CA =- R
on a donc
f/r = r tangcp.^M — R 5/«.
L'équation des caractéristiques du se<;ond système devient en remplaçant p, cîr et ^t par leurs valeurs et en opérant quelques simplifications :
ip^ + 2 /?., tang 'f w - 4 FI cos (w + a) tang 'f . r ou — FI R cos {u + a) ou.
Cette équation doit être satisfaite quel que soit r; on doit donc avoir
4 n cos (H + a) tang» -- 0.
Cette équation doit être satisfaite quel que soit 7jt : ou doit donc avoir
Cette équation ne peut pas être satisfaite, parce que nous supposons les terres pesantes ; Thypothèse de droites de glissement non parallèles est donc réduite à Tahsurde.
155. Sohction conofde. — Supposons les terres non pesantes ; l'équation des caractéristiques du second système se réduit à
rjpo -= — 2po tang z ou ; on satisfait à cette écjuation en prenant
— 2n tang z Po ^ Vj e
Les équations des deux caractéristiques étant satisfaites, les éiiuations aux rlérivées partielles le sont aussi {3"2, 3**). Il suffit donc, pour obtenir une solution ofi les caractéristiques du premier système sont les tangentes à la courbe CA, de calculer la pression po le long de cett^' courbe par la formule précédente. On obtiendra la pression p en un pfjint.qnelconcjue B du plan, en suivant la caractéristique AB ; on a :
dp =
^ — 2ic tang cp.
Si on représente les fonctions p et n en les portant en ordonnées suivant une iHjrpendiculaire au plan, on obtient deux surfaces réglées ; les caractéristiques rectilignesjsont les projections de génératrices rectilignes parallèles au plan.
La courbe CA peut être choisie arbitrairement ; supposons (|u'elle se réduit à un seul point. Kn projection sur le plan, les caract<v ristiques forment un faisceau de droites pjissant par ce point ; las caractéristiques du second système coupent ces droites sous un angle constant ; ce sont donc des spirales logarithmiques.Dans l'espace, les fontions p et u sont représentées par des surfaces conoïdes ; le foyer
des caractéristiques du premier système est la projection des directrices rectilignes de ces surfaces réglées ; ces directrices forment une caractéristique du second système, car en s'approchant du foyer, les arcs de spirales logarithmiques ont pour limites le foyer lui-même. Les deux équations des caractéristiques du second système sont du reste satisfaites par ces directrices ; la première est satisfaite, car on a :
la deuxième équation se réduit à
op
2p tang (f âti ;
il suffit d'associer les points des directrices de mauière à satisfaire à r intégrale de cette équation qui est :
,, — 2wtang ^
On pourrait évidemment (Construire des solutions conoïdes où le foyer appartiendrait aux caractéristiques du premier système et où les caractéristiques rectilignes seraient les caractéristiques du second système. Il suffit de regarder la figure de l'autre côté du plan pour que les caractéristiques passent d'un système à l'autre.
156. Cas général où la pesanteur est nulle, — Nous rencontrerons le cas le plus général, dans lequel la pesanteur est nulle,en nous donnant arbitrairement deux caractéristiques AC et AB (fig. 99) de
\ systèmes opposés. Nous allons démontrer que les caractéristiques forment deux familles de courbes telles que les arcs d'un système compris entre deux courbes de l'autre système ont même courbure totale.
Soit ABDC un quadrangle formé par deux
caractéristiques du premier système et deux
caractéristiques du second système. Soient :
Po ^^0» Px ^^«»Pi ^*«» P î^jles valeurs des fonctions;?, ti aux points A, B, G, D. Nous pouvons calculer la pressions en suivant le contour ABD ou le contour ACD ; nous devons obtenir le même résultat. On trouve, en suivant AB qui est une caractéristique du premier système :
Fig. 99.
log p.
dp =-^ 2p tang?^ du,
log jD, =- 2 (u, — uj tang 'f ;
en suivant BD qui est une caractéristique du second système, on a
r)p -« — 2 p tang <jp ou, log p — Jlog p, = -- 2 (w — i^J tang 9.
On en déduit
logp — logp,
= (Wi — ^o) — (w — î^).
2 tang cp
En suivant le contour A C D, on trouve de la même manière :
log p — log p, , ... ^
2 tang çp
En soustrayant ces deux équations membre à membre, on obtient
2 (u, — wj - 2 {u — u,) =--0 d'où Ton tire
ti^ — u^ = u — it,.
La première équation démontre que les arcs AB et CD ont même courbure totale ; la seconde démontre que les arcs AC et BD ont aussi même courbure totale. On démontre de la même manière que les arcs AB, CD, EF, GH, etc., compris entre deux caractéristiques de systèmes opposés, ont tous même courbTire totale ; c'est ce qu'il fallait démontrer.
Cette propriété permet de construire approximativement les caractéristiques. On donne les arcs AB et AC ; on connaît donc les courbures totales des arcs inconnus CD et DB ; on en déduit les directions des tangentes aux caractéristiques au point D ; on peut alors tracer approximativement les arcs CD et BD en les remplaçant par deux tangentes égales. Les caractéristiques étant tracées, on calcule facilement la pression en un point quelconque si on connaît la pression au point A; il suffit de passer du point A au point quelconque en suivant deux caractéristiques de système opposé, comme nous l'avons fait précédemment en ^passant du point A au point D. On peut construire l'épure des pressions ; les courbes qui correspondent aux caractéristiques sont des spirales logarithmiques.
L'épure devient plus facile à construire, si l'on choisit sur les caractéristiques données des arcs de même courbure totale ; on obtient de suite les directions des tangentes aux caractéristiques.
Le cas dont nous venons de nous occuper u ôtô étudié analytiqueinenl par M. Boussines(i (i) qjii est parvenu à înté^^rer les équations du problème, en y appliquant la transformation de Le^^endre. Nous arriverons au même but en transformant les équations des caractéristiques. Les équations des caractéristiques du premier système sont :
dp = 2 p du tang f , dy =-- tang {n — a) dx ;
celles des caractéristiques du second système sont :
5p =- — '2 p^u tang cp, oy =- ^ tang {u -(- a) oœ.
Nous i)rendrons comme nouvelles variables indépendantes :
u ei V =-
logjD
2 tang 9 ' les premières équations des caractéristiques deviennent :
dv =- du.
ov =---
