AE AK

— sin (^(i -\- (t — 0) sin {a —a — Oj =-^ • .. *

Ar Ail

En exi)rimant de deux manières la surlace du triangle flAF, on obtient :

AF. AH cos '2> ^- PIF. AE.

Le produit des sinus devient alors

— sin in. -\- a — ^) sin Ut — (i — 0) — -irrr cos 2;.

En portant ce i)roduit dans l'équation (jui détermine Al^], on obtient

H F \p tang 'f

On peut facilement calculer ou construire IIF et trouver les deux centres de courbure.

134. Chfssi/'ica.lioïi des nappes. — Nous avons supposé, dans la figure 8i>, ((uiî le rayon vect(îur se^ trouve dans l'angle aigu des caraci,éristi(|ues ; cette disi)osition subsiste dans une certaine étendue du plan conqu'isc entre deux rayons vecteurs ; à cet angle corres-

l)Oiid une certaine partie de la surface conique qui représente la pression p; nous dirons que c'est une nappe de première espèce. Elle est caractérisée par la condition

X = — 2 sin (w + a — 6) sin {zi — a - G' > 0.

Le signe de du : rfô est alors le signe de Z ; on a :

du pour p < p\ -^ > 0,

du pour p > p\ -^^ <0.

Dans le premier cas, que nous appellerons le cas des faibles pressions, les caractéristiques tournent leur concavité vers le sommet ; c'est ce que nous avons supposé dans la figure 86. Dans le cas des fortes pressions, les caractéristiques tournent leur convexité vers le sommet ; l'équation (52) donne alors une valeur négative HF ; on obtiendrait aussi une valeur négative de AE ; ces valeurs négatives indiquent que AE et HF changent de sens.

Nous dirons que la nappe est de seconde espèce, si l'on a en tous ses points

X = — 2 sin {il -]- a — ) sin (n — a — 6) < 0.

La dérivée de tt est alors de signe contraire à Z ; on a

, du ^ pourjt}>/9', -^ >0,

, du ^ ^OMTp<p\ -^ <0.

L'équation (52) est toujours applicable ; seulement les points F et H sont du même côté par rapport au rayon vecteur. En résumé, les caractéristiques tournent leur concavité vers le sommet pour les nappes de première espèce à faibles pressions et les nappes de seconde espèce à fortes pressions. Les caractéristiques tournent leur convexité vers le sommet dans les deux autres cas. La droite HF est dirigée suivant le rayon 6 + tt, quand elle est positive ; elle change de sens en changement de signe.

135. Intégration graphique. — Lorsqu'on donne les valeurs ini-

tiales des fonctions inconnues, on peut appliquer, aux équations (49), plusieurs méthodes d'intégration approchée. On obtient une première approximation en supposant les accroissements égaux aux différentielles, on perfectionne le calcul en employant la méthode des trapèzes ou d'autres formules de quadrature approximative. On peut aussi résoudre la question en traçant la caractéristique d'un certain système ; on trace un petit arc de cette courbe en la remplaçant par son cercle de courbure ; on calcule la pression à l'extrémité de l'arc et on en déduit un second cercle de courbure ; on perfectionne le tracé de l'arc en utilisant les deux rayons de courbure ; on trace les arcs successifs de la même manière.

La méthode qui nous a paru la plus commode est la suivante : elle consiste à déterminer les arcs d'une caractéristisque par la méthode générale. On donne les fonctions p et ic au point A (flg. 87) ; on les obtient immédiatement pour un second point B du rayon vecteur oA, car u ne change pas le long du rayon vecteur, et la pression varie comme la distance au sommet. En partant des points B et A, on détermine le point G situé à l'intersection des caractéristiques BC et AC et les fonctions p et te en ce point. On prend un second point D du rayon OC ; on en déduit un point E et ainsi de suite. Nous n'avons pas représenté l'épure des pressions.

En continuant cette construction, on s'aperçoit que les rayons vecteurs forment, avec les caractéristiques du premier système, un angle de plus en plus petit ; on obtiendrait donc des arcs de plus en plus petits de la caractéristique du second système. Cela résulte de ce que, dans le cas que nous avons choisi, la solution se termine, à droite, par une caractéristique rectiligne OF.

Pour construire cette caractéristique, on essaie une position OF ; on remplace l'arc EF par deux tangentes ; on construit la pression en F de deux manières, en suivant l'arc EF, puis en suivant la caractéristique OF. Le problème est résolu, si l'on trouve la même pression. On trouvera généralement deux pressions différentes ; en déplaçant F, les extrémités de ces deux pressions^ décriront deux

Kilt. 87.

courbes qui se couperont à rextréniito de la pression cherchée. En général, la position d'essai peut être assez rapprochée de la position exacte, pour que ces courbes puissent être remplacées par des droites.

D'autres dispositions peuvent se présenter : la caractéristique que l'on construit peut toucher le rayon vecteur, qui forme alors contour apparent ; elle peut aussi présenter un rebroussement en coupant le contour apparent. On obtient le point de contact ou de rebroussement par tâtonnements.

13G. Caractéristiques rectilignes. — Nous avons écarté le cas ofi Ton a :

Dans ce cas les déi'ivécs des fonctions , inconnues se présentent sous une forme indéterminée. Nous allons cherchei* 1(îs valeurs des variables qui satisfont à ces trois équations ; nous les prendrons comme valeurs initiales et nous calculerons les intégrales dans les environs de ces valeurs.

La première équation donne :