s pour facteur, avant l’intégration relative à cette variable, on pourra intégrer par rapport à r , depuis r ; z= o jusqu a /rroo ; ensuite l’intégration relative à et s’effectuera immédiatement ; elle fera disparaître 1&termes dépendans de q et q , et il viendra

/(/x/— /x,)/V dv — x 7T °° °° (4 /r '- \ r) f s .sds dr'.

[2.] En comparant, d’après ce résultat, la quantité de chaleur que le point A 4 reçoit dans f instant dt, à celle que l’on a déterminée dans le'premier Mémoire, et qu’il recevrait à chaque instant s’il était situé à une distance sensible de la surface , on voit que la première est très-grande et comme infinie par rapport à la seconde, celle-ci

ayant pour facteur l’intégrale J' °° js . j* ds , quantité négligeable par

rapport à la double intégrale précédente. Il est donc nécessaire que cette quantité de chaleur soit compensée par celle que le point A 4 émet au dehors dans le même instant dt , sans quoi les variations de température qui auraient lieu en ce point, seraient extrêmement rapides par rapport à celles que l’on observe à l’intérieur ; d’où il résulterait près de la surface, après un très-petit intervalle de temps, des degrés de chaleur ou de froid qui seraient presque infinis , ce que nous regarderons comme impossible. Ainsi la quantité de chaleur que nous venons de calculer pour le point A 4 , doit être égalée à la totalité de la chaleur qu’il émet au dehors , et qui traverse la surface dans toutes les directions, pendant l’instant dt.

Or , la chaleur émise au dehors ne provenant que des points du corps qui sont très-voisins de sa surface, celle qui répond au point M doit être une fonction de r qui s’évanouit quand cette variable n’est

l6z PHYSIQUE

plus très-petite. Nous supposons, de plus, que cette quantité de chaleur augmente ou diminue dans le même rapport que la température du point M; par conséquent, nous la représenterons par R ( 4 sr—Qdvdt, R étant une telle fonction de r, et Ç une quantité indépendante de cette température, que nous regarderons aussi comme indépendante de r. Nous entrerons plus bas [n.° 12] dans quelques détails sur cette quantité quant à présent, il nous suffit de dire, pour fixer les idées , qu’elle exprime la température qui devrait avoir lieu près*de la surface du corps, pour que l’émission de la chaleur au dehors fût égale à zéro, ou mieux, pour que la quantité inconnue de chaleur qui part des points voisins de cette surface pour se répandre au dehors, fût égale à celle qui vient du dehors et est absorbée par ces memes points.

Cela posé, en supprimant le facteur dv dt, commun aux deux quantités qui doivent être égales, nous aurons

2 ( 4 /// - 1 ,r)f s .sds dr' R — Ç) ; (a)

équation qui aura lieu pour toutes les valeurs de r positives et trèspetites, et qui s’évanouira, comme on peut le vérifier, dès que cette variable aura acquis une grandeur sensible.

[3.] Cette équation existerait également si la température n’éprouvait pas de changement brusque près de la surface du corps. Alors on pourrait développer ^r' suivant les puissances de r —r ; en s’arrêtant à la première puissance, on aurait

au moyen de quoi, cette équation deviendrait

z ^JSl.f o X f o CO / /.(r'-r)sdsdr' = R(^r~Q.

Si l’on partage l’intégrale relative à r en deux autres , l’une prise

depuis r — 0 jusqu’à r' — r , l’autre depuis r' — r jusqu’à r = 00; que Ion fasse r— r'— x dans la première, et r'—r=.x dans la seconde; on aura, dans les deux cas, /* — et ensuite

f o r fs'.(n' — r)dr' = —f* ”fs'.xdx ,

JÏ° O fs'.(r' — r)Jr'.='/ o 0O fs'.x dx ; d’où il résulte

f™fs'.(r-r)dr‘=f~fs'.xdx, et par conséquent,

2 ™ -^IT-f, 00 [/r™ f* - x dx ) sds — R{\r — Ç).

Or, les quantités -\,r — Ç et -jy- ne variant pas sensiblement pour de très-petites valeurs de r, il faudrait qu’il en fût de même , en vertu de cette équation, à l’cgard du rapport te fs' .xdx)sds

à R; ce qui établirait une dépendance particulière entre la fonction R et la fonction désignée parla caractéristique/, c’est-à-dire, entre la loi de l’émission au dehors et celle du rayonnement intérieur ; et c’est pour cette raison, ainsi qu’on l’a expliqué dans le préambule de ce Mémoire, que nous devons rejeter l’hypothèse d’une température sensiblement invariable près de la surface du corps.

En multipliant 1 équation précédente par dr, intégrant ensuite ses deux membres par rapport a r, et considérant dans cette intégration les quantités Ç et —comme des constantes, on obtiendrait,

comme dans le premier Mémoire , l’équation relative au mouvement de la chaleur à la surface ; mais de cette manière, elle ne serait démontrée que pour le cas particulier où la dépendance dont nous venons de parler aurait effectivement lieu.

{ 4 .] Si la forme des fonctions R et f était connue, l’équation (a) servirait à déterminer ia forme de la fonction ^ » 011 ^ es tem ”

pératures, à une instant quelconque, dans l’épaisseur de la couche superficielle qui émet la chaleur au dehors. A la vérité, ^ r est censt ^ e donnée arbitrairement à l’origine : cette équation ne subsiste donc pas, en général, dans les premiers instans où le corps commence à rayonner ; mais, à raison des grandes variations de température qui ont lieu près de la surface tant que cette équation n’existe pas, on peut supposeï quelle s’établit très-promptement, et dans un intervalle de temps dont nous ferons abstraction , sans crainte d’erreur sensible. Ces deux fonctions R et f n’étant pas données, la valeur de ^ r à un instant quelconque reste également inconnue ; néanmoins 011 déduit de lequation (a) une relation , dont nous verrons bientôt l’utilité, entre la température intérieure du corps et celle qui subsiste au même instant près de sa surface.

En effet, soit u la température qui a lieu sur la normal e-E M, à une distance très-petite de la surface, mais cependant hors de la couche qui émet la chaleur au dehors ; pour une valeur de r, un tant soit peu plus grande que l’épaisseur de cette couche, on aura \r = u, er pour une valeur quelconque de cette variable, on pourra faire • 4 ' t u H— ( u — ^ r ;

la fonction <pr étant nulle dès que l’on donne à la variable r une grandeur sensible. On aura en même temps

\r =zu-*-{u — OQ r ' !

substituant ces valeurs dans l’équation (a) , et supprimant ensuite le facteur h—Ç, constant et commun aux deux membres, il vient

2 (P ''- sdsdr = (i-f- 0 r)/?. (b)

Or, l’expression de $ r, déterminée par cette équation, ne saurait évidemment dépendre de u, puisque, par hypothèse, les fonctions R et fs

sont indépendantes de cette température : il s’ensuit que , passé les premiers momens du refroidissement d’un corps, la température près de la surface varie constamment dans le même rapport que celle qui a lieu à une profondeur sensible , et l’on voit aussi que le rapport de \r—u à u— £, ou la quantité <pr, ne dépendra ni de la forme du corps, ni de la distribution de la chaleur dans son intérieur, puisque ni l’une, ni l’autre n’influent sur l’équation (b).

Voilà tout ce qu’on peut connaître sur les températures des points voisins de la surface qui émettent de la chaleur au dehors ; mais on va voir que cela suffit pour parvenir à former l’équation différentielle qui fait l’objet principal de ce §.

[5.] Pour cela, appelons a l’élément de la surface qui répond au point EI sur o >, comme base, élevons dans l’intérieur du cprps un prisme normal à cette surface ; par son extrémité intérieure, que nous appellerons E', menons un plan parallèle au plan tangent en E, et désignons par h la distance comprise entre ces deux plans, qui est aussi la hauteur du prisme normal. Nous supposerons cette hauteur extrêmement petite, mais pourtant assez grande pour qu’aucun des points appartenant à la couche qui émet de la chaleur au dehors, ne puisse agir sur le point E'. La quantité de chaleur que le prisme acquerra pendant l’instant dt , sera composée de celle qui lui viendra de l’intérieur du corps , augmentée de celle qui pourra lui être communiquée par la tranche superficielle, dont l’épaisseur est h, et à laquelle il appartient, et diminuée de la quantité totale de chaleur qu’il émettra au dehors; appelant donc respectivement Uudt, Qcedt et Pudt, ces trois quantités, cet accroissement de chaleur sera exprimé par (U-*-Q — P)cù dt : or, le volume de ce prisme étant hoc, pour qu’il natteigne pas, après un temps fini , à un degré de chaleur ou de froid que nous avons regardé comme impossible [ n.° 1 ] » d faut que le coefficient de odt , dans cette expression, soit du même ordre de peti- XIX* Cahier . L 1

tesse que la hauteur h ; donc, en négligeant les quantités de cet ordre, nous aurons

Ainsi , nous allons calculer successivement les trois quantités qui entrent dans cette équation ; et en y substituant leurs valeurs , nous aurons l’équation différentielle qu’il s’agit d’obtenir. On y parviendrait également en multipliant 1 équation (b) par dt, et intégrant ensuite ses deux membres depuis r=o jusqu’à r = oo; mais la marche que nous suivons , et qui ne diffère pas essentiellement de cette intégration , donne lieu néanmoins à quelques développerons qui ne seront pas sans utilité.

[6.] Commençons donc par la valeur de U ; et, pour la déterminer, soit a la température qui a lieu en E' au bout du temps t; désignons par x, y, £, les trois coordonnées rectangulaires de E', et supposons l’axe des z parallèle à la normale £ 7 s', et dirigé, comme cette droite, dans l’intérieur du corps; soient ensuite x-h-x ', y-\-y ; z~h Z> les coordonnées rapportées aux mêmes axes, d’un point m pris dans l’intérieur du corps et très-voisin de E' : la température relative à ce point se déduira de u, en y faisant croître x, y, z, de x, y, {, et f 0 n pourra développer sa valeur en série très-convergente suivant les puissances de ces accroissemens, puisque les points E' et m' n’appartiennent ni l’un ni l’autre à la couche qui émet de la chaleur au dehors; par conséquent la température au point m , sera exprimée par

TT

-ijy

Représentons encore par q la distance mE' d’un point m , pris sur l’axe EE du prisme, au point E , de sorte que x,y et z —soient les trois coordonnées de ce point m : pour qu’il puisse recevoir de la chaleur de la partie intérieure du corps , dont nous considérons actuellement l’action sur le prisme, il faudra qu'il soit très-rapproché de E\ et qu’il

ne fasse pas partie de la couche qui émet de la chaleur au dehors ; 1 expression de sa température pourra donc aussi se développer suivant les puissances de q , et l’on aura, pour sa valeur,

du 0

Donc, en négligeant les quantités du second ordre par rapport à x', y' > Z et q> l’excès de la température de m' sur celle de m, sera exprimé par

du., x ,