SOLUTIONS CONIQUES
132. Equations différeyitielles, — Nous avons déjà mis les équations de la solution conique sous la forme de deux équations différentioUes et d'une équation finie (numéro 103). Nous obtiendrons ces équations sous une forme plus commode en partant des équations (23) et (24) du numéro 110 qui lient les fouettions p et u. Changeons de variables indépendantes en posant
^ = R cos 0, y — R sin 9.
Ce changement de variables indépendantes s'effectne par les règles connues. Nous poserons ensuite dans les nouvelles équations aux dérivées partielles
' Voyez tome xxii, pnges 85-214, et tome r, troisic'-me série, pages 135-220.
11 ne restera plus que les dérivées des fonctions q et a par rapport à la variable ; on obtiendra les deux équations différentielles ordinaires suivantes :
'do ^ diC\
-| — 2^ tangç j sin (w — a — 0) --— Il cos (u + «)— g cos {u— a— 6)
( ^ + 2 g tang ç -^ sin (w -f a — 0) = Il cos {u - a) — g cos {u -f a — 0)
Nous pouvons aussi arriver à ces équations par une voie beaucoup plus rapide, en introduisant les nouvelles variables dans les équations différentielles des caractéristiques, c'est-à-dire dans les équations (20) et (22) du numéro 109. Pour la première caractéristique, nous avons :
rfp = 2 jo tang (^ du — II ds cos {u + a).
Nous avons posé
on en déduit :
dp ==^Kdq-\- qdK
Substituons et divisons ensuite l'équation de la caractéristique par R rf0, nous trouvons :
dq dR ^ ^ du „ ds
-rfT +?-Rdé =.2îtangcp -H — cas (u + a).
La tau'^ente à la première caractéristique fait avec Taxe des a?, l'angle u — a, et avec le rayon vecteur l'angle
On a donc :
-Rdê =-<^otg(t.-a-0),
ds 1
RdQ sin (w — a — 0)
On trouve alors facilement l'équation (47) ; on obtient l'équation (48), en transformant l'équation de la seconde caractéristique par des calculs analogues.
Résolvons les équations (47) et (48) par rapport aux dérivées ; nous trouverons des équations de la forme :
dq Y du Z
dh
dQ
Nous écrirons :
rf9
dq
dii
X =- — 2 sin (u a — ^6) sin {ic + a — 6) )(^%
Y =- n cos <p cos {2u — 0) + î sin {2îc — 26) * '2q Z tang 9 =-- Il [sin — sincp sin (2 u — 6)] — q cos (p
On obtient d'abord les valeurs de Y et de Z sous des formes un peu différentes ; iji y a quelques calculs faciles à effectuer ; on doit se souvenir que Ton a :
cp + 2a -- • ^ 2
Nous nous occuperons plus loin des singularités qui se présentent lorsque Ton a :
Ecartons provisoirement ce cas. On sait qu'alors les équations (49) ont une intégrale générale contenant deux constantes arbitraires que l'on peut déterminer en se donnant les valeurs initiales des fonctions inconnues ; on sait aussi que cette solution est continue par rapport à ces valeurs initiales.
On peut aussi introduire la pression p le long d'une caractéristique, en remplaçant dans les équations (49)
P q par
Il y a alors une fonction inconnue de plus : c'est le rayon vecteur de la caractéristique ; mais il y a aussi une équation nouvelle qui
est :
rfR
^-^ - cotg (M IF a — 0).
En faisant varier les conditions initiales, la caractéristique se déforme donc continûment.
La solution linéaire que nous avons rencontrée précédemment (104) est aussi une solution conique ; nous devons la retrouver parmi les solutions des équations (40j. Pour y arriver, voyons si l'on peut satisfaire à ces équations en supposant ft constant ; posons
dit =
nous trouvons :
sinG - sincp sin {2it — ô)
cos
Il faut alors vérifier que cette valeur satisfait <à l'équation :
dq Y
dQ
c'est ce que l'on constate après des calculs aîjsez longs mais qui ne présentent aucune difliculté.
133. Courbu7''e des caracté7Hstiqi(£s. — Nous nous proposons de calculer les rayons de courbure r et p des deux caractéristiques en un point A du plan (fîg. ^(S), On a, pour la caractéristique du second svstème,
1 dn
d'y RdO
rf(T
sin (fi + a — b)
En éliminant d/j, on tire la valeur de p d'une équation que l'on
])eut mettre sous la forme :
R du
p sin {îi -\- a — G)
rfG
Soient : F le centre de courbure de la caractéristique AB du second système, E la projection de ce centre sur le rayon vecteur OA ; l'équation précédente donne :
R du Z
AE
On arrive au même résultat en prenant la caractéristique du pre-
Ki;<. Sei.
inier système. On eu conclut que les centres (h courbure îles deux caractéristiques se trouvent sur une même perpendiculaire au l'ayon vecteur du point considéré.
En remplaçant les coefficients X et Z par leurs valeurs, nous trouvons :
R Q}' — j)) C0SC5
AH — 4 sin {fc -[- a — 0) sin {n — (i — 0) p tan^- z»
Nous avons nuiltiplié les valeurs de X et de Z par R,et nous avons posé :
,, „ sin -- sin c5 sin (2u - 0^ ;>=--7R-^llR ' (51).
(,'OS z-
On voit par l'équation C50) cpiey/ est la pression dans la solution linéaire qui admet la valeur de it au point A comme valeur constante de ii.
L'équation qui donne le point E peut encore être simplifiée ; on a :
