TT OU

L'angle i passe alors par un minimum ou un maximum négatif dont la valeur absolue est la même que celle du maximum positif ; cette valeur — (p s'obtient en prenant :

ou :

Pour que les terres soient en équilibre, il faut que l'angle 9 soit égal ou plus petit que l'angle du frottement des terres. Il y a donc une infinité d'états d'équilibre. Mais nous considérons spécialement l'état d'équilibre d'un massif qui est sur le point de se mettre en mouvement ; alors l'angle ç> est déterminé ; il est égal à l'angle du frottement.

Les deux facettes qui correspondent aux valeurs ± 9 de l'angle i sont alors les facettes de glissement ; elles forment avec la pression maxima les angles :

Elles forment ensemble l'angle complémentaire de l'angle (p. Ces facettes sont représentées (fig. 00) par OQ' et OQ, la bissectrice de leur angle aigu par OP., la bissectrice de leur angle obtus par OP*.

Les pressions sur les plans de glissement sont deux pressions conjuguées ; en effet, la pression sur l'une des facettes fait avec cette facette Tangle complémentaire de Tangle © ; c'est précisément l'angle des deux facettes ; donc la pression sur la première facette est parallèle à la seconde.

Il est facile de démontrer que les bissectrices des angles © et — 9 formés par les pressions sur les facettes de glissement et les normales à ces facettes coïncident avec les bissectrices de l'angle droit des pressions principales. En effet, de l'équation qui donne les valeurs de w qui correspondent aux facettes de glissement, on déduit :

Or w désigne l'angle de la normale à la facette et de la' pression minima ; le premier membre de l'équation précédente2[est donc l'angle des bissectrices dont il s'agit avec la pression minima et ces angles sont de 45°.

Remarquons enfin que dans l'équilibre limite, toutes les ellipses de pression sont semblables ; on a, en effet :

sm CD =^ — I - »

1 — sin 'p ( T. ^

Toutes les épures circulaires sont aussi semblables ; et comme l'échelle des pressions peut être prise arbitrairement, la même épure circulaire convient à tous les points du massif. Cependant le pôle des facettes dépend du point autour duquel on étudie les pressions.

97. Retour aitx py^essioyis cotijugitées. — Donnons-nous la valeur absolue de l'angle i et cherchons les facettes et les pressions correspondantes. On trouve (fig. 00) les quatre points P, P', P", P'". Les points P et P' correspondent à deux facettes dont les angles de direction co et &)' satisfont à l'équation

AIP + AIP' TT

Or, les deux termes du premier membre de la dernière équation représentent les angles de la bissectrice de l'angle i avec la pression minima ; on voit que pour les points P et P' les bissectrices occupent des positions symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle droit des pressions principales. Ainsi en faisant varier l'angle w de à 90", on rencontrera deux valeurs égales de l'angle i. Cependant si l'angle i est égal à l'angle cp, les points P et P' viennent se confondre en un point unique Q et ces deux valeurs sont égales. La bissectrice de l'angle (p est sa propre symétrique ; elle se confond avec la bissectrice de l'angle des pressions principales.

Les points P" et P"' correspondent à deux valeurs égales et négatives de i. On sait que pour la pression conjuguée, l'angle i change de signe ; les points P" et P'" correspondent donc aux pressions conjuguées aux précédentes. Nous allons démontrer que les pressions AP et AP" sont conjuguées ; on démontrerait delà même manière que les pressions AP et AP"' le sont aussi.

p]n effet, les angles positifs o), &>', o)" qui déterminent les facettes correspondantes aux pressions AP, AP', AP" satisfont aux équations :

û) 4" w" =* TT.

On en déduit :

On reconnaît facilement que pour obtenir la conjuguée de la pression P', il faut laire tourner la facette de l'angle 90" + i ; on obtiendra donc la facette déterminée par l'angle w" ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarquons que AP" est égal à AP ; on peut donc dire que AP et AP' sont les grandeurs de deux pressions conjuguées ; mais pour Tune d'elles, l'angle i doit changer de signe.

98. Problème, — On suppose l'équilibre limite ; on donne, en un point, la pression sur une facette, trouver toutes les pressions autour de ce point.

Construisons l'épure circulaire à une échelle indéterminée. Prenons (fig. 60) la longueur AI arbitrairement ; traçons la droite AQ faisant

l'angle du frottement avec AI ; du point I abaissons la perpendiculaire IQ sur cette droite AQ et traçons du point I comme centre la circonférence de rayon IQ. On connaît la pression sur une facette ; on connaît donc, en grandeur et en signe, Tangle i que fait cette pression avec la normale à la facette. Construisons cet angle en lAP ; nous Tavons supposé positif. Nous iK)uvons alors faire deux hypothèses : supposer que la pression connue est représentée par AP ou supposer que cette même pression est représentée par AP' ; nous obtiendrons ainsi deux solutions du problème.

Dans le premier cas, Féchelle de Tépure sera déterminée par réquation :