OU
+ 2pcos2u~ )=-o,
l 6p f 6p àp . ^ d^
^ 4- taiigcp ~|— sin2w — - — r- cos 2w + rP cos2w -j—
cos'^ 6y ^ ^ \d(v oij ' -^ 6œ
^^\ -f 2p sin 2u n — 1 — n =- o.
Représentons respectivement par X et par Y les premiers membres de ces deux équations et écrivons :
X sin {u-\-a) ---Y cos (w + a) = o, — X sin (u — «) + Y cos {u — a) = o.
Les termes qui contiennent Tangle 2u subissent d'abord des réductions importantes ; il y a ensuite des réductions qui résultent de ce que l'angle cp est le complément de 2a ; on retrouve finalement les équations (23) et (24).
111. Démonstration directe, — La simplicité des équations des caractéristiques semble indiquer qu'il doit être possible de les obtenir rapidement par une démonstration directe. Soient (fig. 67) :
ds=^ AB, de =- AC,
deux arcs infiniment petits do la première et de la seconde ligne de glissement passant par A. Nous pouvons construire sur ces deux arcs
lin parallélogramme curviligne en transportant,, par un mouvement (le translation AC en BD' et AB en CI)'. On remarquera que BD' et CD' ne se confondent pas avec les lignes de glissement BD et Cl).
Nous pouvons considérer la figure ABD'C comme la section de symétrie d'un prisme d'une longueur égale à Tunité et exprimer l'équilibre de translation de ce prisme. Tous les termes des équations seront de l'ordre ds d^ ; nous pouvons diviser par ds di et passer à la limite.
Nous arriverons au même résultat en prenant les limites relatives de l'ordre ds dv ou en supprimant les infiniment petits d'ordre supérieur.
Il n'y a pas lieu d'introduire les pressions sur les faces parallèles au plan de la figure : elle se font directement équilibre. Nous devons considérer trois forces : le poids du prisme, la résultante des pressions sur les faces AC et BD', la résultante des pressions sur les faces AB et CD'.
La limite relative du poids du prisme est évidemment
U ds dT sin 2a.
Figure GT.
Décomposons cette force suivant les tangentes AR et AS aux lignes (le glissement ; les composantes AN et NM sont données par les équations :
AN
MN
— cos (u + ^f)
cos (il — a)
II ds d'y sin 2a sin 2a
d'où :
AN =■ — n ds d^ cos {u -|- à), MN --= II ds di cos {it — a).
Nous devons calculer la résultante de translation des pressions sur les ftices égales et parallèles AC et BD'. Il suffit de composer les pressions par unité de surface et de répartir la résultante sur l'arc d'y. Nous désignons par /; la pivssion en A sur les faces de glissement ; en B, cette pression sera :
P^ = P'\'dp + ..
Nous devons introduire en B la pression sur la face BD' et non sur la face BD ; il faut faire tourner autour de B la seconde face de glissement d'iui angle
— ^u = — du + ...
Au moyen de Tépure circulaire, on reconnaît que la pression qu'il faut introduire eli B sur BD' est :
p" = p' — 2/î' tang 05 du -h ... = p -{- dp — 2p tang '^ du + ...
Cette pression fait avec la normale à la facette un angle i qui diffère de cp d'un angle du second ordre ; la résultante des pressions par unité de surface en A et en B est donc :
dp — 2p tang <p du + ..
suivant AR et une composante d'ordre supérieur suivant AS.
En intégrant dans l'étendue de6?7 et en passant aux limites relatives, on obtient :
(dp — 2/> tang ^f du) d^.
On trouve de même que les pressions sur AB et CD' se composent, aux limites relatives, en une force dirigée suivant SA et égale à
(ip + 2p tang f ôtc) ds.
En exprimant l'équilibre des composantes suivant AR et suivant AS, on retrouve :
dp — 2p tang ^ du =-=^ — il ds cos (u + a), dp — 2p tang » du --^ II St cos {u — a).
112. Crmictéristique du premier ordre, — Le long d'une caractéristique, les dérivées ou les plans tangents sont indéterminés ; mais si on donne ces dérivées en un point initial, on peut les trouver en tous les points au moyen d'une équation différentielle. Nous avons, au numéro 36, indiqué deux méthodes pour établir cette équation différentielle. Nous appliquerons la seconde de ces méthodes ; elle consiste à utiliser le.^ équations (23; et (24) déduites des équations de la caractéristique d'ordre zéro.
Désignons le premier membre de l'équation (23) par F ; prenons la dérivée de cette équation par rapport à x et multiplions par
dx dy
cos [H — a) sin (?« — a)
On trouve :
^ 6p - . , o?A / dF\ dx
d -^ — ^ P tang %■ d -,— 4. (-=—) — ; ^ (25).
ox ^ ' rjx ^ \ dx ^ cos {u — a) ^ '
Nous avons posé :
/ dF 6F ou^ oF__ 6p
Vd^ )~ ^^ ~6J~ "^ ^ipT 1^ (^^^•
Nous supposons que les fonctions y, p, n sont connues le long de Ja caractéristique du premier système ; les quatre dérivées partielles des fonctions jo et u satisfont à quatre équations linéaires ; il y a indétermination ; ces équations se réduisent à trois. Au moyen de ces trois équations, nous pouvons éliminer trois des dérivées et Téquation (25) deviendra une équation à une seule inconnue ; nous prendrons pour cette inconnue la dérivée de ?ipar rapport à x.
Nous écrirons d'abord :
dp dp
dp =^= -7— dx -1 ; — dy,
^ dx ' dy '
du dit
dit — —r- dx A ; — du,
ox dy
dy =^ tang {it — a) dx.
Nous en déduirons :
dp dp dp cos (il — ff)
dx
sin (il — d)
o'vr.
du.
dit
cos [u — a)
ôy dx ôx sin <u — u)
Portons ces valeurs dans l'équation (24) ; on obtient aprèi; quelques réductions :
dp cos Ç r/lC cos 9
sni (n — fi' ^ 6x sin {;n — a) ^ ^
ox
( dp du .
+ \-^ + ^/> ta»g ? -JT-) sin (?t + rt) =- 0.
Or, on a :
dp dit cos (?i 4" ^)
— T— =--- 2p tang C5 — T — — n —. — ;
dij ^ ^ ' dy sin {it — a)
Substituons et multiplions par
— sin [il — a.)
cos C5
on trouve après quelques réductions :
6p ( r]ll .
-T— -= 2p tang cp (^-^ h 2 s) II tang -^ sin 2ii (29).
Nous avons posé :
du sin (i4 — a*' sin (?/. + «) dy cos ',5
Nous allons maintenant calculer les différents termes de l'équation (25). Nous avons d'abord :
-T- ^ — r- sin {te — a) + -f- cos {ii — a) — 2» tang 9
r— T- sin itt — a; + — cos {;u — a)\ — II sin (u-^-a), l ox oy J
Nous éliminerons les dôpivôes partielles par rappprt h // au moyen des équations i27; et (28) ; le terme des dérivées des pressions devient après réductions :
1 'ip dp
+ ~T— cos lu — a .
sin m — a) 6x dy
Le terme des dérivées do l'angle ii devient de même
2p tang cp rjii du
"TTT; — :; ^ -^ 2/3 tang cp -t— (ros [a — a
sju x^i — (i) f.jc ^ ^ ' dij ^
Rappelons que l'on a :
dp
dy ~
d^t 2p tang ^ -^^ - n
Ou trouve :
oF
rjU
sin Uù — a) \ 6x
sin s
SJU [H — Cti
cos iit ~\- a sin {u — a)
ou. V tang ? ^
Remplaçons la dérivée dey) par sa valeur tirée de Téquation (29, ; nous trouvons après quelques réductions :
cos in — a\
Au \ n
— a) \rjx / 2
\ tang (jp rju sin u — (i)
On a ensuite :
qF p 6u ou 1
— =- — 2 tang z T- cos (lù — a) + - — sin {u — a)\ ryp ^ ' [ o,r ^^!J -^
Eliminons ladénvéo partielle par rapport à y au moyen de l'équati*)n 28 , on a :
oF du . . .
— -=-== — 2 tang cp — - - sm \u — u), r-p ' dy
On peut alors calculer
^ dx / \ dx / cos (u — a)
On trouve :
1 /rfF\ 1 . ^ ^^ ~ '' "^
4 tang <p ^dx' cos («^ — «) sin {u — a) cos (a — a)
n cos {it -A- a) rlit du / 6u \
~ 2 cos {tù — a) ox ' ' dx^ -r ^ /
U du
+ — tang© -^— sin22^
Nous calculerons le premier terme do Tôquation (24) en difFérentiant réquation (29) suivant la caractéristique du premier système ; on a :
d 6p / d ou rfS \
dx ôjc "' ® ^ \ dx ox dx '
dp / du \ du
ap / ou \
Nous remplacerons dp par sa valeur :
cos (u -\- a) dp -- 2/> tang q> rf<6 — Il rfv — : — ; -•
L'équation (24), divisée par 4 tang », devient finalement :
d ou d^ \ ' ox ^ ox ^ 1 ) j — - — — __
dx fjx dx ^ ^ sin [u — ft) (îos {u — a)
cos iu-\- a) / du \ du s\n in — a) cosf?^ — a)
^ cos {u — a) \ dx / dx cos (5
On obtient une formule analogue pour la seconde cartictéris-
tique. Il n'est pas nécessaire de recommencer les calculs ; il suffit de changer le signe de a et de H. On trouve :
ou / ou 5 ou SS \ ' Ix \ àœ
ne / 010 \
^ -ix \ àx /
lù + a) cos
i (u + a) COI cos (u + a) ^ dx ^f ' " Zx cos «p
(ô ou 6» \
Tx 'àôT "^ ox ^ sin (w + a) cos (i^ + a)
cos (w — «) / ou \ tu sin (i^ + a) cos (i^ + a)
PAS lï/. -i- n.\ \ n/r / '
113. Variation de la courbure, — Nous suivons toujours la première caractéristique, mais nous appelons y la courbure au point considéré de la caractéristique de l'autre système ; nous proposons de chercher la variation de cette courbure. On a :
ou ou ou
V = -:^ — =- -; — cos [u + a) + -}- sin [u-\- a . ' os ou? df/ '
Eliminons la dérivée par rapport à f/ par l'équation (28; ; on trouve :
du cos © du
V =r — -T— -: ; + ~7 — sh\(u 4- a).
' dx sin [U — a) dy v • ^
du y sin (u — a)
dx "" "". cos (f
Si, dans l'équation (31), nous remplaçons la dérivée de u par cette valeur, nous obtiendrons une équation différentielle qui donnera la variation de y. On trouve, en la multipliant par cos (p ;
d r 1 Py \ 7 s*^^ {u — a)^ p - [y Sin (n - a^\ - - ^, ^,, , ,,^ [S .-^T^- \
Il ^Qs {u + a) ^.^^ ^^^ ^^. ^ u ^' ^.^ ç^^ ^^j ^^g (^^^^) 0. cos(u — ^'^^ ^^-^
Remplaçons S par sa valeur et remarquons que
du , du du
sinû. -a)^^ -^- cos (..-...)= as
En divisant par sin (te — a}, on obtient :
^7 , lY du cos {7c + a)
P T -\ : — ;^7 -T- tang c^ - II v ^ — ■
^ dx cos {it — a) cos « ' ' dx • ' cos [u — a)
Multiplions par ^^.r ou ds cos («^ — a ; nous trouvons :
ds pdy + py* — 7-; — py dit tang (p — II y rf^ cos («^ + a)
cos C5
-|- II du. cos («6 — a) = 0.
Appelons y le rayon de courbure de la caractéristique du premier système ; divisons Tcquation précédente par du ; nous trouverons :
^i:u ^ ^ î^' "^ "■ ''' ^^ ^""''^ T + n ^' cos (?^ 4. a)]
+ n cos '?« — a, == (33.
Nous pourrons établir une équation analogue en suivant la caractéristique du second système et en étudiant la variation de la courbure de la caractéristique du premier système. Il n'est pas nécessaire de recommencer les calculs ; il suffit de changer les signes de a et de II ; on a, en appelant c la courbure de la première caractéristique et p le rayon de courbure de la seconde caractéristique :
Se L
p -T pc^ — 1- c [p tang cp -f II 9 cos {u — a)]
ou ' cos s ^ ^
— Il cos {u + a) =^ (34).-
114. Démonstration pa?' les diff croît ielles, — Au lieu de chercher la variation des dérivées partielles le long d'une caractéristique, on peut étudier la variation des différentielles relatives à l'autre caractéristique. Ainsi nous supposons connue une caractéristique du premier système ; nous prenons un élément ot, ox, df/, dp, ou de l'autre caractéristique ; comment varient ces dilîérentielles en suivant la première caractéristique.
Reprenons les équations des caractéristiques :
dp -^ 2p tang ^ da — Wds cos (it, + a;,
ip ^ — 2p tang ^ ou -f H c^ cos (;« — a),
Diiréi'entions la première par d et la seconde par d ; on a :
rjfJp -■-'■ 2p tang ^ i du -\- 2oy9 tang^ du -\- 11 (/5 sin {u + r/) ^^^
— II ds cos {^« 4" ^^ -" ■ ^»
^/o/î ^ — 2/) tang 9 d ^it — 2dp tang » Sa - M-Ît sin {u - a) ou
+ 11 d d'y cos (it — a) - = 0.
On a évidemment :
ddp = dop, ddu -- rfo?^.
Ecrivons :
ox -— OT cos [H + a), oy --— Jt sin («t -f- a\
dx -^ ds cos (if« — a), dy - ^5 sin (u — a],
Vax égalant les valeurs de d)x et Cdv ainsi que les valeurs de dhj et orfy, on obtient deux nouvelles équations qui permettent de calculer rfoT et 5^/6' ; on trouve après calculs et réductions :
ds ou ^
ci)7 =.-.- — tang ^ 07 au,
cos c& ^
o'jdu.
ods ------ — + tang z> ds ou.
cos C5* ' ♦
Remplaçons ces quantités i)ar leurs valeurs dans les deux équations qui donnent djp ci dht ; remplaçons aussi dp et §p par leurs valeurs tirées des équations des caractéristiques ; si nous éliminons alors d)p, nous obtenons après calculs et réductions :
pdht -f- II ^T du, cos tt — (Il — n d.s ou, cos (u -f (i)- o \So\
Cette équation et celle qui détermine ^/îo- permettent de calculer les fom^tions du et ^t ; on peut appliquer la méthode de D'Alembert.
Mais nous nous contenterons d'en déduire les équations (33) et (34) qui donnent la variation des courbures. Soit y la courbure de la seconde caractéristique ; on a :
ou == yd(Tf
dùu = dyofj -|" ydhfj.
En remplaçant rfoo- par sa valeur, ou obtient :
don = rfv (ÎT 4- y/ — 1- — tang^ 5^ dit),
\cos © ^
En substituant dans l'équation (35 , on retrouve facilement l'équation (33) du numéro précédent. En posant :
dw =^ c dSy
on retrouverait l'équation (34^
On peut introduire le rayon de courbure, au lieu de la courbure ; si on divise l'équation (33. par y- et si on pose
il vient :
do — p -j- — p [p tang z> + Il ^' cos {ic + à)] + o* n cos (it — a) ^
du
' cos o ^
Divisons de même l'équation (31) par c' et posons :
11 vient :
dv ^ 1- r {p tang o + II p cos [u — (i)\ — r^ II cos [it + ^)
