PROBLÈME DES DEUX MURS. SOLUTION CYUNDRIQUE

127. Problème des deux mi0's. Nous nous proposons de chercher les pressions qui se développent dans un massif de terre compris entre deux murs perpendiculaires à un même plan de symétrie. Soient (fig. 82) AE, A'E' les parois des deux nmrs, AA' la surface du terrain. La ligne AA' conmiande une solution ABA' qui est linéaire, si le profil du terrain est rectiligne. On construit alors la solution déterminée par la caractéristique AB et le contour apparent AC ; sur la hauteur AG, la pression est la même que si le second mur n'existait pas. On construit de même la solution A'BC. On construit ensuite la solution déterminée i)ar les deux caractéristiques CB et BC ; elle est limitée par le quadrangle CBC'D ; puis on construit les solutions ODE et C'DE' déterminées chacune par une caractéristique et un contour apparent. On continue indéfiniment de la même manière.

Cette méthode s'applique au cas où les profils du terrain et des murs sont quelconques ; mais nous allons traiter le cas où les parois des murs sont verticales et la surface du terrain horizontale. Alors il y a un axe de symétrie XY, le long

Fig. 82.

duquel oii «./.î.nait les directions dos caractéristiques ; on peut se borner a dresser la moitié de l'épure.

Nous avons représente flg. 8.3: les résultats que nous avons obtenus ; pour diminuer la hauteur du dessin, nous avons coupe 1 opure en deux i)arties par le pla.i H Y et nous avons relevé la partie mfcnet.re au niveau de la première partie. Les caractéristiques qui

Kl". 83.

^purent les solutions régulières sont représentées par unirait plus lou , ,.e sont AB, m. Cil qui est prolongée en HD. DE et EF. Les

courbes correspondantes de l'épure des pressions sont ob, bc, cd, de et ef. Nous avons ensuite porté en grandeur et direction, les pressions sur le mur ; l'échelle des pressions est deux fois plus petite, dans cette représentation, que dans l'épure des pressions. Les pressions sur le mur varient d'abord proportionnellement à la hauteur des terres ; on sait, en effet, que la solution ABC est une solution conique. En dessous du- point C, la pression croit de plus en plus lentement ; le dessin indique que les pressions tendettt vers une certaine limite. L'épure des pressions montre également que, dans toute l'étendue du massif, la variation des pressions avec la hauteur devient de plus en plus faible. Ainsi, quand on parcourt BCD, on trouve des pressions représentées par les courbes ftcrf ; l'accroissement de pression est bd. Quand on parcourt DEF, l'accroissement de pression n'est plus que df. En continuant, on trouve des accroissements de plus en plus petits, et les courbes analogues à de et ef tendent vers une limite commune telle que /^m. Il résulte donc du dessin, que les solutions qui se succèdent tendent vers une solution où les pressions et les fonctions jd, it sont indépendantes de l'altitude. Les pressions ou les fonctions p et u sont alors représentées par des cylindres à génératrices verticales. Nous ne pouvons pas démontrer l'asymptotisrae, nous le constatons ; mais nous pouvons déterminer mathématiquement la solution cylindrique.

128. Solution cylindrique verticale. — Prenons l'axe de symétrie comme axe des y et appliquons les équations générales de l'équilibre :

(A// +p.r.ysin«^ (11),

{Puv

— Ps.i) + P.ry —

àp.r.r

6co 6y

"P- ^ -pL ^n (13).

Nous devons chercher une solution ofi les pressions sont indépendantes de y ; nous poserons donc :

Les équations (1^2) et (13) peuvent alors être intégrées ; on trouve :

P.rx = CL

;)xi, «= n a? -f p.

Nous déterminerons les constantes en exprimant que, sur les deux murs, la pression fait avec la normale l'angle du frottement ; soit 21 la distance des deux murs ; on pose :

pour X -^ — /, Ptu = — Pxu- taûg cp, pour d? =- X, pjry =- pxx tang cp.

Ces deux équations donnent :

tang?

On a donc :

p^x = n X cotg (p Pj-u -= n a?

V si

En remplaçant œ par i 1, on obtient n les composantes de la pression sur les murs ; la pression elle-même est donnée par :

sm <p^ '

On arrive directement à cette formule en exprimant l'équilibre du massif compris entre les murs,deux plans horizontaux à l'unité de distance, et deux plans verticaux parallèles au plan de la figure et distants de l'unité. Les pressions sur ces deux systèmes de plans parallèles se font directement équilibre ; il doit donc y avoir équilibre entre le poids du massif et les réactions du mur ; on obtient les pressions sur les murs en décomposant le poids du massif suivant les directions connues des pressions à déterminer ; on retrouve la formule (40).

Il reste à calculer p^^ ; on l'obtient par la formule (11), qui donne :

Fig. 84.

1 4- sin* (p 2

sm 'f cos ç cos ?

VTT

On trouve deux valeurs pour cette pression ; on peut les représenter par un cylindre du second degré ; les murs forment le contour apparent ; c'est la nappe supérieure qui donne la solution du problème, car on voit facilement, dans la figure 83, que les pressions diminuent quand ou s'approche du contour apparent.

129. Caractéristiques. — Nous avons trouvé, au numéro 107, l'équation différentielle des caractéristiques sous la forme :

dy ^ — 2p,y ± (ff.r.r + Puu) Sin ( p COS tf

dx ■"" [p^^ — p^y + (jo^,, J^ p^y) sin* tp] ^ ^'

Nous obtiendrons la caractéristique du premier système, en prenant le signe supérieur ; en remplaçant les pressions par leurs valeurs tirées des équations (38), (39) et (40), on trouve :

dy i 4 / ^ — ^

= tang 9 +

dœ ^ é ' COS (p Y A + ^

Intégrons et déterminons la constante en exprimant que la caractéristique passe par le point :

.r = — ?., y -^ ; nous trouvons :

u '-= (x -1- /) tang (L H arc cos — r + \ / 1 — ""tt

On obtient les autres caractéristiques du nïême système en ajoutant une constante arbitraire.

On trouve les caractéristiques du second système en prenant le signe inférieur ; on trouve les mêmes équations, sauf qu'il faut changer le signé de x ; les caractéristiques du second système sont donc symétriques de celles du premier.

On construit facilement ces caractéristiques en transformant une cycloïde. Posons :

- :^ [y — {x + l) tang (p] cos 9.

Les équations prôcédeiUes ilevienneut :

/ arr cos

Traçons, de rori^ine comme centre, une circonférence de rayon ?. ; on a (flg. 84) :