II' U*\ AX
ip'dx + H'dy -= ^ + j dxtx' + —Wdx.
En portant ces expressions dans les valeurs de dz et tz, et en remarquant que ^x^ dx — ix', Ay ^s «fy — ly' on a :
Or, on a
A P + P'a Î' + Îa
L'expression dz — ^z' — As est donc une quantité d'ordre supérieur au second.
/Considérons maintenant un quadrangle ^^' / AA'A"'A"; en suivant le contour A A'A"', / ^' on a :
yf 2'" «= z + dz + Sa + dlz.
X En suivant AA"A'" :
-w^" • z" = a + Sj8 + d« + dS2.
Fit. 19.
Il faut donc vérifier que
est une quantité très petite d'ordre supérieur au second. On a pour AA' :
On en déduit
ipdx + iqdy p^dix + q'idy ip'dx* + iq'dy' ~ 2 ■*■ 2 ■*■ 2
p'dlx + q'diy
Or, on a
Multiplions la première par dœ, la seconde par daf ; il vient : ^dx + Jqdy + — ^9 = -^{-^ + -j^)dx^
Jp' daf + fq' df ^ '?' =T (F ■** R^y **** ^'
On a alors
Uz
On trouve de même :
d'où :
On voit que cette quantité est d'ordre supérieur au second.
24. Remarque. — Est-on bien certain que les tracés que nous venons d'exposer conduisent à une solution approchée de l'équation? Remarquons qu'il est démontré rigoureusement que les triangles et quadrani;les calculés existent, que les arcs qui les séparent sont réguliers, que ces arcs satisfont aux équations différentieUes qui ont été appliquées.
Oq ne s'écarte de la vérité qu'en calculant pour ces arcs les accroissement des fonctions inconnues par la moyenne des dérivées extrêmes. On peut considérer comme évident que l'on déformera la solution exacte aussi-peu qu'on le voudra. Dans le chapitre premier, nous avons indiqué une méthode qui conduisait à des résultats faux. Les causes de ces inexactitudes sont disparues dans l'intégration par les caractéristiques ; aucun arc auquel on applique la méthode des nu)yennes des dérivées n'est irrégulier; ensuite les équations différentielles ne sont pas en nombre jnfîni. Néanmoins il y a, au point de vue théorique, une lacune à combler. Après avoir obtenu un premier réseau de caractéristiques, on devrait subdiviser les arcs, déterminer le domaine de variation des caractéristiques de manière à enfermer chacune d'elles entre deux limites, démontrer que ces deux limites se rapprochent indéfiniment et que les limites des multiplicités obtenues satisfont aux équations des caractéristiques. Les calculs sont très longs.
25. Arête de rebroussement. — Suivons le même raisonnement qu'au numéro 48. Reprenons les équations (2) et exprimons que r, «, t sont infinis; nous obtenons l'équation 3), sans l'équation (4). Nous aurons donc
dy a= \dx, ' dz = pdx + qdy
et 11 faudra ajouter deux équations arbitraires pour déterminer la multiplicité du premier ordre. Si on prend cette multiplicité comme condition initiale, on voit que les caractéristiques touchent la courbe initiale; cette dernière est la courbe intégrale ou l'arête de rebroussement.
26. Problèmes divers, — On donne comme conditions initiales une courbe projetée sur ÂB et la multiplicité des plans tangents le long de cette courbe. On veut couvrir la partie CABD du plan des xy, au moyen d'une surface unique et continue. Quelles conditions arbitraires peut-on se donner dans les plans AC et BD?
Premier cas. — La multiplicité du premier ordre AB, régulière ou
non, détermine d'abord une sur'^ face intégrale limitée aux caractéristicpies AË et £B de systèmes différents. Nous prenons d'abord le cas où, eu A, l'une des caractéristiques AE est dans l'angle BAC et l'autre à l'extérieur de cet angle. Nous pouvons couvrir Fig. 20. ^ l'espace EAC au moyen d'une sur-
face intégrale qui dépend encore d'une fonction arbitraire ; on peut la
déterminer en se donnant, par exemple, la courbe projetée sur AC. Pour construire cette intégrale, dirisons l'arc ÂC en arcs très petits et réguliers. Du triangle ANM formé par AM et deux caractéristiques, 90US connaissons A et N, c'est-à-dire que nous connaissons Xy y, z, |>, q en ces points. Nous déterminerons le point M (jc, y, js, p, q) en appliquant à NM les trois équations de la caractéristique et les équations de la courbe donnée à AM. Connaissant M on en déduit le quadrangle MNQP et le bandeau MNEF. On passe au triangle MPR et au bandeau RPFH, et ainsi de suite. On voit que la surface AEB est commandée par la multiplicité AB exclusivement, tandis que la surface ËAC dépend à la fois de AB et de AC. On trouve de même la surface EBD, en se donnant la courbe BD. Sur CE et ED, on construit un quadrangle subdivisé en quadranglés réguliers, etc.
Detixième cas, — Supposons que les deux caractéristiques AD, AE
qui passent par A soient situées toutes les deux dans l'angle BAC;
^ fi f^ supposons de même que
les caractéristiques du point B soient dans l'angle KBL en BH et BF.
La multiplicité AB détermine la surface ABD ; on pourrait même dire que cette surface est déterminée jusqu'en BF.
Fif. 21. On pourrait comme pré-
cédemment, se donner BL et trouver la surface LBF, mais alors l'espace LBF serait couvert par deux surfaces. Pour rester dans les conditions du problème proposé, on doit limiter la surface commandée par AB à ABD et l'on ne peut pas donner arbitrairement la courbe BD. Mais au contraire, on peut se donner, dans le plan AC, une multiplicité du premier ordre ayant en A un élément commun avec la multiplicité AB. En effet, de cette multiplicité AM, régulière ou non, on déterminera une surface AEM par la méthode ordinaire. On déterminera ensuite une surface par les caractéristiques AD et AE. Toutes ces surfaces se déterminent par triangles et quadranglés, comme il a été dit plus haut.
Troisième cas. — Courbe initiale gauche ou plane. — On donne une
multiplicité du premier ordre contenant la courbe BAD. Supposons qu'en A, Tune des caractéristiques touche la courbe initiale* Si on trouve les caractéristiques EF et ET, on voit qu'elles couvrent le même espace ; il y a deux nappes. En général, le point A est sur Taréte de rebroussement. Si Ton ne veut construire qu'une surface unique, on détermine la surface CAB commandée par la multiplicité AB. On se donne alors la courbe AD sans les plans tangents et Ton détermine la surface CAD.
â7. Sur la réalité des racines. — Que deviendraient les solutions que uous venons de trouver, si les racines X et /« de l'équation (3) devenaient imaginaires? Il n'y aurait alors aucune caractéristique réelle. Donc, si l'on donne comme conditions initiales une multiplicité du premier ordre irrégulière formée d'arcs réguliers, on trouvera une int^ale régulière pour chaque arc, mais les intersections de ces surfaces ne satisfont pas à l'équation proposée, et il est impossible de raccorder ces surfaces entre elles par des surfaces intégrales intermédiaires, car les lignes de raccordement, si elles existaient, seraient des caractéristiques réelles.
Exemple :
r + t = o caractéristique :
dy = =fc i(h:
intégrale générale :
« = 9(tf — ♦•^) + ^'(y + w:) intégrale particulière :
L'intégrale particulière satisfait aux conditions initiales :
Si on prend :
z = — y« pour y > o z = + y* pour y < o
On obtient les deux paraboloîdes, qui se coupent suivant deux génératrices, mais il est impossible de les raccorder.
II résulte de là que les solutions irrégulières^ avec lignes de discontinuités, n'existent pas quand les caractéristiques sont imaginaires. II y a certains problèmes, tels que la poussée des terres, le mouvement des eaux courantes, où Texpérience indique que ces solutions irrégulières existent ; on peut en conclure que les caractéristiques doivent être réelles.
§ 4. Équation quelconque du second ordre.
