Équation de Mange et d'Ampère, — Soit une équation
On peut d'abord essayer la méthode du paragraphe précédent ; on se donne une multiplicité du premier ordre et on écrit :
dp^rdx + sdy j
dq = sdx •{- tdy » ^ '
On cherche dans quel cas les valeurs de r, s^ i sont indéterminées. Il faut pour cela que l'équation (i) soit une conséquence des équations (2). Cela n'arrivera que si l'équation (i) a certaines formes particulières et si l'on établit des relations entre dx^ dy, dp^ dq.
Suppose que l'on prenne :
dp^adx -{- hdy |
dq =» a,dx -^b^dy » ^ '
a, 6, a^, a^, = fonct. {ar, y, z, /?, q) Les équations (2) deviennent :
(r — a) dx •{- [9 — b) dy =^
(5 — a) (te + (t— 6i) dy == Et ces équations ont pour conséquence :
{^r — a){t-b,)-(s — b)(s-a,)^0 ou bien :
r^ — 5* — ftif + (ai + 6)5— a^ + a6| — a^fc^O . . . (4)
Si donc on donne l'équation (4), les équations (3) déterminent une caractéristique du premier ordre et l'on pourra construire les surfaces intégrales par la méthode du paragraphe précédent.
L'équation (4) peut être identifiée à la suivante :
r^ — 5* + Hr + 2K5 + L^ + M = o . . . . (4)
• On a :
*! = — H, a, + 6=2K, a = — L, «6, — a,6 = M D'où
fti — — H,ac=— L,, a4 + 6 = 2K a^ft = HL — M Les valeurs de ai et b sont les racines de Téquation : X« — 2KX + HL — M==0
Soient X^, X, les racines de cette équation ; on trouve une première caractéristique en prenant a^ = X^, 6 = X, ; on trouve :
dp = — Lûte + X, cfy ^
dq = \dx — Udy J f^J
On y ajoute :
dz := pdx + gdy
Ces équations déterminent les quatre fonctions y, z, p, y. On obtient l'autre caractéristique en échangeant X^ en X, et ç en 94.
En prenant des relations du second degré ou de degré supérieur entre dxy dy^ dp^ dq^ on trouve que ce sont les équations des caractéristiques d'équations aux dérivées partielles contenant r, 5, ^ à des degrés plus élevés.
29. Équation quelconqm. — Soit Téquation du second ordre la plus générale :
Si le long d'une courbe, d'abord choisie arbitrairement, on se donne p et j, on trouve r, s, t au moyen de l'équation (4) et de
dp = rdx + sdy , dq = sdx + tdy (2)
Nous supposons que l'équation (i) ne puisse pas être une conséquence des équations (1) et (2) ; il n'y a pas de caractéristique du premier ordre. Nous calculerons les dérivées troisièmes par les équations :
Ix jjf dx \dx I
La première a été obtenue en différeufiant Téquatiou (i) par rapport à x et en posant :
' r dP
. dx .
aF
aF
aF
Nous obtiendrons une caractéristique du second ordre en exprimant que ces équations entre les trois dérivées troisièmes sont indéterminées. On trouve :
dx o
dy o dx dy
— dr
— ds
ou bien
Kdy* — Sdxdy + Tdx» = .
dr ds f^^\
dx dy \ dx J
De l'équation (3) on tire deux valeurs X et ^ de alors pour la première caractéristique
(/y = Xdx
dy dx
on trouve
ay = Aox \
£n y joignant :
dz^^pdx + qdy^ dp-
rdx + sdy , dq == $dx -i- tdy. . (6)
etréquation (1), on a six équations pour déterminer les sept fonctions y y z, py Çj Vy 5, L II faut y ajouter une équation arbitraire telle que
Si nous avions pris la dérivée de Téquation (1) par rapport à y^ nous aurions trouvé, au lieu de la seconde des équations (5) :
dF \dx \<iy R
Cette équation combinée avec la seconde des équations (5) a pour conséquence
dF=zO
Elle peut remplacer l'équation (i), sauf à introduire une constante. On trouve de môme les équations de la seconde caractéristique :
f dF\ îx Xy=^Sx,crr+XX« + J^— j— = 0. . . . (8)
Sa «= ptx = çSy , Sp =ss rSx «= s^y , ^ = s^x = % . . (9) z^ffiix). ' (10)
30. Intégration graphique. — On démontre, comme au numéro SI, qu'il existe des surfaces intégrales irrégulières, formées de bandeaux réguliers, engendrées par une caractéristique régulière. Dans le cas général, la solution du problème est une intégrale irrégulière formée de triangles et quadrangles réguliers (2S, 26). L'intégration graphique diffère à peine de celle qui a été exposée au numéro 23. Tout nouveau
/f yy point P à calculer se trouve à l'intersection de deux
caractéristiques MP, NP partant de deux points connus. S'il s'agit d'une équation de Monge et d'Ampère, on calcule x, y, 2, />, g au moyen des trois ^ équations de chacune des caractéristiques MP et NP;
^^- 23 on a six équations ; on peut calculer z de deux ma-
nières, mais le résultat est le même à l'approximation admise. S'il s'agit d'une équation de forme quelconque, on calcule en P les huit quantités x, y, 2,p, 9, r, 5, t au moyen des six équations de chacune des caractéristiques ; comme l'équation F = est commune aux deux courbes, il y a onze équations pour huit inconnues ; on peut calculer z,p, g au moyen des dz, dp^ dg ou au moyen des $z, Sp, S9; on arrive au même résultat. La remarque relative à la réalité des racines est applicable ici, ainsi qu'aux autres problèmes que nous rencontrerons plus tard.
