sin (6 ± cp) f If œ
y^ ± X tang o + -^^ V"^ÎMM:"?r K ''''' "^~
Nous poserons encore :
y :f X tang f
>s cp Y '
sin (G ± a)
cos cp Y sin (ô :f '^) ' nous trouvons :
arc cos — > — -p
Les courbes (z, x) sont deux cycloïdes symétriques ; on reconnaît que le radical de l'équation (45) doit être pris avec le signe plus, par les considérations produites au numéro 128 ; on doit prendre le»
moitiés inférieures des deux cycloïdes. On doit alors multiplier les ordonnées z par le coefficient :
1 / sin (e ± T)
('OS ^ Y sin (9 If 'f)
réquation (45) devient linéaire. Ce résultat était à prévoir ; les murs ont alors l'inclinaison du' talus naturel ; en supposant la pression nulle sur le mur supérieur, on a un talus naturel libre ; la solution linéaire correspondante est une solution cylindrique ; le (îylindre se réduit à un plan. En s'approchant de ce cas limite, on trouve que les deux nappes partielles de la surface qui représente l'équation (45) tendent à s'appliquer Tune sur l'autre.
Nous pouvons encore introduire les fonctions p ei u dans les équations (43) et (44) ; on obtient :
—^ — -f- p tang 'j> cos 2u == — Il a? cos 9 + n X sin 9 cotg -:> cos ^ ^ ® • ^ '
p tang © sin 2w = Q a? sin 9 — Il X cos 9 tang (p. En éliminant 0?, on trouve :
n X sin (9 + cp) sin (9 — cpi ^ °^ sin G -f sin 9 sin (2w + 9) ^'^^^^
et porter les ordonnées ainsi transformées à partir des droites :
y .= ± J7 tang 2. -f" ^«
Les caractéristiques des deux systém es ne sont plus symétriques ; '\
on s'éloigne d'autant plus de la symétrie, que l'angle 9 s'approche de l'angle cp ; car alors les ordonnées j doivent être multipliées par un '
nombre très grand pour les caractéristiques du premier système, et I
par un nombre très petit pour les caractéristiques du second système.
L'équation (45) ne donne une solution réelle que si l'on a :
sin (0 — t) sin (9 + ?) ^0
Cette condition s'interprète en disant que l'inclinaison des nmrs doit être comprise entre celles des deux talus naturel. Nous trouverons l'un des cas limite en prenant
On peut aussi calculer jo et u en fonction de â? ; la fonction ;> est encore représentée par un cylindre du second degré dont on trouve facilement Téquation ; on trouve î^ en éliminant/? entre les deux équations. Si on multiplie la première par sin ©, la seconde par cos<p et si on divise la somme par la différence, on obtient, en prenant la racine carrée :
cos {il — a) I / /• + ^ i/ sin (9 - y) cos {u -{- a) >' — X sin (0 + 9)
Nous avons pris le radical avec le signe moins, parce que, dans la solution que nous cherchons, Tangle u -\- a est plus grand qu'un droit.
Pour avoir la première caractéristique, on remarque que :
ti -\- a =- u — a + 2a =-^ u — a -}" ( "5~ — ?
dy
= tang {il — a).
dx
cos (u — a)
cos {h -\- a) sin cp — tang {u — a) cos cp
On obtient la seconde en remarquant que :
dy
dx
= tang {u + «)»
cos {u — a) , / , X ; ; r- — siu C5 + taug m + o) cos 9.
cos (?^ + a) • ' » V I / T
On retrouve les valeurs écrites plus haut.
(A continuer).
M É MO ITR E
SUR
OKS
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
PAR
lngéDlf>iir lies Punts ec chaussées, Prores^eur à lUnlverslié de Uand.
