AB B

15. Contour apparent. — Reprenons les équations (1) ou (2), où nous supposerons d'abord que dxj dy, dz appartiennent à une courbe quelconque. Nous obtiendrons le contour apparent de la surface, en projection sur le plan des ocy^ en exprimant que p et q sont infinis ; on obtient : .

dx dy > dz

11 manque équation pour déterminer la courbe ; nous écrirons :

9 désignant une fonction arbitraire.

Soit AB une courbe de Tespèce représentée en projection sur le plan des xy. Cette courbe n'est pas une caractéristique; on peut donc faire passer des caractéristiques par tous ses points, et l'on obtiendra une surface intégrale.

Comme le contour apparent dépend d'une fonction arbitraire, il

Flg. 11.

même qu'on puisse obtenir toutes les intégrales de cette façon.

Il faut remarquer cependant que le contour apparent peut devenir imaginaire ou se transporter à l'infini.

Si Ton trace les caractéristiques en projection horizontale, on trouve des courbes tangentes à la courbe AB ; Téquation (8) donne, en effets la

dy môme valeur de — — que pour la caractéristique ; dans l'espace, les

eue

courbes ne sont pas tangentes.

Au lieu de nous donner la courbe AB, donnons-nous la courbe initiale A'B' dans le plan des yz et intégrons graphiquement les équations des caractéristiques. Si ces caractéristiques se coupent en projection horizontale, leur enveloppe déterminera le contour apparent. £n eiTet, en un point B, on trouve dans l'espace deux tangentes à la surface intégrale en menant les tangentes au contour apparent et à la caractéristique ; comme ces deux tangentes ont la même projection sur le plan des xy^ elles déterminent un plan tangent normal à ce plan des xy. Ce raisonnement serait en défaut si les deux tangentes coïncidaient aussi dans l'espace, mais alors la courbe AB satisferait aux équations de la caractéristique ; par chacun de ses points, il passerait deux intégrales des équations de la caractéristique, ce qui n'est pas possible dans le cas où A, B, C sont uniformes.

On peut aussi demander de déterminer analytiquement le point où une caractéristique A'A coupe le contour apparent. Si l'on ne donne que la caractéristique A'A, le problème est indéterminé, car on peut tracer AB à partir d'un point initial quelconque. Mais si on donne /^q en A', on trouvera la variation de p par l'équation (7), et en cherchant le point où p devient infini, le problème sera résolu.

La détermination du contour apparent peut avoir une grande importance dans certains problèmes utiles. S'il s'agit de trouver une surface qui limite supérieurement un liquide, l'existence d'un contour apparent prouvera qu'on se trouve en présence d'une solution théorique physiquement impossible. C'est ainsi, par exemple, que le mascaret se produit, quand la surface hydraulique continue présente un contour apparent.

16. Cas plus général. — 11 peut se faire que les fonctions A, B, C contiennent un ou plusieurs radicaux ; c'est ce qui arrivera quand l'équation linéaire proviendra de la décomposition d'une équation du second degré ou de degré supérieur. Tout ce qui précède est encore applicable, si on donne une signification déterminée aux radicaux ; mais il faut exclure les points où les racines denennent égales ; dans le voisinage de ces points, il se présente des singularités que nous

exposerons succinctement. Soit 2 le lieu des points où un radical s'annule ; en M on trouvera deux caractéristiques ; en N les racines sont égales; en P, elles sont imaginaires. La caractéristique MN ne peut dépasser 2 et forme un rebroussement. Il se peut cependant que la caractéristique touche la sui^ face 1 ; alors la surface 1 est une solution singulière ; c'est la surface focale de la congruence des caractéristiques. Il nous semble regrettable que Ton ait employé le même mot a linéaire b pour désigner des équations d'espèces bien différentes : les unes n'ayant jamais de solution singulière, les autres présentant les mêmes propriétés que les équations de forme quelconque.

Plg. 12.