Équation du mouvement. -^ Nous supposons qu'il existe un
filet fluide suivant le lieu os des centres de gravité des sections transversales du cours d'eau et que le débit par une section transversale BC soit le même que si toutes les particules fluides de cette section possédaient la vitesse u du centre de gra-
, vite A de la section.
pi^ 32 Prenons un plan horizontal de com-
paraison. Soient : z l'ordonnée du niveau liquide 6, x Tordonnée d'un point A de l'axe central, s la longueur OA qui sépare le point A d'un point fixe 0, p la pression en A, p la densité, it t=z pg le poids spécifique, u> la section transversale, x^^ périmètre mouillé. On sait qu'une particule fluide se meut comme un point matériel de masse i , sollicité par la force au point considéré et par une force fictive dont le
Ip travail virtuel est . Prenons 5« = AA' comme déplacement vir-
P tuel. La force comprend la pesanteur dont le travail est g^j;, le frottement qui s'exprime par 'Kx^(u)ds pour une masse pmds. On a donc en
f du\ désignant l'accélération tangentielle par ( — — | :
gdx —
»(tt)>»
Nous admettons la loi hydrostatique
n vient en divisant par g^s :
= ji («fa? — *;)
L'accélération tangentielle est la dérivée particulière de la vitesse.
que Ton obtient en suivant la particule fluide dans son mouyement ; on a donc
du du
(du) = -— - ds 4 -r— dt pour ds = udt os os
d'où
( du\ du du [dt J^"" ds * dt
L'équation du mouvement devient :
dz
u du . i du ^ ,
ds
g ds g dt
Nous avons posé :
bu*=-^f{u).
On peut prendre
d'après Darey et Bazin^ ou la nouvelle formule de Bazin :
ou l'ancienne formule de Prony :
Si la vitesse u devenait négative, ce qui se présente dans les fleuves à marée, le coefficient b, ou les coefficients a ou b, prendront évidemment le signe de u.
42. Équation de continuité. — Lorsqu'il ne se forme pas de vide dans le liquide, le volume «^s d'une tranche doit rester constant dans ' le temps ; on a donc
f^—— J (i)Ss ae ou bien f^r^j ^^ + ^^ = 0.
Or, on a ;
(do)) = -— • dt + — — ds pour ds =• udt.
dt ds
L'équation de continuité devient donc^ en la divisant par h : dm a« du
dt ds ds
On arrive aussi à cette équation en exprimant de deux manières l'accroissement du volume compris entre deux sections fixes s^ s + h : 1® par l'augmentation de section, 2o par les vitesses ; on trouve
on bien
/ diOU \
■ dits = &udt — ( wu + -r — ^ ) dt
Soient : {, la largeur de la rivière au niveau du liquide ; mf, la dérivée de la section par rapport à s^ en supposant z constant ; on a :
Si on introduit ces valeurs dans l'équation de continuité, on trouve, en divisant par -l :
dz dz . du ,.
Nous avons posé
(i> i 3bl
43. Transformation des équations. — Les deux équations du mouvement varié sont les équations (1) et (2). Les quantités h, hj m sont des fonctions de z et ie s qui dépendent de la forme du lit de la rivière. On a donc un système de deux équations simultanées, aux dérivées partielles, à deux fonctions inconnues et à deux variables indépendantes s, /• Les fonctions inconnues sont z et u. On peut exprimer u au moyen du débit 9 = «ou ; les fonctions inconnues deviennent q et z.
On peut aussi introduire la hauteur d'eau H au-dessus du fond du lit. Soit Xo l'ordonnée du fond du lit ; on a :
ds
en supposant H vertical. On en déduit :
dz^ an 3« . 3H
Nous poserons alors :
-T— , pour ilH s= 0, ss n{
oz
d'où Ton tire :
Les deux équations du mouvement deviennent alors
au
St
au
dH
— nu (5)
Les quantités i, A, t, n sont alors des fonctions de H et « ; on a deux équations aux dérivées partielles à deux fonctions inconnues H et u, ^ou bien H et jf en introduisant le débit.
Lorsque le lit est prismatique, i est constant et n est nul. L'équation (5) se simplifie.
§ 2. Ressaut varié. — Vitesse de l'onde.
44. Historique, Newton^ Lagrange^ Scott RiLssel^ Bazin (i). — Newton est le premier qui ait essayé une théorie des ondes en assimilant ce phénomène à roscillation d'une colonne liquide pesante dans un siphon renversé, ou enfin à l'oscillation du pendule ; mais l'insuffisance de cette théorie est aujourd'hui bien reconnue. Lagrange a établi dans sa mécanique analytique que la vitesse de propagation des ondes dans un canal peu profond à fond horizontal est
H étant la profondeur. Cette conclusion suppose que l'onde a un faible
(1) CoLUGMON. Hydraulique, 1870, p. 304.
Newton. Principes, LU, section VIU, proposition, 44, 45, 46.
Lagrange. Mécanique analytique, seconde partie, section XI, 35 et suiv.
relief au-dessus du plan moyen du liquide, et que les vitesses horizontales des molécules liquides sont infiniment petites.
Scott Russel (1843) a étudié expérimentalement le mouvement d'une vague solitaire qui se propage dans une eau tranquille et a reconnu la formule
H étant la profondeur du canal et s la hauteur du sommet de la vague au-dessus du plan d'eau normal.
Lorsqu'un liquide étranger afflue pendant un certain temps dans un canal, il se forme une tranche liquide qui se propage à la surface de Teau. M. Bazin a établi la formule empirique suivante :
H est la profondeur normale du canal,
s est la hauteur de Tonde,
u la vitesse moyenne de Teau,
V la vitesse de propagation de Tonde.
M. Bazin a établi un certain rapprochement entre la vitesse de Tonde et le phénomène du ressaut. On sait que la condition de possibilité du ressaut est
Cette inégalité indique que la vitesse du courant est supérieure à la vitesse de Tonde; de sorte que celte onde, qui teud à se propager dans les deux sens, ne peut se propager vers Tamont, parce que Texcès de vitesse du courant Tentraine vers Taval. M. Bazin a constaté, de plus, que, si Ton diminue subitement la vitesse de Técoulement, le ressaut se transforme en une onde qui se propage vers Tamont.
« Ce rapprochement, ajoute-t-il, n'a rien de rigoureux; néanmoins, il présente quelque intérêt comme établissant une corrélation entre deux ordres de faits bien différents, i
Malgré Tautorité du célèbre hydraniicien français, nous nous permettrons d'exprimer une opinion contraire à la sienne. A notre avis, le ressaut et la propagation de Tonde ne sont pas deux ordres de faits bien différents, ce sont deux cas d'un môme phénomène; le ressaut' est une onde dont la vitesse de propagation est nulle; Tonde est un ressaut varié ou mobile.
On nous objectera sans doute, que si on égale la vitesse de Tonde à zéro, on trouve :
1^ ff (H + e) + tt
formule qui n'est pas la formule du ressaut. Mais cela tient à ce que la formule qui donne la vitesse de Tonde est une formule empirique qui n'exprime pas complètement Tlufluence de tous les éléments de la section.
Nous allons établir la théorie du ressaut varié ; nous obtiendrons une formule qui nous donnera la vitesse de Tonde et la hauteur du ressaut eu égalant cette vitesse à zéro.
45. Équations du ressaut varié ou propagation des ondes. — Soient :
j AEFC, une onde ; i?, la vitesse avec C C laquelle Tonde se déplace vers Taval ; 0), u la section et la vitesse à Tamont du ressaut en AB ; o)', u' ces éléments pour une section s' à Taval du res- , saut ; s^ la section où le ressaut se - produit à Tinstant t. Isolons la masse fluide ÂBDC et appliquons à cette masse le principe des quantités de mouvement projetées sur un axe.
'i Cl
Fig. S3.
Nous prendrons comme axe de projection un axe parallèle aux vitesses ou même un axe horizontal. Les vitesses font avec Thorizon un angle si petit, qu'on peut prendre 1 comme cosinus de projection. Nous ferons ensuite converger s" — « et «' — <* vers zéro. La quantité de mouvement de la masse fluide est
iL« tt (,«,)+ IL ,^'u'(5' - sr^.
La difTérentielle par rapport au temps s'obtient en remarquant que
ds -B udt, dsf — vdt, ds = u'dt.
On trouve :
Nous avons réduit immédiatement à zéro les termes qui contiennent
encore ^' — « et «' — <^. Nous désignons par ùl raccroissement en passant de Tamont à Taval de Tonde.
L'impulsion de la pesanteur, des pressions des parois, des frottements disparaîtront en annulant s' — s; les impulsions des pressions extrêmes ont pour valeur
L'équation des quantités de mouvement devient donc :
toulv — 11) A ' ^=A«ti (6)
A cette équation, il faut joindre l'équation de continuité que l'on obtient en exprimant que le volume de la masse fluide ABDC ne change pas; on a :
ou bien
0) (t? — u) d^ + u)' («' '^v)dt =
ou
46. Remarque. — 11 peut être utile de remarquer qu'en appliquant le théorème des quantités de mouvement à une étendue finie $t — sq du canal contenant un ressaut, on trouve en une fois l'équation du mouvement continu et l'équation du ressaut. Prenons un axe horizontal comme axe de projection ; les quantités de mouvement projetées sont très approximativement égales aux quantités de mouvement ellesmêmes. La quantité de mouvement d'une tranche «^8 a pour différentielle :
( -7- ) — îùl$udt = — fùl —— ) h dt.
\dt/ g g \ dt J
L'accroissement élémentaire des quantités de mouvement s'obtient en intégrant cette expression de 80 à <i et en y ajoutant l'accroissement dû au déplacement de l'onde.
A l'aval de l'onde, il y a suppression d'une tranche de longueur (v — u') dt\ à l'amont, il y a une nouvelle tranche de longueur (v — u) dt ; il en résulte pour les quantités de mouvement un accroissement 1
— 0) (« — tt) u.rf^ w' (t? — U') u' dt= — cf^A [ »(u - t?) u J.
On trouve facilement que Timpulsion de la pesanteur est nulle, que l'impulsion des pressions est pour une tranche, m» ^z dt^ mais qu'il faut ajouter, pour tenir compte de la discontinuité, le terme
— II*Al(wîi),
que l'impulsion des frottements est pour une tranche Ilx^ [^) ^< dt. Finalement on trouve^ en disant par Xldt^ l'équation :
A ® -^ — = — A (»iï) +
\ F îùds
ds g \ dt J
En faisant «^ «= «, es s''^ on trouve l'équation du ressaut varié. En prenant 8\ — «g «= ds^ on trouve F «= 0, équation du mouvement •continu.
47. Ré9olution des équations. — A cause de l'équation (7) on peut dans l'équation (6) traiter <» (u — v) comme constant ; l'équation (6) 'devient donc :
— ^ AU =r A(wti).
L'équation (7) peut s'écrire :
{v — u) A» = m'ai*.
En éliminant Au entre les deux précédentes, on trouve
T-=A(»ti).
On trouve finalement la vitesse de l'onde
On peut aussi calculer au ; on a :
A» , - . ^^ ^ / »' A(wti) AU =-7- (« — u) = dz—r\/9 -—
S'il s'agit d'un ressaut d'élévation, A«) est positif, et l'on a :
A(wïj)
S'il s'agit d'un ressant d'abaissement, A(i> est négatif on doit preQ«» dre le signe ip, car A« = — |/(Aw)'. :
Enfin on peut calculer la vitesse du ressaut en fonction de la vitesse u' ; on a :
Aw(i? — u) =» « V
d'où
(1)' tkf^
On a aussi :
48. Développement en série. — Soient : « la hauteur de l'onde, H la .y. profondeur totale ; on a évidemment :
Soient :
Fig. 84. 3H 3H*
On a, par la formule de Taylor :
en» r^H.
3i 3«co ,^ a«ï , r :
aH>
Le moment «v^a pour valeur
on a donc ;
La valeur de Ai devient alors :
Al a«-
Les termes indiqués par des points disparaissent quand les paroia
ont un profil rectiligne entre les deux hauteurs d'eau. Nous poserons alors 2
m = hl r* = i (43)
h est la profondeur moyenne ; X; est |la profondeur à laquelle les talus se rencontreraient s'ils étaient prolongés vers le bas. On a alors :
Si nous supposons que < soit une petite quantité vis-à-vis de A et de kj on peut écrire :
* 2* Àk*
et en supprimant les termes d'ordre supérieur au second dans l'équation (14), on trouve :
Enfin, si les parois sont verticales, on a :
Dans une section rectangulaire, A est égale à la profondeur H. Si on transforme de la même manière la valeur de A, , on trouve :
parois rectilignes :
parois verticales :
Ou pourrait aussi développer en partant de o)', pour àH sa — e ; on trouve pour h^ et h^ des formules analogues aux précédentes pour Ai et A| . Il suffit d'ailleurs de changer le sens des s pour rentrer dans le cas précédent.
Toutes les formules que nous venons d'établir s'appliquent au ressaut d'abaissement ; il suffit de considérer s comme négatif. Nous pouvons aussi transformer le ressaut d'abaissement en un ressaut d'élévation en changeant le sens des s et appliquer les formules :
v = u±: Vgh^ h, = =-^ .... (8)
