IJ\ ^J J

\dx) dx '^ 32 '' ''" 33'^*

On a aussi :

— dx^^dy^dp;

^dx^^dy^dp'.

Si les courbes étaient quelconques, on trouverait les quatre dérivées secondes; nous obtiendrons une caractéristique du premier ordre en exprimant que ces dérivées sont indéterminées ; on doit, pour cela, égaler à zéro les déterminants de la matrice :

\dx /

dy Si on supprime la dernière colonne, on retrouve Téquation en —

des caractéristiques d'ordre zéro. En supprimant l'une des trois premières colonnes, on trouve une équation différentielle qui détermine la variation des plans tangents le long d'une caractéristique. On arrive aussi à cette équation en multipliant les équations aux dérivées secondes

-dp

-dp'

respectivement par «, p, 1 et a, coefficients déterminés par les équations (9) ; on trouve en ajoutant :

Les dérivées /?, q^ p\ q* satisfont déjà aux équations (i) (2) (3) (4) qui se réduisent à trois d'entre elles; l'équation (42) achève de déterminer la multiplicité des plans tangents, mais il faut se donner une constante arbitraire.

On peut mettre l'équation (4 S) sous une forme plus simple en utilisant les équations (10) et (11), dont nous désignerons les premiers membres par H et H|, les seconds étant ramenés à zéro. En différentiant l'équation (10) par rapport à a?, on trouve :

dp . dq ^ (dp' ^ . dq'\ /dH\ ^

Multiplions par edr, remplaçons \dx par djf, on a

'da\

On trouve de même pour la seconde caractéristique

dp + a^dp' + f -^ ) flte = (13)

^p + a^Sp' + f-^ j d» = (14)

Comme on a trois équations linéaires entre p, q, p\ q\ et que

expression du second degré en/?, 9, p', 9', l'équation (13) sera de la forme :

-^ = Mp« + Np + P (15)

37. Contour apparent. — Reprenons leséquations (1) (S) (3) (A) en supposant d'abord que cb, dy^ dz* s'appliquent à deux courbes associées quelconques. Exprimons que les plans tangents sont perpendiculaires au plan des xy\ nous trouverons la première équation des caractéristiques sans la seconde. On aura donc :

dy = Xi (te

— SS- II faudra compléter par deux équations arbitraires :

En projection sur le plan des xi/^ cette courbe touche les caractéristiques du système Xi. On peut se donner cette courbe et trouver une solution. Comme cette solution dépend de deux fonctions arbitraires, il semble que Ton trouvera ainsi toutes les intégrales ; il faut remarquer cependant que le contour apparent pourrait devenir imaginaire ou se transporter à Tinfini.

Lorsque les conditions initiales ont la disposition ordinaire, on trouvera le contour apparent par les intersections successives des caractéristiques en projection sur le plan des xy. Si on considère une caractéristique CA, si on se donne jîg ÇqP'o Ç'o en C, on trouvera pig. «7 le point A du contour apparent en cher-

chant par l'équation (lo) le point où p devient infini.

38. Problèmes divers, — Nous pouvons nous poser les mêmes problèmes qu'au numéro 26. On donne comme conditions initiales les courbes des surfaces z et z'qui se projettent sur AB ; on veut couvrir la partie CAAD ; du plan^^y au moyen 1 d'une surface unique pour chacune des fonctions z et z\ Quelles conditions arbitraires peut- on se Fig. î8. donner sur les plans AC et BD?

Les deux courbes AB déterminent d'abord une solution que nous limiterons aux caractéristiques de systèmes opposés AE et BE et que nous construirons par la méthode ordinaire. Supposons qu'en A et en B les deux autres caractéristiques tombent en dehors de la partie du plan des xy que nous considérons. Nous couvrirons l'espace EAC au moyen d'une solution déterminée par la caractéristique AE, qui dépend d'une fonction arbitraire, et par une courbe arbitraire projetée sur AG. On se donnera, par exemple, z suivant AG, mais 2' restera inconnu. Menons la caractéristique NM ; au point M, on connaît z ; on calculera z' par l'équation de la caractéristique MN ; on déterminera ensuite le quadrangle MNPQ et le bandeau MNEF. Puis on détermine, le triangle

MPR et le bandeau MFHR, et ainsi de suite.

£RD de la même manière.

On détermine la solution

Supposons que les caractéristiques du point A soient situées dans l'angle BÂG et que la même disposition se produise en B.

Les deux courbes AB déterminent la solution BAD. On se donne, suivant AG, deux courbes arbitraires sur les deux surfaces ; on construit la solution CAE.

Enfin on construit la solution EAD déterminée par deux caractéristiques. Le cas où les courbes arbitraires se projettent suivant une courbe du plan xy donne lieu aux mêmes remarques qu'au numéro 26.

59. Exemple. Coefficients constants. — Si les coefficients AjB.. D^'E' sont constants, il en est de même des quantités X, a, 6. On peut alors intégrer les équations des caractéristiques ; on trouve :

Piflr. <9.

y — \j!= constante, z + a^z' — ftju; = constante;

d'où

et, de même :

Ges deux équations déterminent les intégrales générales du problème, si » et <{/ sont arbitraires ; on le démontre facilement en prouvant que les équations différentielles des caractéristiques sont satisfaites. On aurait pu au^si éliminer z' de deux équations aux dérivées partielles ; on arrive à une équation du second ordre bien connue en analyse ; c'est un cas particulier de l'équation des surfaces de translation. Nous nous proposons d'appliquer les méthodes d'intégration graphique sans tenir compte de l'analyse précédente. Nous nous donnons, comme courbes arbitraires, deux polygones projetés en ABGD sur le plan des xy ; l'un de ces polygones, celui qui se rapporte à la fonction z^ est représenté en élévation. Les projections horizontales des caractéristiques, qui ont pour équations

dy = \dx ly = X, ^x

forment évidemment deux systèmes de lignes parallèles que Ton peut

^ tracer immédiatement. Partons des côtés projetés en BC; on trouvera 2,s' au point C| par les équations des caractéristiques BC| et CC4 :

BCi) dz + a^dz' = b^dx CC4) ^z + aj^z* = bj^x

En remplaçant les différentielles par les accroissements, on aura deux équations déterminant z'z' au point C^. On peut aussi prendre les accroissements comme inconnues; si Ton Fig. 90 adopte le symbole A pour

les accroissements suivant le côté BC, on a :

Az + tz== dz

Azf +^z =dz' et aussi :

Ajr + Si? = dx

A^ + c^y = dy^ ou Ay + X,^^ =3 X^dx.

Remarquons que les équations entre les accroissements sont exactes d^une manière absolue. D'autre part, si on réduit BC dans un certain rapport, tous les accroissements varieront dans ce rapport à cause de Thomogénéité des formules; les triangles BCC| restent donc semblables à eux-mêmes quand on fait varier BC ; il faut donc que les surfaces intégrales soient des plans.

On trouve de même en ABB| deux triangles plans. On obtiendra l'intégrale BiBCiCj en construisant des parallélogrammes sur les côtés B|B et Cfi, car les équations des caractéristiques étant satisfaites pour les côtés BiB et C^Bi , le seront aussi pour les côtes parallèles, car les accroissements sont les mêmes et les coefficients de ces équations sont constants. En faisant varier BBi et BCi, on trouve que les surfaces intégrales sont planes. Ou trouve de même le triangle CDiD et les parallélogrammes CDiD,C|, CiD^DjC,, et on continue de même. On vérifie aisément que la surface représentée en élévation est une surface de translation, car on engendre cette surface en faisant mouvoir

a caractéristique DDiD,Ds de manière que D, décrive D,C,6iÂ, Tautre caractéristique, ec que la caractéristique mobile reste égale et parallèle à elle-même.

On peut facilement résoudre pour cet exemple les différents problèmes indiqués au numéro précédent. En partant des intégrales régulières planes, on peut aussi trouver des surfaces prismatiques, comme intégrales ne présentant qu'une seule série de lignes de discontinuités (53).

§ 6. Généralisation.

40. La méthode des lignes caractéristiques s'applique a toutes les équations à deux variables indépendantes (i). Le nombre de caractéristiques augmente avec Tordre des équations et avec le nombre des fonctions inconnues. L'intégration graphique par les caractéristiques est

toujours applicable. Supposons,

^ ^ j. -^ pour fixer les idées, qu'il y ait

quatre caractéristiques ; des conditions initiales AB, on déduit C en suivant 4 , 2, 3, 4. On trouve Pig. 31. de même ADE. On mène (2) et (3)

par A En exprimant que (2) et (i) peuvent engendrer DAF, que (i) et (À) peuvent engendrer GAF, que (3) et (4) peuvent engrendrer CAD, on détermine AF et AG. On trouve en A cinq surfaces ou cinq solutions et quatre ligues de discontinuités. EAB commande l'intégrale limitée par (i) et (4) prolongés.

(1) Il est bien évident que, pour ne pas faire mentir le titre de notre mémoire, nous devrons, dans un chapitre ultérieur, nous occuper des équations à n variables indépendantes. Le point de départ est identique ; les cloisons qui séparent les solutions régulières sont les variétés caractéristiques qui rendent le problème de Cauchy indéterminé. Cependant il y a lieu de considérer des discontinuités d^espèces diverses qui se propagent au sein même des variétés caractéristiques an — 2, n — 3, . . . et 1 . dimension. L*équilibre limite d'un massif pulvérulent non prismatique conduit à une surface caractéristique représentée par une équation du premier ordre qui se décompose en une équation quadratique (surfaces de glissement) et une équation linéaire (surfece isostatique). Si le massif est limité par un polyèdre, il y a une solution pour chaque lace, deux autres solutions pour chaque arête, une solution conique pour chaque sommet et quelques onglets qui servent de raccordement. {Voyez aussi les comptes rendus de TAcadémie des sciences de Paris, 1900, n^ 17, 18 et 19, au sujet d'une communication intéressante de M. Coulon sur le problème d'iiuygens).