Caractéristiques du premier ordre. — Soit l'équation

Rr + S* + Tt = U

H, S, T, U étant des fonctions régulières de a;, y, z, p, q. Donnons-nous comme conditions initiales une courbe régulière AB

du plan des yz et les plans tangents le long de cette courbe; cela revient à donner, pour a? ■= 0, les fonctions régulières z^ et p^.

D'après le théorème de l'intégrale générale, on déterminera ainsi une intégrale régulière S.

Voyons s'il est possible d'introduire en A des discontinuités dans les dérivées secondes, de manière à obtenir une nouvelle surface intégrale S' se raccordant avec S suivant une caractéristique du premier ordre AM.

Considérons d'abord la multiplicité d'éléments AM (points et plans tangents) comme choisie arbitrairement. Nous pourrons calculer en un point quelconque M toutes les dérivées. Nous obtiendrons la caractéristique du premier ordre en exprimant que les dérivées secondes sont indéterminées. Si dXj dy^ dz^ dp, dq appartiennent à la courbe AM, on trouvera r, «, t par les équations :

Rr + S* -h Tf = U

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