PRESSIONS AUTOUR D'UN POINT
92. Ellipsoïde des p'^essions, — Isolons un volume de terre infiniment petit ayant pour limite un point A et appliquons les six équations d'équilibre ; le poids de ce volume est du troisième ordre ; les termes qui contiennent les pressions sur la surface de ce volume sont du second ordre ; les pressions qu'il faut introduire diffèrent infiniment peu des pressions en A ; on en conclut facilement, en passant aux limites relatives, que les pressions en A sont telles qu'elles se font équilibre lorsqu'on les applique à une surface fermée quelconque. En appliquant cet équilibre au tétraèdre, on obtient la loi de l'ellipsoïde. Supposons le massif prismatique et n'étudions que les pressions situées dans une section droite ; alors les pressions autour d'un point sont telles qu'elles se font équilibre sur tout contour fermé ; on obtient la loi de l'ellipse des pressions ; c'est cette loi que nous allons établir directement.
93. Pressions conjuguées et pressions principales. considérons que des facettes perpendiculaires au plan de symétrie. Soient {fi^^, 58) : P la pression sur une facette AB, AC une facette parallèle à la pression P. Construisons le parallélogramme ABDC et exprimons que les pressions sur le contour fermé ABDC se font équilibre. Les pressions P sur les facettes AB et DC se font directement équilibre ; on en conclut que les pressions P' sur les facettes BD et CA doivent aussi se faire équilibre : doiîc elles sont dirigées suivant la droite qui joint
leurs points d'application et par conséquent sont parallèles à AB. Les pressions P et P' possèdent la propriété que chacune d'elle est parallèle à la facette pressée p5Mf IJ^iutre ; on les appelle pressions conjuguées.
Fi g. 58.
La pression P sur AB fait avec la normale h la facette qu'elle sollicite un angle i ; nous lui donnerons le signe plus quand il est décrit dans le^sens du mouvement des aiguilles d'une montre.
Faisons tourner la facette AB autour de A jusqu'en AG ; on voit que Tangle i change de signe ; il existe donc une facette pour laquelle l'angle 1 est égal à zéro. La pression jw, sur cette facette, est une pression normale ; en menant une facette parallèle h p^, on trouve la pression conjuguée jo, ; l'angle i est nul pour p, comme pour jo, ; il existe donc deux facettes qui sont perpendiculaires l'une à l'autre et pressées normalement : ces facettes et ces pressions sont dites principales.
95. Ellipse des pressions. — Soient [ûg. 59) AB et AC les facettes principales, jd, etPt les pressions sur ces facettes; nous 3upposerons :
et nous écrirons :
D'où l'on tire :
n^-^UZJ^
Fig. 50.
Soit à chercher la pression P sur une facette quelconque ; menons BC parallèlement à cette facette et exprimons que les pressions sur ABC se font équilibre. La pression sur BC doit faire équilibre aux pressions sur AB et AC. Mais on peut considérer l'autre face du plan BC, alors la pression sur BC change de sens ; elle est la résultante des pressions sur AB et AC.
Supposons d'abord une pression uniforme et égale à 77i sur les facettes AC et AB ; nous nous trouvons dJlns le cas d'un" liquide ; nous obtiendrons sur BC la même pression normale égale à m ; nous l'avons représentée par AI. Nous devons alors introduire la pression normale w sur AG et la pression normale -7i sur AB ; cette dernière équivaut à la pressio» n sur Cl). La résultante de ces
deux pressions nous donnera une pression normale n sur AD ; nous l'avons représentée par IP. La pression vraie sur B C supposé égal à l'unité, est alors :
Âp -= xr+ip,
Prolongeons IP jusqu'à la rencontre des pressions principales, en E et en F. Le triangle AIE est isocèle comme ayant ses côtés perpendiculaires à ceux du triangle AHB ; il en est de même du triangle AIF dont les cotés sont perpendiculaires à ceux du triangle AHC ; on a donc :
AI = IE«=IF=,m.
Or
IP «= n.
Donc
EP = 7n + n =-- p,,
FP =- m — n^p,,
EF ^p,+p,.
La figure AFIE peut être construite pour toutes les directions de la facette menée par A. Si l'on fait tourner cette facette autour de A, la normale AI tourne aussi autour de A ; la droite EF est une droite invariable dont les extrémités glissent sur deux ïixes rectangulaires ; le point P invariablement lié à cette droite, décrit une ellipse qui est Pellipse des pressions. Les demi-axes de cette ellipse sont les pressions principales.
95. Epio'e ch'cuhm^e, — Nous nous proposons de construire une épure donnant la pression en grandeur et direction sur une facette quelconque. Nous déterminerons l'orientation d'une facette par l'angle w qu'elle fait avec la pression maxima ; cet angle sera affecté du signe plus s'il est porté dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre. Nous avons «à déterminer, pour chîique valeur de &>, la grandeur de la pression P et l'angle i que fait cette pression avec la normale à la facette pressée.
Fig. GO.
Remarquons (flg. 59) que l'angle « est aussi l'angle de la normale AI avec la pression minima et que l'on a :
AIP --- 2fù.
Portons (flg. 00) la pression moyenne ?;i sur une droite ^xe AI ; portons l'angle 2'*) en AIP et prenons IP égal à n ; nous construisons ainsi un triangle AIP égal au triangle AIP de la figure précédente ; on aura donc la pression P et l'angle i. L'angle 2o> est porté dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ; mais l'angle i est porté en sens contraire. En faisant varier w de à 180^, le point P décrit une circonférence de rayon n ; on obtient toutes les valeurs de la pression P et de l'angle i.
Pour obtenir la pression sur une facette, on doit construire l'angle 2'j> qui- détermine le point P ; mais on peut rendre cette construction inutile. Joignons le point P à un point quelconque do la circonférence ; lorsque le rayon IP décrit l'angle au centre 2'j, le rayon OP ou son prolongement décrit l'angle inscrit w. Nous pouvons alors choisir le point de manière que le rayon OP donne la direction de la facette. Il suffit de réaliser cette condition pour une facette initiale en prenant par exemple OP, , parallèlement à la facette pressée par ^j, ; cette condition sera réalisée pour toutes les facettes. On peut alors considérer le point comme le pôle autour duquel on fait tourner la facette OP, on obtient la pression P et l'angle i portés en coordonnées polaires ; A est le pôle des pressions ; AI est l'axe initial, mais l'angle i est porté dans un sens contraire au sens dans lequel il est décrit.
96. Équilib?^ limite et fdcettes de glissement. — Si on fait varier w de à 180®, on obtient toutes les fiicettes ; le point P (fig. 00) part delà position P,, et décrit toute la circonférence; l'angle i croit à partir de zéro et passe par un maximum positif que nous désignerons par cp et qui est l'angle lAQ formé par la tangente AQ et la droite AI. Dans le triangle rectangle AIQ on a :
sin (p
Cette valeur de laugle i correspond à l*angle w déterminé par :
2« - AIQ = -^ y ;
d'où :
L'angle i diminue ensuite et change de signe en passant par zéro pour :
