LI

de et ; les intégrales relatives à i et à j pourront s’étendre ,

comme celfe qui se rapporte à q , depuis zéro jusqu a l’infini ; par conséquent, on aura

U<*dt=i-K<*dt {<1+Ï)fs .sdsdi dq.

On a mis entre deux parenthèses la différence partielle pour

rappeler quelle sé rapporte à une direction particulière de l’axe des £, savoir, à la direction E E', normale au point E.

[7.] Après plusieurs transformations, cette intégrale triple se réduit à une intégrale simple. En substituant d’abord la variable / à z , on aura s ds = [q-^Z \dz ; soit, en outre, q z -+-s x = q' t \ il viendra

où l'on a fait, pour un moment,

fs .s ds' = Q'.

Substituant ensuite la variable q' à s, nous aurons q' dq r z=zsds ; et il en résultera

u —, ivr (4f)/.°° (/r q ' * j ‘> i ) **•

L’intégration par parties donne

à la limite q— 00 , le terme compris hors du signe f s’évanouit; on a d’ailleurs dQ ' = —fq .q dq ; on aura donc

f-Q'qdq'^—^ff^fs'.s'ds' + d-f-fq'.q'ldq'.

On obtiendra encore, par de nouvelles intégrations par parties,

MATHÉMATIQUE. 2é 9

f7 (17 fS ' ■ J ** ) q ' dq = Tfo°° Jq ' q ' d<1 ’

[7 (J7f q '' q J dq ) dq —S7 fq ■ q “ dq;

d’où Ion conclut

et en faisant ensuite

~f7f q - q * dq - k /

011 aura définitivement

La quantité k représentera ici, comme dans le premier Mémoire [n.° 46], la mesure de la conductibilité de la matière dont le corps est formé ; et s’il s’agit d’un corps hétérogène, cette mesure se rapportera au point E[ que ion considère.

[8.] Pour calculer la quantité de chaleur que le prisme entier reçoit de la couche superficielle dont il fait partie et dont la hauteur est h, nous conserverons toutes les notations du n.° i. cr ; observant, en outre, que ion a dv = a>dr , pour l’élément du prisme qui répond au point M , situé à la distance r de la surface , et que l’on a représenté cette quantité de chaleur par Qudt, nous aurons

Qoàdt-=. l'K cù dij 00 J * 0 .dr dr^sds.

Or, l’intégrale double relative à r et r' se composera délemens qui sont deux à deux égaux et de signes contraires: elle sera donc nulle; par suite, la quantité demandée le sera aussi, et l’on aura (2 — °* Si la matière du corps n’était pas homogène, fs' contiendrait r et r indépendamment de s ; mais cette fonction serait symétrique par rapport à r' et r, et l’intégrale double serait encore identiquement nulle. La

quantité Q ne serait cependant plus rigoureusement égale à zéro , si ion eût conservé, dans le développement de //,' du n.° i. er , les puissances de s supérieures à la première; mais les termes qui en résulteraient pour la valeur de Q, dépendraient de puissances de s plus élevées que celles dont dépend la valeur de U, et conséquemment ils devraient être supprimés dans la somme UQ, qui forme le premier membre de l’équation du n.° 5 , laquelle deviendra simplement

[9.] Il ne reste donc plus qu’à déterminer la valeur de P ; or on a représenté précédemment par /?(^r—Ç) dv dt, la quantité de chaleur émise au dehors pendant l’instant dt, par l’élément quelconque dv, situé à la distance r de la surface ; il suffira donc d’y substituer pour dv, l’élément codr d u prisme normal, et d’intégrer ensuite depuis rz=z o jusqu’à r—OO : cette intégration donnera la quantité de chaleur qui provient du prisme entier, ou la valeur de Pcùdt ; supprimant donc le facteur a)dt, on aura

P — /* (4 r — QRdr.

Substituant pour 4 »" sa valeur trouvée plus haut [n.° 4 ]. et observant que u et £ sont des quantités indépendantes de r, il vient P = y («r—Ç).

en faisant, pour abréger,

/°° R ( i -I- <pr) dr = y.

La valeur de ce coefficient y ne pourra être calculée d’après cette formule, puisque la forme des fonctions R et <pr n’est pas connue; il faudra donc qu.e cette valeur soit donnée directement dans chaque cas particulier,- et elle pourra être une fonction du temps et des coordonnées du point E de la surface, auquel elle se rapportera.

[ I O.] Au moyen de cette valeur P, nous aurons maintenant

Cette équation aura lieu pour tous les points du corps situés à une distance insensible de sa surface ; mais quand la température des points intérieurs aura été déterminée en fonction de leurs coordonnées , on pourra substituer, dans son expression , les coordonnées d’un point de la surface même, au lieu de celles d’un point qui en soit extrêmement voisin : la valeur de u, résultant de cette substitution, satisfera encore sans erreur sensible à 1 équation précédente ; c’est pourquoi nous l’appellerons, comme dans le premier Mémoire, l’équation relative à la surface rayonnante d’un corps de forme quelconque, quoique réellement elle ne convienne pas aux températures des points de la surface même, lesquelles sont inconnues et différentes de celles des points intcrieuis. Au leste, la température que donne 1 expérience et que l’on prend pour celle de la surface n’a aussi lieu qu’à une petite profondeur; car, quelque petite et quelque peu enfoncée que soit la boule du thermomètre que l’on emploie à cette observation, elle dépasse de beaucoup la couche superficielle qui émet la chaleur au dehors; et la température que lon’observe est précisément celle que nous avons représentée par u, ou du moins elle s’en rapprochera d’autant plus que la boule du, thermomètre sera plus petite et moins éloignée de la surface.

Pour les usages que l’on fera de l’équation précédente, il est nécessaire de transformer la différence partielle » et de l’exprimer par

d autres différences qui se rapportent à des coordonnées de direction entièrement arbitraire. Or, si l’on désigne par A, à', à", les cosinus des angles que fait la normale EL' menée au point E et dirigée dans lintéiieur du corps, avec trois axes rectangulaires quelconques que

l’on prendra pour ceux des x,y, z , et si l’on observe que sup¬

pose l’axe des z dirigé suivant cette partie de la normale , on aura , comme dans le n.° 57 du premier Mémoire ,

et dans chaque cas particulier, les valeurs de A, à', à" seront données en fonction de x, y, £, d’après i équation de la surface du corps. L’équation relative à cette surface rayonnante deviendra donc

J / du r du „ d U \ . y V

Elle a la même forme que celle du n.° 58 du premier Mémoire, et Ton en fera le même usage dans la résolution des problèmes, Mais le sens véritable de cette équation est maintenant mieux fixé ; elle ne dépend d’aucune relacion particulière entre la loi du rayonnement intérieur et celle de l’émission de la chaleur au dehors ; et l’analyse qui nous y a conduits a toute la rigueur et toute la généralité que l’on doit exiger.

[il.] La quantité de chaleur émise ati dehors par le prisme normal élevé sur l’élément « de la surface , et celle qui traverse cet élément dans toutes les directions, sont égales entre elles ; on peut s’en assurer en effectuant les intégrations qui donnent les valeurs de ces deux quantités ; mais on y parvient encore plus simplement par la construction suivante.

Joignons le point E auquel répond l’élément «, et le point quelconque M' assez voisin de la surface pour émettre de Ja chaleur au dehors; par le point M', menons une parallèle au plan tangent en E, -qui coupe la normale E E' en un point M; et par celui-ci, menons une parallèle MF à la droite M' E , qui aboutisse à la surface en F. Ce point F, à cause de l’extrêine petitesse de la distance E F, pourra aussi être regardé comme appartenant au pian tangent en E, et, par conséquent, la figure EF MM' pourra être prise pour un parallélogramme. Cela étantconcevons au point F un élément u de la surface, égal à a» ; la quantité de chaleur émise au dehors par le point M' , et traversant l'élément sera évidemment égale à celle qui traverse (ji ' et qui provient du point M ,* la chaleur emise par un element

quelconque du corps à travers lelément u de la surface, peut donc être remplacée par la chaleur émise dans la même direction par un élément du prisme normal, et réciproquement ; par conséquent, la quantité de chaleur qui traverse à chaque instant l’élément u dans toutes les directions , est égale à celle qui est émise au dehors par le prisme entier, et que nous avons représentée plus haut par Pçodt.

Il résulte de là que le produit y(u — Ç) ccdt , qu’on a trouvé pour la valeur de Pudt , exprimera aussi la quantité de chaleur qui traverse à chaque instant l’élément cù de la surface ; en sorte que le coefficient y conservera la même signification qu’il avait dans le premier Mémoire [n.° 5 6].

[12.] Dans les applications particulières, il est nécessaire de distinguer en deux parties la chaleur que le corps perd à chaque instant par chaque élément de sa surface : on a toujours

y (u — Ç) oùdt zzz y' (u —-Ç / ) cùdt H- y" ( u—) U dt ;

et ce sont les deux coefficiens y' et y" , et les deux températures £ et ", tous quatre indépendans de u, qui sont immédiatement donnés dans chaque cas. * ^

JL’une de ces deux parties , la première, par exemple, est la chaleur enlevée au corps par le fluide qui est en contact à chaque instant avec l’élément a>. Le cas des températures très-élevées étant toujours exclu de nos calculs, cette partie est proportionnelle à l’excès k —Ç' de la température du corps sur celle du fluide; l’une et l’autre étant prises aussi près qu’il est possible de la surface de contact. Il paraîtrait, d après des expériences récentes, que le coefficient y' , contenu dans cette partie, serait indépendant de la nature de cette surface, c'est-à-dire, de sa coloration et de son degré de poli, et qu’il ne dépendrait que de la nature et *de la force élastique du gaz dans lequel le corps est placé (*).

(*) Mémoire de MM. Petit et Dulong, XVIII.* Cahier de ce journal, page 268.

XIX 7 Cahier. Mm

L’autre partie est la différence des quantités inconnues de chaleur rayonnante qui traversent l'élément w dans toutes les directions , et qui sont émises et absorbées pendant l’instant dt , par les points du corps voisins de sa surface. Lorsque le corps est contenu dans une enceinte solide, fermée de toute part, et remplie d’air ou d’un gaz quelconque, le coefficient y , relatif à cette seconde partie , ne dépend ni de la nature du gaz, ni de celle des différentes parties de l'enceinte, pourvu toutefois que l’on fasse abstraction de la portion de chaleur émanée du corps et réfléchie par les parois de l’enceinte# qui vient retomber sur le corps même, laquelle portion de chaleur est, en général, trèspeu considérable, si les dimensions du corps sont très-petites par rapport à celles de l’enceinte. Ce coefficient ne dépend que de la nature de la surface du corps ; il est proprement la mesure de son pouvoir rayonnant, et conséquemment il variera d’un point cà un autre, si la surface n’a *pas en tous ses points le même degré de poli et la même coloration. La température Ç" est celle de l’enceinte, quand celle-ci est par-tout la même : dans le cas contraire, Ç" dépend de la forme de l’enceinte, de la température et de la faculté rayonnante de ses différentes parties ; et la température du fluide contenu entre le corps et l’enceinte , influe sur sa valeur , qui varie dans ce cas pour les différens points dç [a surface, et doit être une fonction donnée de leurs coordonnées.

Si le corps, au lieu d’être contenu dans une enceinte fermée de toute part , est exposé à l’air libre , l’échange de chaleur entre ses points voisins de la surface et ceux du fluide extérieur , s'étendra jusqu’aux limites de l’atmosphère: malgré leur extrême ténuité, les couches atmosphériques les plus élevées pourront encore avoir une influence sensible sur la valeur de Ç", à cause que leurs températures doivent être extrêmement basses. On n’a pas les données nécessaires pour calculer à priori , la quantité de chaleur que le corps reçoit de l’atmosphère entière, non plus que pour décider si toute la chaleur quil émet au dehors , est absorbée en entier par ce fluide, ou si une portion le

traverse et se répand dans l’espace planétaire ; nops représenterons néanmoins par y"(u — ^")udt l’excès de la chaleur rayonnante que le corps émet, sur celle qu’il reçoit, dans 1 instant dt, par 1 çlement w de sa surface : y" étant toujours une quantité qui ne dépend que de la nature de la surface , et la même que si le corps était contenu dans une enceinte fermée ; et Ç" désignant une température inconnue, qui changera avec la température et la. constitution des couches atmosphériques ; en sorte qu’elle variera même d un point à un autre de i& surface du corps , quelque petit qu’il soit , si i état de 1 atmosphère n’est pas le même dans toutes les directions autour de lui.

Observons encore que quand on appliquera à la terre les formules générales de la théorie de la chaleur , il faudra comprendre dans la chaleur absorbée par les points voisins de la surface, celle qui lui est envoyée par le soleil aux différens instans du jour et qui n’est pas réfléchie par elle. La chaleur solaire influant aussi sur la température de l’air,‘les valeurs de Ç' et Ç" éprouveront, pour cette double raison, des variations diurnes et annuelles ; elles varieront encore avec la latitude des lieux que l’on considère ; et même , par des circonstances locales , elles s’eront quelquefois très-différentes , comme on la dit dans le préambule de ce Mémoire, dans des lieux très-peu distans les uns des autres.

[13.] Considérons maintenant un corps composé de deux parties juxta-posées, de forme quelconque et de matières différentes; et cherchons les équations différentielles du mouvement de la chaleur à leur surface de contact, en admettant que la température puisse varier trèsrapidement près de cette surface, de telle sorte quelle soit, à la surface même, très-différente de celle qui a lieu de part et d autre à une trèspetite distance ; supposition contraire à celle que nous avions faite, en traitant la même question dans le premier Mémoire [n.° 59 et suivans], et dont tout-à-l’heure [n.° 16], nous examinerons de nouveau les conséquences.

Pour abréger, nous appellerons A et A' les deux parties du corps.

, Mm 2

2y6 PHYSIQUE

Soit M un point cfe A , et M' un point de A' , situés près de la surface de contact, et assez rapprochés l’un de.l’autre pour se communiquer de la chaleur par le rayonnement intérieur ; appelons dv et dv' les Siemens de volume correspondans à M et M' ; y* et y! les températures qui ont lieu en ces mêmes points au bout du temps î; et / —I— /' leur distance mutuelle, / étant la partie comprise dans A , et F la partie comprise dans A'. Nous supposerpns la quantité de chaleur envoyée, à chaque instant par le point M' au point M , proportionnelle à la différence y — y, de leurs températures, multipliée, comme dans le premier Mémoire, par une fonction des distances / et F que cette chaleur aura à parcourir , soit dans A, soit dans A' : nous représenterons cette fonction par F (/, F) ; elle pourra n’étre pas symétrique par rapport à / et F ; sa forme sera entièrement inconnue; seulement, nous admettrons qu’elle devient .insensible ou nulle, dès que l’une ou l’autre de ces variables / et /' a reçu une valeur sensible. La quantité de chaleur envoyée, pendant l’instant dt, par l’élément dv à l’élément dv, sera donc exprimée par le produit :

[y,' — y,) F(l, F) dv dv' dt;

et pour connaître la chaleur envoyée au point M par toute la partie A du corps, il faudra intégrer cette formule par rapport à dv ' et aux coordonnées de M' , et étendre l’intégrale à tous les points de A qui peuvent agir sur le point M.

Ce calcul ne sera que la répétition de celui que nous avons fait précédemment [n.° i. cr ] ; il donnera, pour la quantité de chaleur demandée ,

2 * 7 C dv dtj ^ 00 (y/ — ^r) F (I, F) s ds dr' ;

expression dans laquelle on représente par r et r' les perpendiculaires abaissées des points M ef M r sur le plan tangent à la surface de contact, mené par le point E , où la perpendiculaire ME ou r rencontre cette surface; par s la distance mutuelle des pieds de ces deux per-

pendiculaires ; par 4 r la valeur de /ul, et par 4' r celle de ju,' qui répond à s=o , c’est-à-dire, la température qui a lieu dans A ', sur ie prolongement de la normale ME, à une distance r' du point £. On aura en meme temps, à très-peu près,

l r <r , J' — r' <r ; en faisant, pour abréger ,

— (r-Hr'p •

La quantité de chaleur que le même élément dv reçoit de la portion A du corps, sera exprimée, comme plus haut [n.° i. er ], par

27 v dv dt J o °°f Q °° ( 4 r — \r)fs .s ds dr ,

en représentant, dans cette partie A, par fs la loi du rayonnement à la distance s', et posant

Cela posé, par un raisonnement semblable à celui du n.° 2 , on verra que la somme de ces deux quantités de chaleur doit être égale à zéro ; ainsi l’on aura

/“/'° 0 C(+ V “ + , ) F ( / ' l ')-+-(-\'r’-^r)fs , ]sJs dr=io. (d)

De plus, il est évident qu’il doit exister une équation semblable à celle-ci, qui se rapportera aux points de A', voisins de la surface de contact : en désignant par ce que devient la fonction f relativement à cette partie du corps, et conservant d’ailleurs toutes les autres notations, cette seconde équation sera

fo fo [('V + , 0^(A/')H- I (4 #r —4 ' r)f' s']sdsdrz=o. ( e )

Ces deux équations subsisteront pour tous les points du corps voisins de la surface de séparation de ses deux parties ; elles disparaîtront

cl elles-mêmes , ainsi qu’on peut le vérifier, dès que la variable r dans la première, et la variable r dans la seconde, auront reçu des valeurs sensibles. Si la forme des fonctions f, f et F était connue, ces équations serviraient à déterminer celle des fonctions ^ et •\ / ' > 011 I°i ^ es températures à un instant quelconque, près de la surface en question : or, et ^ r ' étant censées données arbitrairement à l’origine, il en résulte que les équations (d) et (e) n’auront pas lieu, en général, dans les premiers momens où les deux parties du corps sont mises en contact ; mais en raison des grandes variations de températures qu’éprouvent les points voisins de la surface de contact , tant que ces mêmes équations 11’existent pas, on peut supposer quelles s’établissent dans un très-court intervalle de temps, dont nous ferons toujours abstraction.

[ 14.] Quoique la forme des fonctions f, f ' et F ne soit pas connue, on peut déduire des équations (d) et (e), sinon les valeurs de et 4/r', du moins une relation importante entre ces températures et celles qui ont lieu au même instant, dans les deux parties du corps , à la distance de leur surface de contact où finit le rayonnement d’une partie vers l’autre. Soit donc, au bout du temps quelconque t et à la limite de ce rayonnement, u la température qui a lieu dans A , et u celle qui existe dans A', l’une et l’autre sur la normale à cette surface, élevée par le point E. Lorsque r et r auront atteint cette limite, 011 aura ^ r = t<et r' — u' ; si donc, pour des valeurs moindres

de ces variables', on fait

\rz=zu-\-(u — u) Qr , r = u -\-{u — u) r ,

il faudra que <pr et <p'r soient des fonctions de l’espèce de celles qui s’évanouissent dès que les variables ont acquis des grandeurs sensibles. En substituant ces valeurs et les valeurs correspondantes de ^ r' et r dans les équations (d) et (e), et supprimant le facteur u — u, commun à tous les termes, il vient

frir F ( 1 ’ l ') sds Jr'=S J ° S f o 0 ° [(<?'-+-V'r')f( l , t)

-*-{<Pr—<pr)fs']sds dr = 0 ,

L°°fr F V’ l 'ï* ds dr =frL°° [(<P’r'-h<Pr)F(l, f)

r- ($' r — <p' r) /' s' ]s ds dr — o ;

équations auxquelles on pourra effectivement satisfaire par des valeurs de <pr et <p' r qui deviennent milles, comme on le demande, pour toutes les valeurs sensibles de r et r . II faudra de plus que les températures *vj/r et •s^ , r / coïncident à la surface même de contact de A et A; c’est-à-dire qu’il faudra qu’on ait ' r , pour rz=zo et r r= o :

posant donc, pour ces valeurs particulières, 1 Çrzzma, r zzr a , il en

résultera uA-(u — a) a — u-\-[u — u) a ; ce qui se réduit à a-\-a =1. Or, cette condition étant indépendante de u et u , et les équations précédentes ne renfermant pas non plus ces deux quantités, il est clair que les expressions de <pr et <p'r' que l’on en déduira, seront indépendantes de u et u ' ; d’où nous pouvons conclure que les accroissemens —u et -vJ/ r—u de température, qui ont lieu près de la surface de contact des deux parties du corps, sont proportionnels à la différence u—u des températures de ces deux parties à une distance sensible de cette même surface : ces accroissemens dépendent d’ailleurs de la nature de A et A près de cette surface ; mais sa forme n’a aucune influence sur leurs valeurs.

Cette proposition étant ainsi établie, il va nous être facile de former les équations du mouvement de la chaleur près de la surface de contact, en nous servant, à cet effet, de la même considération qui nous a précédemment servi pour obtenir l’équation relative à la surface extérieure.

[i ^.] Désignons par l’élément de la surface de contact qui répond au point E; sur cet élément, élevons dans l’intérieur de A un prisme normal à cette surface, qui se termine en E', et dont la hauteur EE'

280 physique

soit très-petite , mais néanmoins assez grande pour qu’aucun des points de A qui agissent sur l’extrémité E' , ne reçoive de chaleur des points de A'. On verra, comme dans le n. 0 .} , que l’accroissement de chaleur de ce prisme pendant l’instant dt devra être regardé comme nul; de plus, la quantité de chaleur qu’il reçoit de la partie A du corps, sera la même que celle qui a été calculée dans les n. os 6 , 7 et 8 , et elle aura pour expression :

^ d u ^ ayant la même signification que dans ces n. os , et k représentant

la conductibilité de la matière de A. Cette quantité de chaleur, ajoutée à celle que le prisme entier reçoit de A', formera donc une somme égale à zéro; or, celle-ci est l’intégrale, prise par rapport à r et depuis r — 0 jusqu’à r — 00 , de l’expression du n.° 13 , savoir :

a -TT dv Jtf 0 °°f 0 X (+' r'—îr) F {J, 1 ') s ds dr' ;

et*comme on a, pour l’élément du prisme qui répond à la variable r, dr, il en résulte qu’en supprimant le facteur codt commun aux deux parties de la somme qui doit être nulle, nous aurons

Cela posé, si l’on substitue dans cette équation, à la place de r' et 4 ,r, leurs valeurs précédentes, et qu’on fasse, pour abréger,

2 „f~f' ao f o CO (i-Çr-<p'r')F( , ,r)sdsdr'd r = g ,

on aura enfin

La quantité g dépendra uniquement de la nature des deux parties du corps , près de leur surface de contact ; sa valeur ne pourra être déterminée que par l’observation, et devra être donnée dans chaque cas particulier. Le produit ) u dt exprime la quantité de chaleur

Sinise dans A , pendant l’instant dt, par le prisme normal que nous venons de considérer ; mais par le raisonnement du n.° 11 , on fera voir que cette quantité de chaleur est fa même que celle qui passe de A en A pendant cet instant, en traversant ielément w dans toutes les

directions. La quantité k cù dt, équivalente à ce produit, sera

aussi, comme dans le n.° 61 du premier Mémoire, fa mesure de ce flux de chaleur , avec cette différence que u est la température à une distance sensible de fa surface qui termine A , et non pas celle qui a lieu à cette surface même.

II est évident qu’en considérant de la même manière un autre prisme contenu dans À, et qui soit le prolongement de celui dont il vient d’être question , on parviendra à former une seconde équation semblable à la précédente, savoir :

k ' {~<rr) " + -£ — “) = 0 : (s)

l’axe des £ ayant la même direction , et le coefficient g étant le même que dans l’équation (f), et k r représentant la conductibilité de la matière de A'. Les équations (f) et (g) sont celles que nous nous proposions d'obtenir ; l’analyse qui nous y a conduits, ne laisse , ce me semble, rien à desirer, ni pour la rigueur, ni pour la généralité.

[ 16.3 En les retranchant l’une de l’autre, il vient

équation que nous avions déjà trouvée dans le n.° 60 du premier Mémoire. De plus, si la quantité g est très-grande par rapport à k et à k',

de manière que les fractions — et puissent être négligées , les équations (f) et (g) se réduiront l’une et l’autre à u '—o ; et par suite , les températures et r' des deux parties du corps seront égales, ou ne varieront pas sensiblement près de leur surface de contact. C’est la supposition dont nous étions partis dans le premier Mémoire ; mais XIX/ Cahier. Nn

il en résulte des relations entre les trois fonctions désignées par f, f et F, qui ne subsisteraient pas généralement si leur forme était donnée a priori , et qui n’ont sans doute pas lieu pour toutes les substances dont peuvent être formées les deux parties juxta-posées A et A'.

Ces relations, qu’il est bon de connaître , se déduisent facilement des équations (d) et (e). En effet, les températures de ces deux parties du corps n’éprouvant pas de changement brusque près de la surface de contact, il est permis de développer, suivant les puissances de r et r , les fonctions \r et -s]/ r contenues dans ces équations; or, si l’on désigne par c leur valeur à la surface, ou si l’on pose \rz=.\' r =.c , quand r— o et / = o, et que l’on néglige les carrés de r et r , on aura

où l’on devra mettre pour £, l’ordonnée du point E, rapportée à un axe parallèle à la normale en ce point : au moyen de ces deux valeurs et des valeurs correspondantes de \r r et r, l’équation (d) devient

[F{l,l')-hfs'}sdUr'

donc, puisque les quantités et ("Tl") sont ^dépendantes de r,

la valeur que cette équation donne pour leur rapport devra l’être aussi, c’est-à-dire, que les fonctions f, f' et F devront être telles que le rapport

r J 0 CO f„ CO [ F ^’ l "ï -+■/ s]sds dr ' — f 0 ^f 0 ** fs .sr ds dr

f^fr l ' )sr ‘ dS Jf

ne dépende pas de la variable r.

L’équation (e) fournira une seconde condition semblable à celle-ci ;

en la rapportant aussi à la variable r, et échangeant en conséquence dans cette équation r' et r entre elles, et par suite /' et l, cette condition consistera en ce que le rapport

f s ' ' sr> is dr ‘

fTCnr. l)sr’dsdr'

devra également être une quantité indépendante de r.

Si les deux parties A et A' sont de la même matière, et ne forment qu’un corps homogène , il est évident que ces deux conditions devront être remplies , et c’est aussi ce que l’on peut vérifier. Dans ce cas, les fonctions fs' et fs seront les mêmes, et l’on aura de plus F[l , X) zn /(/-+-/'); ou bien, en mettant pour / et /' leurs valeurs [n.° 13], et faisant s 1 |—r )=s" 1 , il vient F(l, l')—fs ", Les deux rapports précédens ne différeront plus entre eux ; il n’y aura donc plus qu’une seule condition qui consistera en ce que le rapport

r ffff (f s " -+-f s ') sds dr ' —fffff 5 ' ■ sr ' ds dr ' CCf‘"- sr ' dsdr '

ne dépende pas de la variable r. Dans le cas de rz=z o, on a/rzf, et ce rapport est égal à — 1 ; il faudra donc qu’il soit égal à — 1 pour toutes les valeurs de r, ou qu’on ait

T fff \f*' -*-/- r ') sds dr ' —fffff 5 ' • sr ' ds dr '

/ 'CO /»00 , n 1 1 j t'

J f s .sr ds dr ,

ou, ce qui est la même chose,

(r+ r)fs" .sds d r -f- (r— r)fs .s ds dr — o.

Or, on a identiquement,

Nn 2

(r-t-r')fs" . dr ~r/7~Z7). x d x ;

d’ailleurs si ion partage, comme au n.° 3, l’intégrale^*°° [r—r')fs'.dr

en deux parties, i’une prise depuis r' — o jusqu’à r =r , etl’autre prise depuis r = r jusqu’à r' = o o, on aura

So ( r ~~ r )f s d r — J~ o f(-[/s*+x*).xdx — f o œ f ( 1/ x 2 -K* a ) . x dx ; d’où l’on conclut

(r-^r')f s" dr' ■+■ {r — r')fs' dr' —

et il en résultera l’équation qu’il s’agit de vérifier, en multipliant cette dernière par sds, et intégrant ensuite ses deux termes depuis j~o jusqu’à s =. 00.

[17.] En substituant dans les équations (f) et (g), à la place de et ("7^“) » Jeurs va * eurs en différences partielles relatives à des

coordonnées rectangulaires x, y, z> de directions quelconques, ces équations deviennent

tt

TT

dy

A, A', A", représentant les cosinus des angles que la normale à la surface de contact de A et A', menée au point E et dirigée dans l’intérieur de A, fait avec les axes des x, y, z .

C’est sous cette forme que l’on emploiera ces équations dans la résolution des problèmes particuliers. Les températures u et u quelles contiennent, se rapportent à des points qui sont seulement très-voisins de la surface de contact ; mais quand ces températures seront connues pour l’intérieur de A et A', en fonctions de x, y, Z .e t qu’on aura pris leurs différences partielles par rapport à ces variables , ces diverses

quantités satisferont encore, sans erreur appréciable, aux équations (h), en y mettant pour x, y, £, les coordonnées d’un point quelconque de cette surface ; et cest dans ce sens que nous regarderons les équations (h) comme appartenant à la surface de séparation de A et A'. II est bon aussi de rappeler que si ces deux parties du corps ont été primitivement échauffées d’une manière arbitraire , ces équations n’auront pas lieu dans les premiers moinens de leur contact, et quelles ne subsisteront qu’après un très-court intervalle de temps, dont nous avons dit qu’on pourrait toujours faire abstraction [n.° 13].

[18.] Si lune des deux parties du corps, par exemple A, est une sphere ; que l’on place à son centre, l’origine îles coordonnées x, y, £, et que l’on appelle r la distance d’un point quelconque de A ou de A, à cette origine, on aura

et les équations (h) deviendront

Elles prendront encore une forme semblable , lorsque la surface de contact de A et A' sera plane : en prenant ce plan pour celui de y, et supposant l’axe des x positives, dirigé dans la partie A, on aura A = 1 » A — 0 > A — o , et, par conséquent,

A -TT-f-S («' — “) = 0 , k'~^-g{u' — u) = o-,

équations qui auront lieu pour la valeur particulière x — o. Elles nous serviront, ainsi que les précédentes, dans le V. c S- de ce Mémoire, où nous considérerons la distribution de la chaleur dans une sphère ou dans une barre composée de deux parties de matières différentes, et où nous indiquerons un moyen de déterminer par l’expérience la valeur du coefficient g quelles renferment.