AB' — A'B ^ AB'-A'B

La seconde équation de la caractéristique est alors

dz + adz* = bdx.

Pour X = X^ on trouve a = a^, 6 = 6| : c'est la première caractéristique ; pour X = X,, on trouve a^= a^, b -= 6„ c'est la seconde caractéristique.

32. Propriétés des caractéristiques. — i^ Les deux courbes associées, qui constituent une caractéristique, peuvent être considérées comme la ' limite de deux surfaces tubulaires à section infiniment petite, et, à ce point de vue, la caractéristique est une solution. Comme les surfaces tubulaires sont associées, les plans tangents aux courbes limites doivent aussi être associés; nous les associerons de manière à satisfaire à

i'équation (i). H est facile de voir que Téquation (S) sera aussi satisfaite; en effet, les équations (1), (2), (3), (4) àe réduisent à trois; or, (1), (3), (4) sont satisfaites, donc (2) l'est aussi. La caractéristique est donc une solution quand on associe les plans tangents comme nous venons de Je dire.

^ Si les surfaces intégrales sont connues, on pourra toujours engendrer ces surfaces par Tun ou Tautre système de caractéristiques. En effet, quand on connaît 2, z' en fonction de or, y, chacune des équations (5) devient une équation différentielle à une fonction inconnue et détermine une famille de courbes dans le plan des x y et une famille de courbes associées sur les deux surfaces intégrales. Il résulte de là que la fonction » ou ^^ dépend du point initial et des deux fonctions arbitraires qui déterminent la solution.

3<> Si on sait construire deux surfaces engendrées par les deux systèmes de caractéristiques, ces surfaces sont des intégrales du problème. En effet, on a pour la première caractéristique :

dy as X] dx^ dz + ai dz' ^^s^h^dx

En exprimant dz et dz' au moyen des dérivées p, 9, p\ 9', on a :

On trouve de même :

Les surfaces satisfont donc à deux équations aux dérivées partielles; il est facile de voir que ce sont des combinaisons des équations (4) et (2).

En effet, si on multiplie (i) par a, (2) par p et si on ajoute, on trouve, en tenant compte des équations (9) :

— pdx — qdy — p'adx — q'ady = — dz — adz\

Pour dy = X^ rfx, on retrouve (40).

On peut raisonner autrement. On se donne les équations (5) et (6) des caractéristiques; on en tire les équations (40) et (44). On identifie Tune de ces équations avec une combinaison linéaire des équations proposées et ou trouve les valeurs de X, a, b. Les calculs sont semblables à ceux du numéro précédent.

4® Si on engendrait deux surfaces par une seule caractéristique, le problème ne serait pas résolu; les surfaces ne satisferaient qu'aune seule équation (40) ou (14). 11 faut ajouter que la caractéristique doit se mouvoir de manière à satisfaire à (4) ou à (2).

33. Intégrale trrégulière d une seule série de lignes de discontinuités. — Les courbes régulières BA, B'A' déterminent une solution régulière S, S'. A partir de A, prenons deux autres courbes AC, XC; elles déterminent une autre solution régulière T et T'. En général, les caractéristiques qui partent de A, A' ne seront pas les mêmes pour les deux solutions, car la fonction <f dépend des deux fonctions qui déterminent ces solutions; d'ailleurs, quand on se donne la caractéristique AM,A'M', il y a une relation obligée entre les plans tangents; eu prenant arbitrairement les tangentes aux courbes AC, A'C, cette relation ne sera pas satisfaite et AM, A'M' ne seraient plus une caractéristique. L'intersection des solutions S, S' et T, T' sera donc composée de deux courbes non associées, car sinon Tintersection serait une caractéristique.

Si nous voulons que S, S' et T, T' se coupent suivant une caractéristique et forment avec Tintersection une solution irrégulière, nous devons déterminer T et T'en nous donnant : i® AM, A'M', caractéristique qui dépend d'une fonction arbitraire; 2"" Tare AC, qui dépend d'une seconde fonction arbitraire. On démontre par l'analyse (développement en série et fonctions majorantes) que le problème ainsi posé est possible. Supposons que la courbe AC soit formée d'un certain nombre d'arcs réguliers; en appliquant le théorème précédent aux différents arcs, on démontre qu'il existe une solution irrégulière formée de bandeaux réguliers qui se coupent suivant les caractéristiques d'un système.

34. Cas de deux séries de discontinuités. — On demande de couvrir une partie du plan des xy par deux surfaces associées satisfaisant aux

équations (i) et (2); on se donne deux courbes arbitraires associées formées d'arcs réguliers^projetés en AB, BC, CD.

Les arcs AB déterminent une intégrale régulière sur laquelle nous tracerons le^ caractéristiques AA| , B A| de deux systèmes différents. Faisons de même pour BC etCD.On démontre que les caractéristiques BA| et BB| déterminent une solution régulière; nous limiterons cette solution aux Fif. ts. caractéristiques A^A^ et B|A,. On

trouve de môme les quadrangles CB|B,C|, BiA^A^B,, et ainsi de suite.

Remarque. — Au point de vue théorique, on pourrait limiter la solution commandée par AB à la caractéristique BA| et la solution commandée par BC à BB|, puis construire une troisième solution sur B^BAi; il y aurait alors trois surfaces pour chaque fonction dans B^BAi ; cette solution doit être rejetée quaiid on demande une surface unique pour chaque fonction.

35. Intégration approchée. — Subdivisons les courbes arbitraires en arcs assez petits projetés en AB, BC, CD; nous les supposons réguliers, mais il peut y avoir des discontinuités dans les dérivées aux points de jonction. Soit AB l'un de ces arcs ; traçons les droites AA| et BA| tangentes aux caractéristiques qui partent de A et B au moyen des équations :

Pif. te.

pour AA| pour BA|

dy = \dx

Nous calculerons les ordonnées z, z' au point A^ en appliquant les deux équations des caractéristiques :

pour AA| pour BB^

dz + a^dz' = h^dx Iz + a^tz' = b^Zx.

On remplace les différentielles par les différences et on a deux équations pour trouver z et z' au point A| .

On peut alors perfectionner le calcul ; on détermine X^ X, a^ a, b^ 6, aux sommets du triangle ABA| ; si on désigne les quantités en B et A| par ' et par ", on écrit :

BA,, iy = i!^ Ux, AA., rf,+ ^iJtfllrf.'=A±ill^,

On peut calculer par ces équations ar, y, «, z' au point A|. On opère de môme pour les autres triangles et quadrangles.

36. Caractéristique du premier ordre. — En un point d'une caractéristique les plans tangents sont indéterminés. Si,cependant,on donne ces plans tangents en un point initial Ak\ on peut les trouver tout le long de la caractéristique, au moyen d'une équation différentielle que nous allons établir.

Supposons que Ton donne deux courbes associées AM, A'M' et les plans tangents le long de ces courbes. Soient F,F^ les premiers membres des équations données; en différentiant par rapport à x, on a :

fdV

d» dx dx dx \ dx