Caractéristique du premier ardre. — Soit l'équation
Prenons d'abord comme ligne initiale une droite ÂB du plan des yz :
z s=z ay -^ b, ar =
(On pourrait prendre une courbe quelconque à deux paramètres). On ^ obtiendra une intégrale de la forme
qui contient deux paramètres et qui est appelée intégrale complète.
Si la droite AB enveloppe une courbe AC, l'intégrale complète enveloppera une surface S qui est aussi une intégrale, car tout plan tangent à l'enveloppe touche une enveloppée et satisfait à l'équation proposée. Cette surface S est PI,, is. un lieu de caractéristiques. Si on
prolonge GA par une autre courbe AD, telle qu'en A il y ait contact du premier ordre, mais des discontinuités dans les dérivées d'ordre
supérieur au premier, on trouvera uue autre surface S', mais il est facile de voir que les deux surfaces se raccordent le long d'une caractéristique commune ÂM. En effet, les équations de la caractéristique sont:
If V db Ax,y,z,a,6) = o + = o.
Le point caractéristique de la droite âB est déterminé par :
dh „ , dh
y ^ —^^0 d'où— -î= — y.
da aa
Au point A, on trouve la même caractéristique pour les deux
dh surfaces, car a, h^ -— sont tes mêmes dans les deux cas. Les plans da
tangents le long de cette caractéristique se confondent, car ce sont les
plans tangents à la même enveloppée.
Pour obtenir toutes les surfaces intégrales qui ont même plan tangent en A, il suffit de prendre la courbe AD arbitrairement, mais tangente en A à la droite AB ; donc toutes ces surfaces ont une ligne commune AM et les plans tangents communs suivant cette ligne. C'est cette suite d'éléments qui constitue la caractéristique du premier ordre de l'équation proposée. Nous voyons aussi que Ton peut former une surface intégrale irrégulière au moyen des deux surfaces S et S' ; c'est suivant la caractéristique commune que se propagent les discontinuités dans les dérivées d'ordre supérieur au premier.
Nous obtiendrons les équations différentielles de la caractéristique du premier ordre en suivant la méthode déjà employée au n® 14. Supposons d'abord que dx^ dy^ dz s'appliquent à une courbe quelconque d'une surface intégrale. On peut calculer p et g par l'équation (\ ) et l'équation :
dz = pdx -^ qdy (2)
Ces équations ne sont jamais indéterminées, si l'équation (1) ne se décompose pas en équations linéaires. Il n'y a donc pas de caractéristique d'ordre zéro. Nous pouvons ensuite calculer les dérivées secondes r, s, t; on obtiendra la caractéristique du premier ordre en exprimant que ces dérivées secondes sont indéterminées. Posons :
d¥ = Pdp + Qdq + Xdx + \dy + Zdz.
En prenant la dérivée par rapport à a;, on a :
Pr + Q« + X + Z/> = (3)
On a aussi :
dp = rdx -{■ sdy (4)
Les valeurs de r, s sont indéterminées^ si Ton a :
dx dy — dp
Si nous a>1ons pris les dérivées par rapport à y, nous aurions trouvé :
dx P
dy Q
Zy
Ou a aussi :
dx
dy Q
pda5+ qdy Pp + Q?
Pp +Qq
Oa a finalement les équations de la caractéristique :
dx dy
dx
-dp + Zp
-dq
Y + Zq
Deux de ces équations peuvent être remplacées par (i) ou (2).
Nous avons démontré plus haut la génération des surfaces intégrales par les caractéristiques ; les équations (5) déterminent ces caractéristiques. De la courbe initiale» au moyen des équations (1) et (2), on déduit Xqj ^0» ^09 Pof 9o ^^ ^^ trouve par les équations (5) y, z, />, q eu fonction de x. On peut d'ailleurs démontrer analytiquement (démonstration de Cauchy) que si la fonction initiale est continue et sa dérivée, la caractéristique engendre une surface continue, dont les plans tangents sont déterminés par les coefficients p et q et qui satisfait à réquation proposée.
Pour intégrer graphiquement les équations de la caractéristique, on prend, par exemple, x comme variable indépendante, on représente les fonctions y^z^p^q par des courbes que Ton détermine par tangentes successives; on peut ensuite augmenter Tapproximation en utilisant les quadratures approchées. On déterminera la surface intégrale en construisant des caractéristiques suffisamment rapprochées.
Si la courbe initiale est formée d'arcs réguliers tangents Tun à l'autre, on trouve une surface intégrale formée de bandeaux réguliers
Fif. 14.
séparés par les caractéristiques ; les discontinuités dans les dérivées
d'ordre supérieur au premier se propagent suivant ces caractéris-
tiques»
Si la courbe initiale présente un angle curviligne BAC, on trouvera
une surface S pour AB, une surface S' pour AC ; mais on ne peut pas prolonger ces surfaces jusqu'*à leur intersection, car cette intersection n'est pas une intégrale comme cela se présente dans les équations linéaires. On doit faire tourner la tangente AT de l'arc AB jusqu'en AT' tangente à AC. Pour chaque position intermédiaire, on trouve une valeur de Po , q^^ et une caractéristique. Cette caractéristique engendrera une surface pseudo-conique S"
qui servira de raccordement entre les surfaces S et S'.
48. Courbe intégrale ou arête de rebroussement. — Reprenons les
équations (3) et (4), et supposons d'abord que dx, dy^ dz s'appliquent
à une courbe quelconque. Exprimons que r, s^ t sont infinis le long
de cette courbe, lious trouverons :
dx dy
Nous y joindrons les équations (1) et (2); nous avons ainsi trois équations pour déterminer les quatre fonctions y, z, p, q; il faudra donc y ajouter une équation arbitraire :
Toute courbe ainsi déterminée est appelée courbe intégrale. En tenant compte de l'équation (2), on a :
dx ~P~
dy Q
dz
Pp + Q?
En y ajoutant
on obtient toutes les équations de la courbe intégrale. Si nous prenons une courbe intégrale comme courbe initiale, nous
engendrerons une surface intégrale par les caractéristiques. On voit par les équations (6), comparées aux équations (5), que les rfa?, rfy, dz^ en un point, sont les mêmes pour la courbe intégrale que pour la caractéristique ; donc les caractéristiques touchent la courbe intégrale. En projection sur la plan des xy^ les caractéristiques enveloppent aussi la courbe intégrale ÀB qui sépare la nappe visible de la nappe invi-
:r sible ; mais, d'après l'équation (7), les plans tangents ne sont pas normaux au plan des ooy en général.
La courbe AB de l'espace est une arête de rebrousse* ment. Si, au lieu de représenter z, on représentait p ou q par une surface, la courbe AB serait un contour apparent, car r, 5, t sont infinis.
Connaissant une intégrale complète, on peut trouver l'intégrale générale par la théorie des enveloppes. Monge a aussi écrit les équations de l'enveloppe des caractéristiques ; cette enveloppe est la courbe intégrale ou l'arête de rebroussement.
Si on se donne une courbe initiale quelconque A'B' et si les caractéristiques enveloppent une courbe en projection sur le plan des xy^ cette courbe peut être un contour apparent de la surface z ou de la surface p ou q; dans ce dernier cas, -c'est l'arête de rebroussemenr. 19. Singularités. — Si on élimine;? et q entre les équations :
on obtient une surface qui est le Heu des points de rebroussements des caractéristiques ou une solution singulière. {Voir le Mémoire de M. Darboux, Savants étrangers, t. XXVII.)
On peut aussi généraliser (pour 5 ou n dimensions) les propriétés relatives aux équations di£férentielles ordinaires que nous avons exposées précédemment (1) :
i"* Si, dans l'équation aux dérivées partielles, on considère p et q comme des paramètres, on obtient une famille de surfaces à deux
(1) Mémoire sur Vintégration graphique, n^ 717 et suivants. {AnnaUs des Ingénieurs sortis de VÈcole du Génie civil de Gand,samèe 1886-1887.^ Tirés à part, Gauthier-YiUars, 1887.
paramètres ; ces surfaces sont les surfaces isoclines ; elles ont pour enveloppe la surface représentée par les équations (8);
2« Le point de cette enveloppe, où les paramètres^ et q sont précisément les coefficients du plan tangent commun à l'enveloppe et à l'enveloppée, est un point extra-singulier; les caractéristiques se disposent dans les environs de ce point, comme dans le cas d'une équation différentielle ordinaire ;
30 Si tous les points de l'enveloppe satisfont à la condition du point extra-singulier, l'enveloppe est une solution singulière; elle est aussi l'enveloppe des intégrales ;
4° Si on prend comme intégrale complète une sphère de rayon r, touchant une sphère de rayon R, les surfaces isoclines sont des sphères de rayon r' = R — r. Il y a réciprocité; les sphères de rayon r' deviennent des intégrales quand les sphères de rayon r deviennent les surfaces isoclines. L'équation aux dérivées partielles est :
L'intégrale complète s'obtient en échangeant r et r' et en remplaçant p et g par des constantes :
- ^ . '" y + [y -^ '' V \ l^i + «« + p« / \ 1/4 + «f + pt y
L'intégration rappelle l'équation de Clairaut, surtout quand rz=,r'\ ■^^ Prenons pour intégrale complèle les positions d'une surface inva- ^ riable A, à laquelle on donne un mou-
vement de translation qui fait décrire à tous les points de cette surface des surfaces B égales et parallèles. Les surfaces B sont les surfaces isoclines et il y a réciprocité. L'enveloppe commune des surfaces A et B est la solution singulière.
Fig. 15. Soient Aq , B^ deux de ces surfaces,
ayant respectivement pour équations :
Ba F (a?o, y^y ^o) = 0;
Au moyen de l'équation de Ao, on tire :
La surface isocline B est le lieu du point M, tel que :
PST = SVÎ , P décrivant Bo ; son équation est :
F (a: — /; (p, g), y — ft(Pyq)y ^ — A(p, î)) = o.
C'est réquation aux dérivées partielles; les fonctions ^^ /,, f^ satisfont à :
df^^pdf, + qdf^.
On trouve les intégrales complètes en faisant varier;? et q et cherchant pour P fixe le lieu du point M ; on]trouve :
x^x^-k- fi(p,q), y = yo + fi{p,qh ^ = ^o + A(p,î).
Entre les trois constantes x^y y^^ z^ on a la relation :
Par raison de réciprocité, on peut aussi mettre l'équation de l'intégrale A sous la même forme que celle de la surface B ; on pose :
"Nâl = "SÇp = 9 (p', q') = ^?i (p', ?') + ...
et réquation de A est :
^i(^ — <Pi {p\q')> y — ?«(/>'. ?'). ^ — nip\q')) = o
où p\ q' sont des constantes. L'intégration rappelle encore Téqnation de Clairaut, surtout quand F et F^ sont identiques ;
6® Dans le plan, le rayon de courbure de la solution singulière est la somme algébrique des rayons de courbure de l'intégrale et de la courbe isocline qui ont un point commun sur la solution singulière. Dans l'espace, les indicatrices de la solution singulière, de la surface isocline et de l'intégrale, qui ont un seul élément commun, ont deux diamètres conjugués de même direction et, pour les sections faites suivant ces diamètres, on a la même relation entre les rayons de courbure que dans le plan.
