S ± V>» - *RT
dx
On
a donc deux
systèmes de
caractéristiques :
dx
Sec
Pour le premier système, Téquation (4) devient :
RXdp + ldq = \i\dx.
En divisant par RXdo; et remarquant que
on trouve :
On a aussi
dp dq M
dx (te "" R
dz = pdx + qdy.
On n'a que trois équations pour déterminer les fonctions y, z^p^q; il faut donc y ajouter une équation arbitraire, telle que :
Finalement, les équations de la caractéristique du premier système sont :
dy tsss X r/rr, dz = pdx + qdy I
dp dq V , X r • • • (*^
On trouve de même que les équations de la caractéristique du second système sont :
iy = ftfx, Bz =spitB + qiy
s» , Sfl U } • • • (6)
Si on connaît l'intégrale régulière S, ou pourra calculer z^ p, ;, X ou ^ en fonction de x^ y et Ton trouve les caractéristiques en intégrant les équations différentielles ordinaires :
dy = \dx Sy = f£x.
Les autres équations des caracléristîques seront satisfaites ; ainsi la seconde des équations (5) est évidente; il en est de même des équations (2), et par conséquent de l'équation (4), qui en est une conséquence quand l'équation (3) est satisfaite. Il résulte de là que la fonction <p ou 94 dépend du point initiai de la caractéristique et des deux fonctions arbitraires qui déterminent l'intégrale régulière.
Cas particulier. — Caractéristique d'ordre zéro. — Supposons que la valeur de X soit indépendante de p et 9, on obtiendra une caractéristique d'ordre zéro par les équations :
dy SB \dx^ zs=^ (x).
Pour la même courbe, on peut faire varier p^ au point initial et obtenir une infinité de multiplicités de plans tangents. Il est facile de voir qu'à un certain point de vue cette courbe peut être considérée comme une surface dégénérée satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles. Si on considère la courbe comme la limite d'une surface tubulaire à section infiniment petite, on aura évidemment :
Introduisons les rapports :
Divisons l'équation aux dérivées partielles par s; cette équation sera satisfaite, si l'on a :
Rr' + S H- K' « 0.
Or, en suivant la courbe, on a :
dpm^s [r'dx + rfy), iq = s{dx + t!dy)
et comme dp et dq sont indéterminés, on a :
r'dx + dy — dx ^ idy = 0.
Portons ces valeurs de r' et de ( dans Téqualion transformée, nous aurons :
Rdy« — Stfady + T(faï«= (3)
équation qui est satisfaite.
11 n'y a pas d'autres intégrales de cette espèce, car si on se donne la courbe, on tire, comme plus haut, r' et l', et en exprimant que l'équation aux dérivées partielles est satisfaite, on retrouve l'équation (3) des caractéristiques.
Dans ce qui suit nous (*x>nsidérerons le cas général ; nous formerons des intégrales irrégulières au moyen d'intégrales régulières raccordées entre elles ; si on se trouvait dans le cas particulier que nous venons d'examiner, on pourrait réunir des intégrales régulières se coupant suivant des caractéristiques d'intersection.
21. Cas d'un seul système de lignes de discontinuités. — Supposons qu'il n'existe aucune dépendance entre les fonctions arbitraires qui déterminent les intégrales S et S' ; traçons la caractéristique du premier système en partant de A sur la surface S ; elle satisfera aux équations (5) et la fonction 9 dépend des deux fonctions arbitraires qui déterminent S. Si nous traçons la même caractéristique sur la surface S', elle ne coïncide pas avec la première, car la fonction ^ sera différente. £n d'autres termes, la caractéristique AM a été trouvée en la rendant aussi indépendante que possible des fonctions arbitraires; mais elle ne l'est pas complètement. Elle n'est pas commune à toutes les intégrales qui se touchent en A, comme dans les équations du premier ordre. Elle n'est commune qu'aux intégrales qui se touchent en A et pour lesquelles la fonction 9 est la même. Si l'on veut que S' se raccorde avec S, on doit déterminer S' en se donnant : i» la caractéristique AM, ce qui équivaut à se donner une fonction arbitraire; 2o une seconde fonction arbitraire, telle que la courbe AC. Mais on ne peut plus se donner les plans tangents le long de AC. On peut établir, en effet, le développement en série de l'intégrale S' satisfaisant à ces conditions et y appliquer la méthode des fonctions majorantes^
— sapeur démontrer que ce développement est convei^ent et satisfait à réquation (i).
Nous pouvons donc nous donner la caractéristique AM, et une courbe AC irrégulière mais formée d'arcâ réguliers tangents Tun à Tautre; en appliquant le théorème précédent aux différents arcs, nous démontrerons qu'il existeune intégrale irrégulière, formée de bandeaux réguliers, ayant la courbe irrégnlière AC comme courbe initiale. Les caractéristiques qui séparent les bandeaux forment les lignes de discontinuités pour les dérivées d'ordre supérieur au premier.
Cette intégrale peut être engendrée par la caractéristique en prenant la courbe initiale comme courbe directrice. Mais si on appliquait les équations (5) en faisant varier la fonction ^ d'une manière arbitraire, le problème ne serait pas résolu. La variation de la fonction 9 d'une génératrice à l'autre doit être telle quep et ^soient les coefficients du plan tangent de la surface ; en d'autres termes, il faut que le déplacement élémentaire d'un point M de la caractéristique satisfasse i l'équation
/j5 ^=pix + qjy.
S'il en est ainsi, lasurface satisfait à l'équation aux dérivées partielles. En effet, si p et fr senties coefficients du plan tangent à la surface, on a :
dp dp = rdx 4- sdy , — ^-- = r + «X
ffX
dq =
• êdx + tdy.
(tx
s + tl
La troisième des
équations (5) devient :
+ tl) =
Or,
On a donc
Rr + S« + T/ =. U
ce qui démontre que l'équation >est satisfaite.
(1) GouRSAT, Leçons sur Viniégration des équalions aux dérivées parlielUs du second ordre, t. \, chap. lY.
On peut dédaire de là une construction approchée de la surface; au point A, on détermine r, s. i en utilisant Téquation de la couii>e AG aux différentielles secondes et les deux équations auxquelles se réduisent les équations (2). On en déduit les valeurs de p, q en un point A', de la courbe initiale, très voisin de A ; on détermine la caractéristique A'M' par les équations (5) ; l'équation z = ç (œ) sera remplacée par la condition que la nouvelle caractéristique se trouve sur la développable engendrée par les plans tangents le long de AM.
22. Cas de dmx systèmes de lignes de discontinuité. — Donnons-nous
comme conditions initiales une courbe du plan des yx^ projetée en ABCD et les plans tangents le long de cette courbe. Supposons que cette multiplicité d'éléments soit divisée en multiplicités régulières AB, BC, CD, etc., mais que des discontinuités dans les dérivées d'ordre supérieur au premier existent aux points de jonction.
Pif. 18 On demande de couvrir une partie
du plan des xy au moyen d'une surface unique continue satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles.
Le premier arc AB et les plans tangents déterminent une intégrale régulière que nous limiterons aux caractéristiques AA|, BA| de systèmes différents ; nous choisirons les caractéristiques qui font avec AB le plus petit angle. Le second arc BC détermine une intégrale régulière que nous limiterons de même au triangle curviligne BB^C par deux caractéristiques de systèmes différents. On démontre en analyse (GouRSAT, loc. cii.j p. 194) que deux caractéristiques BA| et BB| qui ont en B un élément commun, déterminent une intégrale régulière. Nous limiterons cette intégrale régulière aux caractéristiques AfA,, B|Af . L'arc CD détermine le triangle CC|D et on en déduit les quadrangles CBiB^Cf, BfA^^B, et on continue de même, il est donc démontré qu'il existe une intégrale irrégulière satisfaisant aux conditions du problème, et cette intégrale est formée de surfaces régulières qui se raccordent suivant des arcs réguliers de caractéristiques du premier ordre.
23. Tracé graphique. — Supposons les arcs assez petits pour que les fonctions y, js, p, q soient, dans l'étendue de chaque arc, représentées par des arcs peu courbes. Au besoin, on subdivisera les arcs
AB, BC, CD jusqu'à ce que ces conditions soient satisfaites. On connaît eak: x^ y^ z^p^q; enh : x\ y\ x\ p\ q' ; proposons-nous de déterminer approximativement af^ y" y x^^p"^ 9" en A4 . Nous aurons d'abord :
pour AA| pour BA|
dy = Xctr
Si on remplace les différentielles par des différences, on aura deux équations en af^ y". Graphiquement, on trouve le point A^ en remplaçant les caractéristiques AA| et BA^ par leurs tangentes en A et B. ^ous calculerons alors les valeurs dep" et 9" au moyen des équations :
AAi
dp '\- fii
BA, >p' + V>9'= ^Ix'.
En remplaçant les différentielles par les différences, on a deux équations en p^ q".
/f Portons p et 9 en coordonnées ; on trouve
[h, ^) *® P®*"^ ^' ^® même, p\ q' déterminent le
point B. Les équations précédentes repré- ^K q^V^ sentent deux droites KA^, HA^ parallèles
// aux droites AA^, BA|, de la figure (iSh)
Fif. 18 b.
— — et telles que :
U' BH = — • dx'.
Le point dlntersection A4 détermine p^, q".
On déterminera ensuite Tordonnée z" par Téquation
dz = pdx + qdy == (p + X^) cte
Iz' = p'dx'+ q'dy' = (p' + /?') Ix'
Nous vérifierons plus loin que les deux valeurs de z" seront égales aux approximations admises; on peut prendre la moyenne des deux valeurs obtenues.
Ce calcul étant effectué, on se rapprochera de l'exactitude par la
méthode des moyennes. On écrira pour les courbes AA| et BB| les équations aux différences
dy \-dx, ly'^JL^^' . . .(7)
On remplacera aussi les équations différentielles en cfp, dq^ ^p' ^' par les équations aux différences
— uy =
'" oV ■
oq .
dx
Enfin, on écrira
dz = ^ 1^ <te + ^ t ^' dy
rv"
^ te' + liil,^
On peut aussi écrire immédiatement ces équations en prenant afy y"^ ^1 P'% Ç" comme inconnues et tirer ces inconnues; mais ces équations sont compliquées et, en général, la méthode des approximations successives est beaucoup plus facile.
On détermine le point B| de la même manière; partant alors des points A| et B^ , on écrit les équations des caractéristiques A^A, etBiA,, on détermine le point A, et ainsi de suite.
11 nous reste à vérifier que les deux manières de déterminer z" donneront deux valeurs qui ne différeront que d'une quantité de Tordre de celles que Ton a négligées dans le calcul.
Considérons le triangle ABA^ ; nous ferons les calculs en négligeant les petites quantités d'ordre supérieur au second. Keprésentons les accroissements des quantités, de A en B, par l'indice A ; les deux valeurs de z" sont :
z" '= z + dZy 5" = J5 + A« + Sa'.
Il faut donc vérifier que la quantité
dz — ^z' — Aa
est d'ordre supérieur au second.
Les équations (9) qui donnent dz et iz' peuvent s'écrire
En multipliant les équations (8) respectivement par fx et €lx\ on trouve :
dpSx' + dqiy' - ^— + j dxJx' + -^rfçrJ*'
