II
Distribution de La Chaleur dans une Sphère homogène, primitivement échauffée d'une manière quelconque.
[19.] L’équation générale du mouvement de la chaleur dans un corps solide homogène, est, comme on sait,
u désignant la température au bout du temps t , du point dont x, y, z sont les trois coordonnées rectangulaires ; et a a étant une constante positive, dont la valeur est donnée dans chaque particulier, et dépend de la conductibilité et de la chaleur spécifique de la matière du corps ( premier Mémoire, n.° 46 ). On peut substituer à x, y, z • d’autres systèmes de coordonnées, et il en résultera autant de formes différentes de cette équation : dans le cas de la sphère , celles qu’il convient le mieux d’employer, sont les coordonnées polaires qui ont leur origine à son centre. Supposons donc que l’origine des x,y, z soit en ce point; désignons par r le rayon vecteur du point de la sphère qui répond à x, y, zi par t, l’angle compris entre ce rayon et l’axe des z> et P ar 4'» l’angle que fait le plan de ces deux droites, avec celui des x , z> nous aurons
Z = r cos 6, y — r sin 0 sin 4*, x = r sin 9 cos 4/ ;
et pour s’appliquer à tous les points de la sphère , les valeurs de ces trois variables r, ô et devront s’étendre depuis r— o, 0 = o, *^=o, jusqu’à r~l, ô = 7r, 4 / — 27r '* / étant le rayon de cette sphère, et 7 r désignant toujours le rapport de la circonférence au diamètre. Or, si l’on transforme les différences de u , relatives à x, y, Z• en différences relatives à r, ô, -v|/, et que l’on multiplie par r les deux membres de l’équation précédente, elle deviendra
-a>{ d ‘- ru H
. 4 ,nô d e )
I ^.ru-l
' I dr'
r 1 sin 0 d 0
r* sin a 0 d rj , 1 J
ce sera donc sous cette forme que nous allons en faire usage.
Indépendamment de cette équation , qui convient à tous les points du corps, iequation relative à la surface que nous avons formée plus haut [n.° 10], devient, dans le cas de la sphère,
Elle aura lieu pour toutes les valeurs de t, et seulement pour la valeur particulière r~l. Le coefficient b est une quantité positive, dépendante de la matière du corps et de la nature de sa surface : nous supposerons que cette surface est par-tout la meme , et alors b sera une constante donnée. Si le corps est placé dans un espace fermé , dont la température soit aussi par-tout la même, Ç sera cette température, qu’il sera permis de prendre pour le zéro de l’échelle thermométrique ; mais, en général, cette température variera avec le temps et d’un point à un autre de la surface du corps; en sorte quelle sera une fonction donnée de t et des angles ô et
Les équations du mouvement de la chaleur à l’intérieur et à la surface de la sphère étant ainsi données , la question que nous aurons maintenant à résoudre, consistera à trouver la valeur de u, en fonction de r, O, et t, qui satisfait à ces deux équations, et qui représente en même temps la température initiale d’un point quelconque de la sphère, laquelle sera exprimée par une fonction de r, ô et 4, entièrement arbitraire.
[20.] Observons d’abord qu’au moyen des formules contenues dans 1 ‘Addition au premier Mémoire (*) , nous pouvons nous débarrasser de la considération des angles ô et et remplacer les équations (2) et (3) par d’autres plus simples , dans lesquelles ces deux variables n’entreront plus.
(*) Page 145 de ce volume.
En effet, soit, comme dans cette addition,
il —2 ou [ cos ô cos 0 ' -h sin 0 sin 0' cos ( 4 ' — }~* T = f ;
ou désignant une indéterminée qu’on suppose < i ; ô et ^ étant ies deux angles du n.° précédent, et 0' et 4 / deux autres angles quelconques. Représentons le dévelopement de f, suivant les puissances de et, par la série :
p .— P 0 H — et P , —I— et 1 P , H— et 3 P j —H* . • . I et P n H &C.
Le coefficient P n d’un terme quelconque sera une fonction de 0 , *4^» ® et -sj/, symétrique, soit par rapport à 0 et à 0 ', soit par rapport à ^ et 4' ; si l’on n’a égard qu’aux deux variables ^ et ô , ce coefficient sera une fonction rationnelle, entière et du degré n, de ces trois quantités : cos 0 , sin 0 sin * 4 / » sin 0 cos ^ » laquelle fonction satisfera en outre à l’équation
‘ / ( sin0 -rfT L )
Cela étant , multiplions les deux membres de l’équation ( z ) par P tt sin 0 db d\, puis intégrons tous ses termes depuis 0 = o, jusqu’à 0 = tt , 4 /=2 7 r. En intégrant deux fois de suite par parties , on a
d. r ii
— ru
d Pn
-fru
d * Pn
mais, à cause que chacun des termes compris hors du signe f, a la même valeur aux deux limites ^ — o et ^z=z2 7r t ces termes disparaîtront dans l’intégrale définie ; on aura donc simplement
L’intégration par parties relativement à 0, donnera de même
</ ( sine 4x)
4 in ôi liL)
-A il -L di=f
MATHÉMATIQUE, par conséquent, nous aurons
( slnô rf e ) j
( sin 2 6
sin 0
rL
; sinô 4 -r)j
( sin* 0
sin 0
P n sin 6 </0
ru sin 0 d 6 d 4
= — // ( // 1 ) JJr u P n sin ô d 0 d 4 ,
en vertu de Iéquation (4) ; donc, en faisant, ff r u P n sin 0 dü d 4 = v , nous déduirons de l’équation (2) celle-ci :
De même, en mettant d’abord i’équation (3) sous la forme :
jLfjL + ( b -±.y u =zbit,-,
multipliant ses deux membres par P n sin 0 t /0 d\ , intégrant ensuite depuis 0 nn o , 4 = o , jusqu’à 0 = 7r, 4 == - 2 tt , et faisant, pour abréger,
JJ Ç P n sin Ô- d 0 d 4 — q ,
il viendra
~T7 ~+~ (b t) v = hl< > :
équation qui n’aura toujours lieu , comme celle dont elle est déduite , que pour la valeur particulière r = l.
Nous substituerons donc ces équations (5) et (6), qui ne contiennent pas les variables 4 et 0, aux équations (2) et (3) : mais, dans ce qui va suivre , nous supposerons qu’on ait d’abord q = o ; il sera facile ensuite de ramener le cas général à ce cas particulier. D ailleurs, l’intégrale double que v représente est évidemment nulle pour rzzzo ; il en XIX/ Cahier . Oo
résulte Jonc qu’on devra joindre à i’équation (5) , ces deux équations particulières :
’T7-*-[ b —r) 1 ' —°- P our r - 1 -
v = o , pour r —r o.
Au moyen de ces trois équations , et d’après la valeur initiale de v , qui sera, pour chaque valeur de n, une fonction donnée de r, et 0', nous déterminerons ia vaieur complète de v, en fonction de t, r, 4 / et 0 ', et du nombre entier n; désignant ensuite par V n ce que devient v, quand on y met 0 et *4 à la place de 0' et 4A la formule (1) de l’addition citée donnera la valeur cherchée de u, savoir :
£ indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs de n, depuis nz=. o jusqu’à // “ 00.
[21.] Dans le n.° 1 6 du Mémoire précédent (*), nous avons donné, sous forme finie, l’intégrale complète de i’équation (5) ; mais la quantité v 11e devant pas devenir infinie pour r — o dans la question présente , nous devons employer cette intégrale telle quelle a été modifiée par cette condition dans le n.° suivant du même Mémoire. Nous aurons alors
v = r n ^[ J ^ (r cos u> —|— 2 dduYt) sm*" 4 *' o> du d<L ;
<p désignant une fonction entièrement arbitraire , et e la base des logarithmes népériens ; mais avant d’aller plus loin , nous pouvons vérifier qu’effectivement cette valeur de v satisfait à l’équation (5), quelle que soit ia fonction <p.
En effet, en faisant — <Ç> r, —~j~ — r / on aura
—/J/V(~ os »H- 2W0 sin‘*' + " cùdcù^e~ Al ada.)
(*) Page 245 de ce volume.
intégrant par partie relativement à et, il vient
V -zzr a 1 r nH ~' f œ j * <p" (rcos o>-f-2rf cl Y t) sin 1 ""*’* « 1 dcL\
on aura aussi
-+-2 (»+-)^/“[/>'( rcosa)2e2-f-<f/r)sin 1,, ' f ' 1 a* cos a dc^e *' d a,
-f- r B+1 y^°° [ y r ’ 7r Cp ,, (rcos«H-2e3a/t)sin lH ' 4 "a)cos x 6)e/ù)Jf” ttl e/ct;
et comme l’intégration par partie donne
2 (,/H-ï)<|)'( rcosw-h2e2<t//) sin 1 ” +M « cos w </w
= r/ T Cp" (rcosw-H 2<3ctl/t) sin‘ ,, * t * , « ;
cette valeur de
se réduit à celle-ci :
-f-r” +l ^ V' (rcosO)H- 2^et !//) sin ^ * dcL y
moyen de laquelle et de la valeur précédente de , l’équation (5)
devient identique.
On pourrait exprimer la valeur de v par une intégrale simple , attendu que, n étant un nombre entier, l’intégrale relative à « s’obtient sous forme finie, comme on l’a vu dans le Mémoire précédent; mais nous préférons conserver l’intégrale double relative à et et « ; 1 analyse suivante sera plus simple , et aussi plus générale, en ce quelle conviendra au cas même où n ne serait pas un nombre entier , ce qui aura effectivement lieu dans le problème qui fera l’objet du S- III e de ce Mémoire.
[22 ] La valeur précédente de v devenant nulle, quand rzz, o, il
Oo 2
ne reste à satisfaire qu’à la première équation (7). Pour cela, faisons
r cos « -t- 2 et i/* — .y , et = y
Y 2 a Vt
cette valeur dé v deviendra
"f* T qq — (jt — rcosu )*
v = -hrvrfo [f .00 e ^
Si on la différencie par rapport à r, on aura
— ( x —rcos«) z
likfJijr J'* TT— ^^]sin*” + ' ucosuda;
d v (rt-+-i )v
mais en intégrant par partie, on a
— (x — rcosa>)*
f- 00- ~ x - <?xd X = -f
— (x — rcosw)* * '
-00 d ■ nous aurons donc
dv (n + i)v r n + ‘ p /'OO ~~ (x —rcosu) #
— =-r+TÆj. L/oc/ 4,1 ' ««»«,/«.
Après avoir fait rzzz .1 dans ces valeurs de ^ et v, je les substitue dans la première équation (7) ; il vient - (*-- /cos6, >V d %
J~o\fT œ e 4 ‘’"' [ ^ 7 T cos “+(^ + 7)4 -*]^Jsin”-*' a,du—o.
Sans changer les limites de l’intégrale relative à ,v, on peut écrire dans cette équation, x-h/ cos a> à la place de x ; et en intervertissant ensuite l’ordre des intégrations, cette équation prendra ia forme :
/ oo ( -r r d <p(xl cos u)
00 I/o [—St— cos “
9 (* “-H / COS «) Jsin*"**- 1 j * dx = o.
Or, cette intégrale relative à v devant être nulle pour toutes les valeurs
de t, on en conclura, en ayant égard au facteur e , que la somme de ses élémens correspondans à deux valeurs quelconques de ,v, égales et de signes contraires, devra être égale à zéro ; en sorte qu’en désignant par y une quantité indépendante de », on aura, quelle que soit cette quantité ,
1 d <p (y -h / cos u )
d <p ( - y / COS Ci) )
V dy
(£-+-—) [^(y-4-/cos»)-+-^(--y-+-/cosa))] Jsin 1 ' , " M oùdoù — o ; j
équation a laquelle la fonction <p devra satisfaire , et qui servira, soit à déterminer cette fonction, soit à l’éliminer de l’expression de v. [23.] D’après une formule connue, on a
— (x —rcosw ) 1 , __ , ,
- —ï aVt /’OO — a a f — * [x — rcoSû>)i/II7 ,
e iat =
la valeur de v du n.° précédent pourra donc s’écrire ainsi :
en faisant, pour abréger,
J o e sin n+l où doù — P.
Cette expression deviendra plus simple, en y faisant disparaître les imaginaires qui y sont en évidence. En effet, si l’on met tt— u à la place de u dans la valeur de P, on aura
J 0 e sin où du ;
donc, en prenant pour P la demi-somme de ces deux valeurs équivalentes , et remettant w à la place de où' dans la seconde, on aura d’abord
P = f o cos ( et r cos u ) sin 1 *'**' où du.
Cette quantité ne changeant pas avec le signe de a,, si l’on réunit dans l’intégrale relative à cette variable les élémens qui répondent à des valeurs de a ., égales et de signes contraires, il en résultera
faisant de même par rapport à x, on aura très-simplement
v = m. r œ p < 2 «-«“■*' do.-, (io)
yV J o ^
en posant, aussi pour abréger,
y" 00 £ q> * -H Ç ( — cos et* < 2 -
II s’agira donc actuellement de déterminer, autant qu il sera possible , la valeur de cette quantité Q, au moyen de 1 équation (9) ; et pour y parvenir , nous emploierons une analyse semblable à celle dont nous avons fait usage dans le n.° 17 et dans plusieurs autres endroits du premier Mémoire.
[ 24 .] Désignons donc par h une quantité positive, ou une quantité imaginaire, dont la partie réelle soit positive; faisons ensuite
f™e~ h 4ydy = P , j^ e ~ h <P (s) —
il en résultera
f*e- h <p( X +lcos*)J? = r ,CM "{p-f 0 ,C ° S “ e ~*'
f œ e - h (S/[-y^-lc(,^)dy=e \< 1 +J 0 e
et en mettant >cos« et cos udy à la place de y et dy, dans les se couds membres de ces équations, nous aurons
f o ' 0 e- h <p(y-*-lcos»)dy=e hU ° Sa (p—co SU fJe <Kj*0.«)^) ,
j'™r h ’^-y+k«s<d)dy=e- KUw \ q +cos'*f‘e^
En intégrant par partie, on aura aussi
J 0 e ~j~ y dy — — Q{lcosu)-\-h e <$(y-\-lcoscù) dy,
s 00 —hy d<p(-y-i-lcosoû) J fJ \ , / / 00 ~ h y ,
J O e - —y - U),z=—Q[lcosa>)-^hJ' e q>{-y-*-ko iU )Jy,
et, par conséquent ,
V 1 " 00 h y d[<p(y-\-lcosco) — <p( — y-+-lc osa)] . / hlcosco — hlcosu\
o ' - —y - dy = h[pe — qe )
. r hlcosco /~l —hycosci) .
— hcosu^e e <p [y cos u) dy
— hlcosco fl hycosu
co fl hycosu -1
J 0 e <p(ycosa)dy] m
Si donc on multiplie l’équation (9) par e~ A s dy, et qu’on intègre ensuite tous ses termes depuis yzmo jusqu’à yzzz 00, on aura
rir / . n , \ hlcosco . . .
p J o ( — -H h cos Où J e sin 2 ”^' u du
r* ( r . n . \ —hlcosco ,
-+-<] J 0 [ b *+■ ~1 -// cos u) e sin 2 ” 4 " ^ du
= /o T |[(^' + '-r) cos "
1 hlcosco fl — hycosu )
H— // cos 1 u J e y o e [y cos u) dy \ sin 1 1 u du
fl j[(^ H 7") cos “
, , ~l —hlcosco fl hycosco , )
— hcosu^e J Q e Q [y cosu) dy\sin xn +' u d u -,
mais, en mettant 7r— u à la place de u , dans fa seconde intégrale du premier membre, on a
r* 1 1 n 1 \ — hlcosco ,
J o \b-A —^-// cos u) e sin 2 8+ ' u d u
=/ o *7-“*- h cos u j e A/cos4> sin 1 1 u d u \
et si l’on fait subir le même changement à la seconde intégrale du
2 ç 6 physique
second membre, et que l’on restitue ensuite « à la place de u dans ces deux intégrales, l’équation précédente deviendra
—h Acos e hlC ° SU> sin zn * ' u du
—fo (( i -+--f- + -^ cos ") e</co, V <
hlcosco f l —hjfcosu
[<p (7 cos u )
<J> ( —y cos où ) J dy j sin s,l ' + ' 1 où cos où d où.
On en déduit
en faisant, pour abréger,
^ (b H——H //cosù>^ A/c ° SW sin 2,, ' H ' u du z=. f h ,
(j-H—-H^cos*)* J q c [«(>«>»«)
^ cos .)] ^7 j sin 4 *'*' ' où cos où d où = ;
et par le changement de « en tt — dont nous venons de faire usage, il est aisé de reconnaître que ces deux fonctions de h sont telles que l’on a
fh — /(— h ) , F h = — F(—//).
Cela posé, si nous représentons par g une quantité réelle et positive , que l’on prendra aussi petite que l’on voudra ; que nous fassions fj — g- a- cl |/-^7 , et que nous remettions pour p et q les intégrales que ces lettres désignent, l’équation (n) deviendra
changeant le signe de j/ —i , on aura en même temps
par conséquent, si nous substituons * à y, et que nous prenions la
demi-somme de ces deux résultats, nous aurons
F(gW-T)
oo
<? ° —X)] COS CLX dX
■Ht
d’où l’on conclut que la valeur cherchée de Q sera la limite, par rapport à g, du second membre de cette équation, et quelle s’en déduira en y faisant g = o. Or, ce second membre s’évanouit avec g, excepté pour les valeurs de au qui rendent nul le dénominateur/(± cl j/— i); on aura donc <2=o pour toutes les valeurs de et, excepté celles qui seront tirées de l’équation /(±ct }/^î) = o , valeurs pour lesquelles la quantité Q deviendra au contraire infinie.
[25.] La nature de cette quantité étant ainsi connue, son élimination de la valeur de v donnée par l’équation (10) 11’est plus qu’une opération facile, et la même que celle qui a été faite en détail dans le n.° 1 8 du premier Mémoire.
En effet, représentons par f une racine quelconque, réelle et positive, de l’équation f ( ut cl ■j/'IHY ) zz o , et soit cLZ=f-ha'; si nous traitons d’abord g et ce/ comme des quantités infiniment petites , la valeur de Q que l’on conclut de l’équation précédente, sera
rif
—;- tt~ >
en faisant — f'f, et observant que F(—f\/ —1)=— F(f)/— 1)
et f ( — —— f'if]/— 1 ) : substituons donc cette valeur
dans l’équation (10); l’intégrale relative à <t que cette équation renferme , se changera en une somme qui devra s’étendre à toutes les valeurs de f ; et en indiquant cette somme par la caractéristique S, et faisant cl — f en dehors du facteur Q, nous aurons
r n + l ^ PF[ f V- 7 )
yv /' ( f y~i )
De plus , étant une quantité positive, si l’on désigne par zles limites de l’intégrale relative à et', on aura
