CHAPITRE IV (Suite) (i
i^ 7. CARAC^TÉRISTIQUES RKCTIUCJNKS, SOLITIONS CONOÏDES
ET l'SKUDO-CONOÏDÈS.
154. Théorètnes de M, Mawice Lévy. — Dans le mémoire déjà cité, M. Maurice Lévy a déiHontré deux théorèmes importants sur les plans de glissenieiU. Nous démontrerons ces théorèmes en utilisant les équations des caractéristiques.
Théorème I. — Les lignes de glissement ne forment un système de lignes parallèles (]ue dans la solution linéaire.
En ell'et, si les c^iractéristiques d'un système sont des droites parallèles, les caractéristi(|ues de Tantre système, qui doivent couper ces droites parallèles sous un angle constant, forment aussi un système de droites parallèles. Soit po la pression eh un point A, (flg. 97), sur les faces de glissement ; prenons pour nouveaux axes
.1. Extrait (lu tome u d<s la troisi(*me s«^rio des Aniv^les de î' Association des lnuè.nifurs snrtis des Kcnh'.s spéciafes de Gand, IWA.
coordonnés les lignes de giissomeiu A x\ A ?/' qui passent par cepoint ; nous calculerons la pression p en un point quelconque B du
plan ayant pour coordonnées
x' =- AM, //' — MB,
en appliquant aux caractéristi(iues AxM et BM les équations (20) et ;22) du numéro 109 ; elles deviennent :
dp =^ — U ds cos \u + ai
Op -^- ï\ O'J cos (ff.
d'ofi, en P
On trouve, en appelant p^ la i)resrtff. .//. sion au point M,
Pt = p, — ïl x' cos (h + a), p - p, -\- Il // cos {n — a); éliminant />,,
;>„ — 11 x' cos ?A -|- ^^) + ïï //' <*^^* ('^ — ^^)-
On voit que p est une fonction linéaire des coordonnées du point ; en égalant la pression à zéro, on trouve Téquation d'une droite, c'est le talus rectiligne indéfini (]ui limite le massif.
Théorème ff. — Les caractéristiques d'un système ne peuvent formel* un système de droites non parallèles.
Supposons, pour fixer les idées, que les caractéristiques du premier système forment un système de droites enveloppant la courl)e CA (ftg. 98). Nous prendrons, comme coordonnées d'un point (luelconque B du plan, la distance tangentielle
r =- AB
Fif/. 98.
et l'angle u que fait la pression maxima avec l'axe ox\ cet angle détermine la direction de la caractéristique AB qui fait l'angle l^ — r^ avec l'axe ox et par consé-
queiit la droite AB (41e-inêine. Soit p„ la pression an point A : la pression en B est donnée par Ja formule
P -" IK — lïr eos (u + ^^^'
Il s'agit de voir si les écj nations de la seconde caractéristique sont satisfaites.
On satisfait à la première de ces équations :
0// -^ tang {u + ^^ 'J.^/^ *
en traçant les caractéristiciues du second systèmes de manière qu elles coupent celles du premier système sous un angle constant 2a. H reste donc à vérifier la seconde équation qui est
^jD =- — 2p tang cp.o'/. -\~ 11 ot (ros {li — a).
Nous devons remplacer /; par la valeur écrite plus haut ; nous devons aussi remplacer rîr et ^t par leurs valeurs que nous obtiendrons dans la limite rebitive du triangle BDK ofi BD est l'arc de la développante de la courbe GA. On a d'abord
07 =^ limr BK
