CHAPITRE II

Intégration graphique par les caractéristiques.

L'exemple du cylindre fait prévoir qu'il existe, sur les surfaces intégrales des équations aux dérivées partielles, certaines lignes suivant lesquelles se propagent les discontinuités des courbes initiales; ces lignes existent effectivement pour les équations à deux variables indépendantes ; ce sont les caractéristiques. Les équations des caractéristiques ont été écrites par Monge dans son ouvrage célèbre sur les applications de l'analyse à la géométrie. M. Darboux a apporté ensuite

de grands perfectionnements à la théorie géométrique des caractéristiques. Nous pourrions écrire immédiatement les équations des caractéristiques en renvoyant le lecteur aux traités spéciaux. Cependant, nous établirons ces équations: d'abord, notre travail sera ainsi directement accessible à un plus grand nombre de lecteurs; ensuite, nous devons exposer cette théorie à un point de vue spécial. En analyse, on se propose de trouver les intégrales régulières en cherchant des intégrales des équations des caractéristiques. Ici, au contraire^ nous chercherons approximativement des intégrales irrégulières, en étudiant les caractéristiques au point de vue de la propagation des discontinuités. Les problèmes que nous aurons à résoudre auront pour solution des espèces de polyèdres où les faces seraient des intégrales régulières et les arêtes, des caractéristiques d'un ou de plusieurs systèmes.

§ i^'. — ÉQUATION LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE.

^3. Caractéristique d'intersection. — Soit l'équation :

A/> + Bg=»C

où A, B, C sont des fonctions uniformes de or, y, z débarrassées de tout

facteur commun. Donnons -nous une courbe initiale régulière AB dans le plan des yzj nous déterminerons une surface régulière S, intégrale de l'équation (1). Donnons-nous une seconde courbe AC, nous trouverons une seconde surface intégrale S' coupant la première suivant, une courbe AD. En un point M de cette courbe, on a :

dz s=: pdx + qdy.

En considérant successivement ^^8' 9. les deux surfaces, on voit que les

équations (1) et (2) sont satisfaites par deux systèmes de valeurs de p et q; comme ces équations sont linéaires, elles doivent être indéterminées; on a donc :

dx dy dz

Ces équations définissent une congruence de courbes ; on démontre que par tout point de l'espace, on peut faire passer une courbe et une seule satisfaisant aux équations (3). Toute courbe peut être considérée comme une surface dégénérée; on peut la considérer comme limite d'une surface tubulaire dont la section a pour limite un point ; le plan tangent à cette surface dégénérée est un plan mené arbitrairement par la tangente à la courbe. A ce point de vue, toute .courbe satisfaisant à réquation (5) est une surface intégrale, car un plan tangent à la courbe satisfait à Téquation :

dz=pdx + qdy

qui, à cause des équations (3), devient Téquation (1).

Il résulte de là que les deux surfaces S et S' et leur ligne d'intersection AD constituent une intégrale irrégulière; en tout point de S, de S' ou de AD, l'équation est satisfaite.

Si on se donne une directrice EF, régulière ou non, curviligne ou polygonale, on obtiendra une surface intégrale en menant des caractéristiques par tous les points de la directrice. On démontre,en effet, que les intégrales des équations (3) sont continues par rapport aux constantes; la courbe MD engendre donc une surface continue dès que la directrice EF est continue. Mais il peut y avoir des discontinuités dans les dérivées premières ou d'ordre supérieur; ces discontinuités se propagent suivant certaines caractéristiques qui divisent la surface en bandeaux réguliers. I^'équation proposée est satisfaite en chaque point de cette surface, car tout plan tangent est tangent à une caractéristique et nous venons de démontrer qu'alors l'équation est satisfaite.

14. Variatùm du plan tangent. Caractéristique du premier ordre. — Si le point initial A d'une caractéristique se déplace infiniment

peu, on démontre aisément que tout autre

ç point se déplace, en général, d'une quan-

tité du même ordre. Si en A on imagine

^ deux directrices ayant mêmes dérivées d'or-

f/ dre n et inférieur, les dérivées de cet ordre

restent les mêmes pour les deux surfaces le

long de la caractéristique. Connaissant ces

p,g^ ,P^ dérivées en A, on peut donc les déterminer

en un point quelconque. La ligne AD et

l'ensemble des dérivées d'ordre égal ou inférieur à n constituent une

caractéristique d'ordre n. Si on suppose d'abord AD quelconque, on

peut calculer par les équations différentielles de la courbe et l'équation

proposée, toutes les dérivées le long de AD, on trouvera la caractéristique d'ordre n en exprimant que les dérivées d'ordre n + I sont indéterminées.

Proposons-nous de trouver la caractéristique du premier ordre. Supposons connus x^ y, x^ p, q le long de ÂD et calculons les dérivées secondes r, 5, t. Posons :

Ap + By — C = F = o (i)

On a :

où l'on a :

dx)" dx '^ dz^

On a aussi :

dp = rdx + sdy (5)

Exprimons que les équations (4) et (5) en r et 5 sont indéterminées, on a:

Si on avait pris la dérivée de F par rapport à y et la valeur de dç, le dernier rapport eut été :

Enfin, on a :

dx dy pdx + qdy dz

""Â B" "^ Ap + B<î (T

On peut donc écrire :

dx dy dz ~*. 7^-

fja caractéristique du premier ordre comprend la caractéristique d'intersection ou d'ordre zéro, et l'ensemble des plans tangents.

Soit à calculer la fonction p. Nous supposerons connue la caractéristique d'ordre zéro : y eiz sont des fonctions connues de x. On tire des équations (6) :

dac

\dx ) dx dx Sx

pq.

Or:

Ap + Bq = C.

En éliminant g, on trouve :

, aB „ 3A 3B

^ dz -^ dz dz