AS
caractéristique d'intersection AM, MW s'obtiendra donc en égalant à zéro les déterminants de la matrice :
dz dy o dx
o o dx dy dz'
En supprimant la dernière colonne, on trouve un premier déterminant à égaler à zéro. Si dans ce premier déterminant on multiplie les colonnes d'ordre pair par dx^ les autres par dy^ puis si on retranche chaque colonne de rang pair de la précédente, on trouve aussi :
Xdy — Bdx
k'dy — Vdx
Cdy — hdx Cdy — Wdx
dy
On tire de cette équation du second degré en --— les deux solutions :
dx
dy = >, rfa? , ^y = ^t^J?
En prenant la dernière colonne et trois autres de la matrice écrite plus haut, on trouve pour chaque caractéristique une équation :
dz + «1 dz =bidx ^z + o, iz' =: h^ix.
Considérons la caractéristique du premier système ; il manque une équation; nous devons donc ajouter une équation arbitraire; on trouve :
dy = X^ dxj dz + «j ds' = ôj dr , g ^ ç (x) . On a de même :
j^y r=z\ ^j, ^x + a, ^z' = 6, (Tx, z = ©1 (x) .
Les quantités X^, X„ Oi, a„ &|, 6, s'obtiennent en développant les déterminants dont il a été fait mention ; mais on peut aussi employer la ipéthode des coefficients indéterminés. Multiplions les équations (i), f2), (3), (A) respectivement par «, p, 4, a; ajoutons et exprimons qu'on arrive à une identité ; on a :
A* + A'p + dx =
B;c + B'p + rfy =
C« + C'p + aix = \ . . . (9)
D* + D'P + arfy =
E« + E'3 + da + aiz' = 0.
Eii éliminant «, p, a, on trouve les deux équations des caractéristiques. Des deux premières on tire :
« (Xdy — B*) + P (AVy — Wdx) = ; de la troisième et de la quatrième :
^ (Crfy — Ddx) + p {Cdy — Vdx = 0, on déduit de là :
P Ady — Bdx Cdy — Ddx
~ T ~ A't/y — B'rfx ~ Cdy — Vdx
dy C'est réquation en — - , d'où l'on tire les deux valeurs X = X^, X =X-. dx
La seconde équation de la caractéristique est la dernière des équations (9), où «, a, p sont remplacés par leurs valeurs tirées des précédentes. Des deux premières, on tire :
kdy — Brfg Mdy — h,dx
^~~ AB' — A'B ''^~ AB' — A'B ' de la troisième et de la quatrième :
Q4y — Mx C'rfy — D'rfx
