ÉQUATIONS SIMULTANÉES LINÉAIRES

31. Caractéristique d'ordre zéro. — ^ Soient z, z' deux fonctions inconnues de deux variables indépendantes x, y satisfaisant aux deux équations simultanées linéaires :

Ap + Bç + C/»' + Dy' = E (1)

ou

A, B... D',E' = fonctions régulières de j?, y, 2, s'.

Ces deux fonctions z et k' peuvent être représentées par deux surfaces associées en portant x, y, z et x\y\z' en coordonnées. D'après le

théorème de Tinfégrale générale des équations aux dérivées partielles, on peut se donner sur chaque surface une courbe arbitraire régulière; soient BA, B'A', ces courbes, supposées dans le plan des yz et des yz\ Voyons ce qui arrive lorsque les courbes initiales BAC, B'AT/ sont formées chacune de deux arcs réguliers de manière à présenter en A, A' des discontinuités dans les dérivées premières et autres. Voyons s'il est possible de former une solution irrégulière représentée par les surfaces S, S' commandées par les arcs BA, B'A', les surfaces T, T' commandées par les arcs AC, A'C et les intersections associées des surfaces S et T, S' et T'. Soient : dx, dy, dz, dz' les différentielles appliquées à un point M, M' de ces courbes associées : on a :

FIf . f 4.

fdx + qdy => iz p'dx + ^dy «= dz'

Au moyen des équations (i), (2), (3), (4), on peut calculer p,qyp\ q'. En prenant les dérivées de ces équations, on calculera les dérivées d^ordre quelconque des fonctions z et z\ Nous obtiendrons une caractéristique d'ordre zéro en exprimant que les équations (1), (S), (3), (4) sont indéterminées ; nous obtiendrons une caractéristique d'ordre n en exprimant que les dérivées d'ordre n + 1 sont indéterminées. La