AC " AC, " AC

Il résulte delà que la figure AC,C'C^ est semblable et perpendiculaire à la figure ADFE ; donc les trois points C,, C, C, sont sur une di:oite perpendiculaire à DF ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarquons aussi que de Tégaiité entre du et ow, on peut conclure que les courbures totales des arcs AD' et D'B' sont approximativement égales ; il en résulte que le pôle des facettes, pour le point D', est approximativement au milieu de l'arc ab qui unit les pôles relatifs aux points A et B'.

121. Pressions su?* un mur de soutènement, — Nous cherchons l'état d'équilibre qui se produit au moment où le mur va céder ; dans cet état, les terres sont sur le point de glisser sur le mur. Si l'angle (p^ du frottement des terres sur le mur est égal ou plus grand que l'angle (f du frottement des terres sur elles-mêmes, la poussée sur le mur fera cet angle <f avec la normale. On ne peut admettre l'angle ç^j'car les terres ne seraient pas en équilibre ; il est bien évident que, dans ce cas, une mince couche de terre adhérera au mur et qu'il y aura glissement sur cette couche. Si la paroi intérieure du mur est plus ou moins polie, ce qui est bien certainement un cas exceptionnel, l'angle 9, est plus petit que 9 ; la poussée fait cet angle ç, avec la normale au mur, et l'on obtiendra l'angle u ou les directions' des caractéristiques en exprimant cette condition au moyen de l'épure circulaire.

Nous supposons (flg. 69) que Ton a déterminé la caractéristique AEGL, comme il a été dit plus haut ; on donne la surface intérieure ART du mur ; le long de cette ligne on ne connaît pas la pression, mais on connaît l'angle u. Soit ER une caractéristique du second système prolongée jusqu'à la surface du mur ; on peut tracer approximativement cet arc ER, car on connaît le point E, la tangente en E, et la direction de la tangente en R. On commettra ainsi une certaine erreur, car la courbure de l'arc ER peut être plus ou moins grande ; mais en prenant AE sufllsamnient petit, on pourra diminuer autant qu'on le voudra l'influence de cette erreur. Il faut remarquer, en eflet, que les pressions sur ER seront très petites ; si ER n'est pas exactement une caractéristique, on change les données du problème en se donnant ER comme caractéristique ; mais les erreurs commises sur des pressions déjà très petites, n'auront pas d'influence sensible sur l'état d'équilibre du massif. Ayant tracé l'arc ER, on déterminera la pression en R par l'une des équations des caractéristiques. On effectuera l'intégration graphique de cette équation en remplaçant l'arc par ses tangentes extrêmes, comme nous l'avons expliqué au numéro 118. On pourrait aussi subdiviser l'arc en plusieurs parties et appliquer l'intégration graphique à chacun des segments.

On construit ensuite la caractéristique GST ; on obtient le point S par la construction générale que Ton applique au quadrangle EGSR. On trace Tare ST comme on a tracé Tare ER et Ton obtient la pression en T,sans tâtonnement, par l'intégration graphique. On construit de même la caractéristique LUV, et ainsi de suite.

Nous avons dit que, presque toujours, la poussée fait avec la normale au mur, un angle égal à Tangle © ; on en conclut que la caractéristique du premier système est tangente au mur ; on en conclut que la paroi intérieure du mur touche les caractéristiques du système 1 et forme le contour apparent des surfaces qui représentent les fonctions p et u. Il peut cependant arriver que la paroi du mur se confonde avec la caractéristique ; ainsi, par exemple, connaissant les caractéristiques ER et EL,on peut déterminer la caractéristique RSN; on pourrait établir la paroi du mur suivant RSN ; la solution qui couvre Tangle curviligne NRV n'existe plus ; la paroi du mur est la caractéristique.

Lorsqu'on connaît les pressions sur le mur, le problème est complètement résolu, en ce qui concerne la poussée des terres ; mais on peut se proposer de prolonger la solution des équations aux dérivées partielles au-delà du contour apparent ; on doit alors construire deux nouvelles nappes des surfaces qui représentent les fonctions inconnues. En partant des points R et T, on peut construire le point M situé à l'intersection des caractéristiques RM et TM ; on voit que la caractéristique ER a un point de rebroussement. On construirait de même la caractéristique partant du point V, et ainsi de suite.

Il est facile de voir que la pression diminue en passant de la première à la seconde nappe. En effet, au point R, on a :

=^ 0, ^fs -=^^ au =^ 0, Sp = — 2p tang <p Su.

Cette équation différentielle montre que la tangente à la courbe (p, ?«) est la tangente à la spirale

— 2u tang f p == Ce

122. Butée des terres, — Nous supposons que sous l'effet de la poussée d'une voûte ou de toute autre cause, le mur AK (fîg. 74) tend à se renverser du côté des terres ; nous devons alors chercher un autre état d'équilibre limite que celui que nous avons considéré précédemment ; c'est l'état où les terres sont sur le point de se mouvoir vers le haut en cédant à l'action du mur. Plaçons-nous au point

B de la surface libre ; nous avons démontré que les directions des caractéristiques en B sont les mêmes que si le profil du terrain était la tangente en B prolongée indéfiniment. Menons, dans Tépure

Fig. 74.

circulaire, une parallèle Ob7) à la tangente en B ; en prenant le point ô' comme pôle des facettes, nous retrouverions la poussée des terres comme dans la figure 69 ; si dans cette figure, on représente la pression sur une ligne de glissement telle que BE, on voit qu'elle suppose le glissement vers le bas. Dans la figure 74, nous prendrons le pôle des facettes en b et si Ton représente la pression sur une ligne de glissement telle que BD, on reconnaît facilement qu'elle suppose que les terres glissent vers le haut. Remarquons aussi que la pression sur une face verticale est représentée par Se, elle est plus grande que sa conjuguée qui est la pression verticale représentée par Si'.

Nous trouverons de la même manière les directions des caractéristiques aux points A et C. Nous déterminerons successivement les points D, E, F et les points correspondants d, e, f de l'épure des pressions. Nous devons alors construire la solution FAK comprise entre le mur et la caractéristique ; nous supposerons que l'angle du frottement des terres sur le mur est égal ou plus grand que l'angle cp du frottement des terres sur elles-mêmes ; dans l'état d'équilibre que nous cherchons, les terres glissent vers le haut, sur la surface du mur, et la pression sur cette surface fait l'angle ip avec la normale. On en conclut que les directions des caractéristiques sont déterminées en tous les points de la paroi intérieure du mur ; l'une est tangente à cette paroi, l'autre est la direction de la pression ; d'après nos conventions, c'est cette dernière qui est la caractéristique du premier système.

Prolongeons la caractéristique BD jusqu'au mur en H ; nous pourrons tracer approximativement l'arc DH, car nous connaissons la tangente en D et nous connaissons l'angle que cet arc fait en H avec le mur. Nous trouverons alors la pression en H en intégrant l'une des équations de la caractéristique ; on remplacera l'arc par un polygone circonscrit. L'arc DH ne sera pas exactement tracé ; mais en prenant AD suffisamment petit, les pressions sur DH seront très petites et les erreurs commises dans l'évaluation de ces pressions auront peu d'influence sur l'état d'équilibre du massif inférieur. Les caractéristiques DH et DF déterminent une solution HDFG ; on calcule le point G, on en déduit le point K, et ainsi de suite.

Le mur forme le contour apparent des surfaces qui représentent les fonctions p et ii ; en approchant du mur, la pression augmente très rapidement ; c'était l'inverse dans la poussée des terres. Nous pouvons, comme précédemment, prolonger la solution au-delà du contour apparent ; les caractéristiques du premier système présentent des points de rebroussement situés sur le contour apparent.

Si l'angle cp» était plus petit que ©, le mur ne serait plus un contour apparent. L'épure circulaire permet, dans ce cas, de déterminer les directions des caractéristiques ou l'angle n en tous les points de la surface du mur. La construction des caractéristiques ne présente aucune difficulté.

123. Profil 7*ectUi(jne et mur plan, — Le profil du terrain est la droite AB (fig. 75) ; on demande de déterminer les pressions sur un mur plan AM ; sur la figure, AB est une ligne horizontale, AM est une ligne verticale, mais la méthode s'applique à d'autres directions. Nous trouvons d'abord, en ACB, une solution linéaire ; les directions

des caractéristiques sont données par Tépure circulaire ; les pressions sur la caractéristique rectiligne AC s'obtiennent par Téquation :

Fig. 75.

y. est la distance au premier talus naturel AT,. On construit alors la solution CAM par la méthode générale du numéro 121 ; on construit successivement les points E, G, K, N, R, M,et ainsi de suite ; les points correspondants de Tépure des pressions sont représentés

En appliquant le principe de similitude, comme au numéro 103, on reconnait que la solution ACM est une solution conique ; nous en concluons que les caractéristiques de même système sont semblables. Cette similitude ne sera pas parfaite dans l'épure, car l'arc DE n'est déterminé que par la direction de ses tangentes extrêmes, et l'on peut tracer une courbe satisfaisant à ces deux conditions et différant sensiblement de la caractéristique véritable. P]n nous donnant cette courbe DE comme caractéristique, nous modifions donc légèrement les données du problème, nous obtenons une solution qui n'est pas exactement conique. Nous admettons comme évident — il serait bien difficile de démontrer cette proposition mathématiquement — que les erreurs très petites commises sur les pressions le long de la courbe DE, exercent des influences très petites dans le massif inférieur ; les erreurs relatives qui affectent les pressions vont donc décroître indéfiniment au fur et à mesure que l'on s'éloignera de l'arc DE, et les caractéristiques seront déterminées avec une exactitude croissante. Supposons que l'on applique le principe de similitude en prenant un rapport très petit ; la longueur AD sera réduite dans ce rapport et la solution sera, par conséquent, rendue beaucoup plus exacte ; il parait évident que l'on obtiendrait l'exactitude absolue en passant à la limite. La solution obtenue est donc asymptotique à la solution conique exacte. Si on représente les pressions sur le mur en E, K, M, etc., les extrémités de ces pressions se trouveront sur une droite dans la solution conique exacte ; en réalité, on obtiendra une courbe asymptotique à cette droite, à cause des erreurs de l'arc DE. Dans l'épure de la figure 75, toutes ces erreurs disparaissent dans l'épaisseur du trait ; le lieu des extrémités des pressions ne parait pas différer d'une ligne droite ; mais la forme des caractéristiques se modifie légèrement. Nous devons cependant ajouter que nous avons déterminé la pression au point E de la manière suivante. Le rayon de courbure au point E de la caractéristique DE est égal à zéro ; nous avons remplacé l'arc par deux tangentes, en prenant la tangente en E deux fois plus petite que la tangente en D. Nous avons alors appliqué la construction exposée à la fin du numéro 119 et qui donne une plus grande approximation que la construction ordinaire. Nous avons représenté cette construction à une plus grande échelle en IHIV ; on voit que ày^ est partagé en deux parties que nous avons portées en pu et n'v dans l'épure des pressions. Il se fait que (îctte construction rai)ide donne exactement la pression au point V, ou du moins Terreur est trop petite pour être sensible sur réj)urc. De la pression eu V, nous avons déduit la pression au point E,

Nous avons, au numéro 115, étudié la variation des courbures le long d'une caractéristique rectiligne ; nous pouvons appliquer cette étude à la caractéristique AC do la solution conique. En intégrant réquation différentielle qui détermine la variation des courbures, nous avons trouvé une formule qui ne peut pas s'appliquer à une solution conique, car le rayon de courbure des caractéristiques semblables ne varie pas comme la distance au sommet ;- il faut donc en conclure que c'est la solution particulière

qu'il faut appliquer ici. Il résulte de là, que les arcs El), KF, MO ont en D, F, C une courbure égale à zéro.

En ces points, on a :

rfp = t: dy^ , du = o

rjp --= 7r oy^ ^ otf> -- 0.

Ces différentielles sont les mêmes pour la solution conique que pour la solution linéaire. Le long de la droite AC, les dérivées des fonctions^ et u sont donc les mêmes pour les deux solutions séparées par

cette droite ; la discontinuité n'affecte que les dérivées secondes.

On peut, quand il s'agit d'une solution conique, transformer la méthode générale de la manière suivante. On trace l'arc DE à une grande échelle et on en déduit l'arc FGK de même système ; on remplace alors l'arc DE par un arc semblable à FGK ; on efface ce dernier pour le construire avec plus d'exactitude en partant du premier arc perfectionné. On recommence plusieurs fois la même opération. 11 est facile de démontrer que le problème est résolu lorsque les deux caractéristiques sont semblables. En effet, entre les deux caractéristiques, on a construit une solution du problème de l'équilibre des terres, mais on ignore si la solution est conique et il faut la prolonger dans les deux sens. Soit r le rapport de similitude des deux courbes ; appliquons le principe de similitude au massif compris entre les courbes, en prenant comme rapports de simiUtude :

Il est facile de voir que l'on obtiendra la solution conique (;omplète.

La solution conique présente, au sommet, une particularité remarquable ; la fonction u prend une infinité de valeurs. Si l'on

représcnio cette fonction par une surface, en portant ses valeurs en ordonnée suivant une perpendiculaire au plan, cette surface contiendra un segment de droite projeté au sommet. La fonction /r. est discontinue, mais la discontinuité n'existe qu'au bord de la solution ; c'est ime discontinuité évanouissante analo<^ue au ressaut évanouissant.

124. Profil polygonal, — Soient (âg. 76) AB et BC, deux côtés consécutifs du profil du tei'rain supposé polygonal. Le premier côté AB commande une solution linéaire limitée par les caractéristiques AK et BE ; le côté BC commande une solution linéaire limitée par les caractéristiques BF et CF. Nous devons alors construire une solution déterminée par les deux caractéristiques BE et BP' de système opposé. Cette solution est une solution conique ; les caractéristiques de même système sont semblables et semblablement placées par rapport au sommet B. En appliquant la méthode générale, nous déterminerons le point (t à rinterse(îtion des caractéristiques KG et DG ; ces courbes seront d'abord déterminées assez grossièrement, mais en continuant -i^ l'application de la méthode générale, les caractéristi- »iues seront déterminées avec une exactitude croissante. En passant du point K au point D, les caractéristiques tournent dans Je sens du mouvement des aiguilles d'une montre ; on obtient en G des directions intermédiaires ; les caractéristiques sont donc concaves vers le sommet B.

La direction des caractéristiques est indéterminée au sonunet de la solution conique ; si par B on fait passer un rayon tournant de BK en BD, la direction des caractéristiques varie

Fi-.

en même temps que tourne ce rayon. La fonction a présente encore une discontinuité évanouissante.

125. Tahcs naturel. — Soit d'abord (flg. 77) un profil polygonal BAC comprenant un côté AB ayant une inclinaison peu différente de celle du talus naturel. Le côté AB commande une solution linéaire ABE ; on trouve les directions des caractéristiques BE et AE par l'épure circulaire ;. on reconnaît facilement que l'angle BAE est très petit et que BE diô'ére peu de la verticale. Le côté AC commande la solution linéaire ADC. On doit alors construire la solution conique déterminée par les deux caractéristiques AD et AE.

Nous avons représenté la construction des points F et /* ; la première approximation donne H et A ; la seconde donne F et /"; les différences sont assez sensibles, parce que les courbures totales des arcs sont assez grandes.

Slipposons que le côté AB prenne la direction du talus naturel ; la solution ABE s'évanouit ; on obtient une solution composée de la solution linéaire ACD et

Fig, 77.

d'une solution conique. Celle-ci est déterminée par la caractéristique AD et le talus naturel qui remplace AB ou AE et qui est aussi une caractéristique.

On voit que sous un talus plan, il régne, en général, une solution linéaire commandée par ce talus ; mais le talus naturel fait exception. La solution qui régne sous un talus naturel est indéterminée ; elle dépend du profil du terrain qui termine le talus naturel. Parmi ces solutions, la solution linéaire à caractéristiques rectilignes est

celle qui correspond au talus naturel indéfini ; les caractéristiques d'un système sont verticales, les autres sont parallèles au talus naturel. Si l'on suit une caractéristique verticale qui est du premier système, dans le cas du second talus naturel, on trouve la loi des pressions par l'équation :

dp ^ U dy, y p =^ n y, ,

Nous désignons par y^ la distance du point considéré au premier talus naturel mené par l'origine supérieure de la caractéristique que nous avons suivie ; mais c'est aussi la distance du point considéré au talus naturel réalisé.

Soit (fig. 78) TRV le profil du terrain comprenant une ligne horizontale TR et le talus naturel RV. Le côté TR commande une solution linéaire limitée à la caractéristique RU. Il s'agit de construire la solution déterminée par les deux caractéristiques RU et RV ; la pression p sur la caractéristique rectiligne RU est donnée par la formule

la pression sur la caractéristique RV est égale à zéro. On " obtient succe3sivement par la méthode générale, les points A, B, C, puis D, E, F, puis G, H et I ; les points correspondants de l'épure des pressions sont désignés par les petites lettres de même nom.

Menons une ligne horizontale VU' et déterminons les fonctions petule long de cette ligne, La solution est conique ; on connaît les pressions aux points C, B, E, H, G, I ; on en déduit par une quatrième proportionnelle, les pressions aux points correspondants de la ligne VU' ; ces pressions sont représentées par la courbe V U' tracée au bas de l'épure : cette courbe peut être considérée comme la coupe horizontale de la surface conique qui représente la fonction p. On peut mener les tangentes à cette courbe aux points U' et V. T»îous démontrerons, comme au numéro 123, que les dérivées des fonctions p et ^^ aux points des caractéristiques RU et RV sont les mêmes que dans les solutions linéaires ; les tangentes dont il s'agit sont les coupes des surfaces planes qui représentent la fonction^ dans ces solutions linéaires. Au point U' la tangente est horizontale ; au point V, on obtient la tangente en déterminant la pression en un point de U'V, dans la solution linéaire qui correspond au talus naturel.

Nous pourrions aussi représenter la fonction u en la portant en ordonnée comme la fonction p ; mais nous avons préféré déterminer.

Pig. 78.

par une courbe, les pôles des facettes. Au point C, la fonction u a la même valeur qu'au point C ; le pôle des facettes est le point c de répure circulaire ; nous prendrons comme point de la courbe Tintersection de la verticale du point C et de Thorizontale du point c. Cette courbe permet de trouver immédiatement le pôle des facettes pour un point quelconque du plan, et par conséquent les directions des caractéristiques et la fonction u. Aux points U' et V',les dérivées de la fonction u sont nulles comme dans les solutions linéaires ; les tangenU^s à la courbe sont horizontales.

Lorsqu'on construit les points des deux courbes, on est frappé de voir tous ces points se disposer sur des courbes d'une grande régularité ; c'est une preuve de l'exactitude de la méthode d'intégration graphique.

Prenons le point V comme centre du similitude ; adoptons un rapport croissant indéfiniment ; le point R s'éloignera de plus en plus ; la courbe VF sera remplacée par une courbe semblable qui aura pour limite la verticale VM. Si le point R s'éloigne à l'infini, on retrouve la solution linéaire à caractéristiques rectilignes.

Supposons un mur vertical VM ; on obtiendra la poussée sur le mur en construisant la solution MVF déterminée par la caractéristique VF et le mur VM. Cette solution disparait si le point R s'éloigne à l'infini ; la solution linéaire régne sur le mur. Nous avons transporté le mur VNM vers la droite et vers le bas de l'épure, afin de représenter les pressions sur le mur. La courbe représente les pressions pour le cas de l'épure ; la droite représente les pressions pour le êhs du talus naturel indéfini ; on voit que la différence est assez sensible.

Proposons-nous de déterminer les pressions sur un mur AB (ûg, 79) en supposant un talus naturel AC en pente vers les terres. Il s'agit de construire une solution déterminée par la caractéristique AC et le mur AB ; cette solution est conique. Si le profil du terrain était une droite menée par A dans l'angle C'AC formé par les deux talus naturels, on se trouverait dans le cas du numéro 123 ; on obtient alors une solution linéaire et une solution conique. La direction de la caractéristique de séparation est donnée par l'épure circulaire ; on reconnaît facilement que si la droite qui limite la section du terrain tourne dans un sens, la caractéristique de séparation tourne en sens contraire. Nous savons que si le profil du terrain est la droite indéfinie AC, la caractéristique est verticale ; la solution conique disparait si le mur est vertical. Si la droite limite tourne de AC vers AC, la solution conique occupe un angle de plus en plus

grand ; pour la droite AC, la solution conifjue règne dans toute retendue du massif, la solution linéaire disparait. C'est dans ce cas que la courbure totale de la caracîtéristique CB est la plus grande.

Pour dresser l'épure, nous avons commencé par tracer une caractéristique du second système près du point A, en adiiKîttant, comme au numéro 123, que les longueurs des tangentes extrêmes limitées à

Fig. 71».

leur intersection sont dans le rapport de un à deux ; mais nous avons trouvé que la courbure était trop grande pour intégrer l'équation des pressions par un seul arc. Nous avons tracé la courbe 1, 2, 3, 4, 5 au pistolet, puis nous avons divisé l'arc en quatre segments de même (courbure totale et nous avons déterminé les pressions. Nous avons alors construit par la méthode générale les points de la caractéristique 1, 6, et ceux de la caractéristique 1,7.

On constate que les caractéristiques ne sont pas rigoureusement semblables ; la différence est surtout sensible pour les courbes de répure des pressions ; la forme de la caractéristique i,6, est manifestement différente de la courbe 1,5 ; mais la troisième courbe est déjà presque semblable à la seconde. En représentant les pressions sur le mur, on trouve que les extrémités sont approximativement sur une droite passant par A. Cette droite est la solution du problème.

On voit, par cet exemple, que les erreurs commises dans le tracé de la première caractéristique s'évanouissent assez rapidement ; cela est conforme aux lois de l'équilibre ; les erreurs de pression sont commises sur des surfaces de peu d'étendue en comparaison des surfaces sur lesquelles on détermine les pressions.

126. Conto7i7* apparent et discontinuité finie. — Dans l'étude du mouvement varié des eaux, nous avons vu (83 à 89) que les caractéristiques d'un même système peuvent se couper et envelopper une courbe qui forme le contour apparent des surfaces hydrauliques ; on trouve toujours une solution continue (mais ir régulière), qui satisfait aux équations aux dérivées partielles ; mais elle est physiquement impossible ; on doit y substituer une solution présentant une discontinuité ou onde finie ; le mascaret est une onde finie de cette espèce. Un phénomène analogue peut se produire dans l'équilibre limite d'un massif pulvérulent. Supposons (fig. 80) un profil de terrain concave vers le haut et comprenant deux droites AB et B'A' raccordées par une courbe BCB'. Nous supposons que CK est un axe de symétrie ; il suffit de dresser l'une des moitiés symétriques de l'épure. La droite AB commande la solution linéaire ABL ; la courbe BOB' commande une solution BDB' ; nous devons alors construire une solution déterminée par la caractéristique BL et la caractéristique BD prolongée ou remplacée par Taxe de symétrie DK. On applique la méthode générale et rien de particulier ne se présente dans la construction de la caractéristique EFGHK. On détermine alors successivement les points M, N, P, R ; on trouve, que les caractéristiques GN et HP se coupent en un point S ; la caractéristique ER présente des arcs ordinaires LM et MN ; ensuite la courbe rebrousse de N en P ; elle rebrousse de nouveau deP en R. Nous avons construit, à gauche de

répure des pressions, Télévation EMNPR de la caractéristique ; la

Kig. 80.

courbe a une inflexion et deux éléments normaux au plan de la

figure qui soiit devenus verticaux par le rabattement ; la surface qui représente les pressions se décompose ea trois nappes partielles ; la nappe supérieure qui vient de la droite, la nappe inférieure qui vient de la gauche, la nappe intermédiaire qui est séparée des deux autres par deux contours apparents dont Tun est visible, l'autre invisible. Si l'on construit de même une élévation de la caractéristique EK et des caractéristiques intermédiaires, on trouve que la tangente in- Aexionnelie devient verticale et se projette en un point S qui est le point de rebroussement du contour apparent. On obtient approximativement ce point en cherchant le point d'intersection de trois caractéristiques consécutives du second système. On peut démontrer que la branche invisible du contour apparent \4eiit de l'infini. En appliquant la loi des courbures le long de la caractéristique BL, on trouve que la courbure est nulles, sauf au point B .; la caractéristique BL ne touche pas le contour apparent.

Cette solution continue est physiquement impossible, car on ne peut pas avoir trois pressions différentes au même point ; la véritable solution du problème est une solution à deux nappes séparées par une discontinuité finie. Nous étudierons plus loin les lois de la formation et de la propagation d'une discontinuité de cette espèce. Nous nous contenterons ici d'en expliquer la possibilité. De chaque côté de la ligne de discontinuité, la pression sur la surface de séparation doit évidemment être la même, mais les deux demi -ellipses de pression sont différentes ; les fonctions p et u subissent des accroissements finis en traversant la ligne de discontinuité.

Supposons (flg. 81) deux talus plans faisant un angle rentrant ABC. On doit construire une solution conique déterminée par les deux caractéristiques BD et BE formant un angle plus petit que 2a, complément de l'angle du frottement. Menons les caractéristiques HK, FK, et déterminons le point K. Construisons ensuite, par la méthode générale, la caractéristique KM, de même système que HD, et la caractéristique KN de même système que FE ; on trouve que KM coupe Hï) et que KN coupe FE. On

construit ensuite le quadrangle MKNR. Il y a évidemment deux contours apparents; si on détermine les courburesen H et en F,en remplaçantles arcs HK et KF par dés arcs de (cercles, on pourra appliquer la loi des courbures trouvée au numéro 1 15 etdéterminer kis points où les caractéristiques BD et BE touchent leur enveloppe. La solution ainsi obtenue n'est pas une solution conique ; cela provient de ce que nous avons déterminé HK et KF en nous contentant d'une approximation assez grossière. En substituant <à ces arcs des (^ourbes semblables à DMR et ENR, nous obtiendrons une solution plus exacte,eten continuant nous nous rapprochero^is de la véritable solution qui présensentera deux contours apparents rectilignes et passant par le sommet B. Il est assez inutile de construire exactement cette solution, car elle ne peut pas être réalisée ; c'est la solution présentant deux discontinuités finies qu'il faut construire ; nous reprendrons plus loin cette question. Nous pourrions appliquer ces considérations au problème de la butée des terres ; on reconnaît que pour la butée des terres, ce sont les profils convexes vers le haut qui donnent lieu à la production de contours apparents ou de discontinuités finies.