COS CP
alors BF est l'ordonnée de la cycloïde ; his abscisses de la cvcloïde se portent sur la droite AB.
130. Épure des pressions. — Nous déterminerons Jes fonctions p et u en transformant les équations (38) et (39) au moyen des équations du numéro 109 ; on trouve :
-f- p tang ç> cos 2ic =-= W 1 cotg ^
cos ^
p tang © sin 2u -= Il œ,
La première donne Téquation de la courbe (p, ii) ; on a :
„ 1 cos' cp
sin 'f (1 + sin 'f cos 2it) ^
On construit facilement le dénominateur en projetant les rayons d'une circonférence ; on obtient alors p par une troisième proportionnelle ; c'est de cette manière que nous avons construit la courbe mn de la figure 83.
On peut aussi éliminer ii des deux équations précédentes ; on obtient l'équation de la surface cylindrique qui représente la fonction p ; c'est un cylindre du second degré.
Enfin, en éliminant jo, on trouve la fonction u ; oii obtient :
cos (u + a) 4 / ^' — ^ cos [it — a) V ?» -|- a?
On en déduit facilement
tang (te 4- a) et tang {ii — a) ;
ce sont les coefficients angulaires de la caractéristique ; on retrouve les valeurs déjà trouvées ; mais le radical doit être pris avec le signe moins.
131. iSoliction cylindrique inclinée, — Nous pouvons supposer un massif de terre compris entre deux murs parallèles faisant un certain angle 9 avec l'horizon ; en construisant l'épure, on constaterait, sans doute, que les pressions sur une même parallèle au mur tendent vers une certaine limite ; nous sommes ainsi conduit a chercher s'il existe une solution où les pressions, la fonction p et la fonction u sont représentées par des cylindres obliques. Prenons pour axe des y, un axe situé à égale distance des deux murs ; l'axe des œ sera perpendiculaire à l'axe des y. Les équations de l'équilibre du
massif que nous avons établies au numéro 101 ne sont plus applicables; le poids de Tuni té de volume donne, sur les axes des x et des y, les deux projections
— n cos 6 et n sin ; on trouve facilement que les équations deviennent :
dp.ru OX
op.
ru
=- — n cos e
opjry np
n^yy
OX
= n sin e
Cherchons une solution où les pressions sont indépendantes de y ; on a :
dp
op
uv
éy
Les équations de Féquilibre peuvent être intégrées ; on trouve :
p.,.,. = — n 0? cos 9 -|- « p.,.„ = n a? sin ô + ?
Fig. 85.
Nous déterminerons les constantes en exprimant que, sur les deux murs, la pression fait avec la normale Tangle du frottement ; soit 2/, la distance des murs ; nous posons
pour a? = — i , p.vv = — pj'.v tang q., pour X =-■-' + l , p.rv =" Pjc tang ?.
Ces deux équations donnent
a = n X sin 6 cotg (p, ^ = — n X cos tang cp.
On a donc :
p,j, =-: — n a? cos 9 -f- n X sin 9 cotg ^ Pjy -= n 0? sin 9 — n X COS 9 tang cp
Nous calculerons pyy par l'équation (11) rappelée au numéra 128 ; nous trouvons :
t'— ^ — ^— ï sm ç cotg ç — -.- sin 6
n X cos* ? V ^ /
+ Ar- ï/(l - -fr-l ^^" '6 - ^) ^^^ '^ + 'f^
' cos ? '^ \ '• y
On Reconnaît facilement que réquation (16), qui donne les directions des caractéristiques et que nous cavons rappelée au numéro 129, est encore applicable ; car les seconds membres des équations de l'équilibre n'y figurent pas. En remplaçant les pressions par leurs valeurs, on trouve après quelques calculs :
di/ .11/ sin (e ± cf ) ^ n^ 1^ 00
-^ =- ± tang? i ^^ Y sin (6 t <p) \'r±~^-'
Le signe supérieur s'applique aux caractéristiques du premier système, le signe inférieur aux caractéristiques du second système. L'intégration donne :
