-IL
COS (p
On remarquera que toutes ces formules supposent que Ton donne à la courbure un signe qui dépend de da ou de ^u.
115. Intégration. Contour apparent. — Si l'on examine les équations (31), (32), (33), (30) et (37), on reconnaît qu'elles ont toutes la forme de l'équation :
du
+ P// + Qy' - R.
dx
On sait intôgrer cette équation quand on en connaît une solution y, ; on la ramène à une équation de Bernouilli réductible à la forme linéaire, en jiosant
Si donc on connaît une solution du problème de la poussée des terres, séparée d'une solution inconnue par une caractéristique, on pourra toujours, dans la solution in(îonnue et le long de cette caractéristique, trouver la variation des dérivées partielles ou de la courbure de l'autre caractéristique.
Nous avons vu au numéro 37 que les caractéristiques d'un système peuvent envelopper une courbe et que cette courbe est le contour apparent des surfaces qui représentent les fonctions incoiumes. Nous avons montré aux numéros 83 et 84 que l'existence d'une surface hydraulique à plusieurs nappes annonce que la solution continue est impossible et doit être remplacée par une solution présentant une discontinuité finie ; le mascaret est une discontinuité de cette espèce. Le même phénomène peut se présenter dans la poussée des terres ; on obtiendra le point ofi la caractéristique touche le (»ontour apparent en cherchant le point ofi les dérivées partielles deviennent infinies. On arrive au même résultat en cherchant le point ofi la courbure de l'autre caractéristique est infinie ; car nous avons vu au numéro 113 qu'il y a des relations linéaires qui donnent les dérivées partielles en fonction de cette courbure. Il est d'ailleurs évident que le contour apparent qui enveloppe la caractéristique d'un système est le lieu des l)oints de rebroussements des caractéristiques de l'autre système.
Prenons, comme exemple, le cas d'une caractéristique rectiligne du premier système ; divisons l'équation (33) par r et posons
7*f/u — ds , r — oc ;
il vient
d'/ py*
î) — 7- -f — -^ — y 11 cos (a + «) « 0.
' ds coscp '
L'équation de la caractéristique du premier système donne, quand 'il s'agit d'une droite,
dp ^- — Il ds cos [Il + «), '
;> = - H s cos iu -|- a),
La constante d'intégration est nulle, si nous prenons, pour origine des 5, l(î point où la pression est nulle. Remplaçons p par sa valeur dans l'équation précédente et simplifions ; nous trouvons :
i ' ' cos fJ) ' '
ds
Cette équation est satisfaite en prenant
Cette valeur est facile à prévoir ; on peut toujours supposer que la caractéristique rectiligne limite une solution linéaire et la courbure des caractéristiques est alors égale <àzéro.
Pour trouver les autres solutions de l'équation différentielle, nous prendrons le rayon de courbure p comme fonction inconnue; nous obtiendrons après quelques transformations :
sd'j — [.ds ds
s* s cos 9
dont l'intégrale générale est :
pu.. 1 s
s 5„ roscp " s^
Nous avons appelé o^ le rayon de courbure au point 5.,. Nous obtiendrons le point où la caractéristique» toucbe le contoîir apparent en posant :
— X ou bien o -^ o.
On obtient :
