X -- — 2 siu {ff, — a — 0; sin i,a -{-a
on peut annuler le premier ou le second sinus ; on trouve les deux résultats :
u rp a -^--^ 0.
Cette ériuation exi)rime ({ue le rayon vecteur est une caractéristique ou un contour api)arent. Si les valeurs de Y et de Z ne sont pas nulles, on trouve :
dq du
rfQ — rfO
le niyou vecîteur est un contour apparent.
Si on égale Y et Z à zéro, on trouve deux équations qui se réduisent à une seule ; lorsqu'on remplace u par sa valeur tirée de la précédente, on obtient :
q ^ :p n cos i'^ -1; 2f(],
On arrive plus vite à ce résultat en partant des deux équations (47) et (48) ; ces équations donnent toujours des valeurs finies et
(lôlermiuées pour les dérivées, lorsque les sinus des premiers membres ne sont pas nuls. Si on «annule le premier sinus, rôquation (47) donne des dérivées infinies qui deviennent indéterminées, lorsque le second membre est égal à zéro ; les deux équations se réduisent à la seconde. Si on annule le second sinus et le second membre de l'équation (48), les deux équations se réduisent à la première. On retrouve ainsi les deux valeurs de u et de q écrites plus haut.
Il est facile de reconnaître que ces valeurs de la fonction rj appartiennent à une caractéristique. Ainsi pour une caracitéristique rectilignedu premier système, l'équation (20) du numéro 109 devient successivement:
dp = — II ds cos {ft -\- a) ■= — Il dR cos (ff> 1- ff),
p ^- — n R cos (0 -[- 2a), (/ -- — n cos (0 + 2a).
Pour une caractéristique du second système, il faut changer le signe de II et de a; on retrouve les valeurs précédentes. Ainsi donc les dérivées se présentent sous^une forme indéterminée lorsque l'on donne une caractéristique rcctiligne comme conditions initiales.
Pour fixer les idées, prenons, comme conditions initiales, une caractéristique du premier système; les valeurs initiales satisfont aux deux équations :
fCo — a — 0,, = 0, q -- — n sin (Oo -f 2a) (."34).
Remplaçons, dans les équations (47) et (48),
ti par Uo -\- lù, e par Q„ + 0,
q par qo + q ;
les accroissements if., 0, q seront supposés assez petits pour être négligés vis-à-vis des quantité.:; ordinaires. Les deux membi'es de l'équation (47) s'annulent pour les valeurs initiales ; pour les valeurs voisines, nous les réduirons au premier ordre ; comme si, ^r, 0, q étaient des infiniments petits ; nous trouverons :
1|- - 2q, tang '^ ~^^\ {?f. ~ 0) =- Il ?c sin (2a + 9 J — q (55).
L'équation (48), dont les membres ne s'annulent pas pour les valeurs initiales, devient
4 + 2î. tang » -^ == ncos^o^::go.ços2^ ^^^^ wà m sm %a
Intégrons, nous trouvons
, „ . . n cos ^o — ^o cos 2a ^
y + 2gotang(p,?«-— r-~ 6;
sin 2a
la constante est nulle, car les deux membres se réduisent à zéro pour la caractéristique initiale. Eliminons q de la première équation différentielle, au moyen de l'intégrale qui précède ; de nombreuses réductions se produisent lorsqu'on tient compte de l'équation (54) ; on supprime le facteur commun
— 4 g'o tang tp, et l'on obtient l'équation
ai
dont l'intégrale générale est :
6 = M log
Revenons aux anciennes notations, nous aurons :
— 00 =- (^^ — Uo) log (57)
, « . / \ n cos Oo — îo cos 2a ,^ ^ \ /-o\
? -- îo + 2go tang (p {u — Uo) — . / (0 — 0o) (o8)
sin 2a
Il résulte de là que les solutions coniques qui ont une même caractéristique rectiligne dépendent d'une constante arbitraire ; il y en a une infinité. Cependant, l'indétermination des dérivées initiales n'est qu'apparente ; on tire en effet des équations précédentes :
du \ ,. u — Uo
rf0 y - ^^o
dq\ ,. ? — Ço n cos Oo — Qo cos 2a
' = lim
rfe y 9 — ^^ sin 2a
Les dérivées des fonctions u et q et par conséquent les dérivées de la fonction p sont indépendantes de la constante ; elles sont les mêmes pour toutes les solutions coniques qui contiennent la caractéristique donnée. L'une de ces solutions est la solution linéaire ; on l'obtient en prenant
log C =- ± X , car l'équation (55) donne alors
tt = IL
Si donc nous formons une solution irréguliére au moyen do deux solutions coniques ayant une caractéristique rectiligne commune, il n'y aura pas de discontinuités dans les dérivées premières. Pour avoir des discontinuités dans les dérivées premières, il faut que l'une au moins des deux solutions ne soit pas conique.
137. Calculs complémentaires, — On peut objecter, aux calculs précédents, que l'on ne connaît pas l'influence, sur les intégrales, des petites erreurs commises dans les équations différentielles. Nous donnerons une signification plus précise aux résultats obtenus en ajoutant quelques calculs complémentaires.
En introduisant une variable auxiliaire, on peut mettre les équations (49) sous la forme
d^ dq du
dt ' dt ' dt
Nous pouvons développer les seconds membres, par la formule de Taylor, en partant des valeurs initiales qui déterminent une caractéristique ; comme ces seconds membres sont nuls par ces valeurs initiales, on a :
de
— « 9 — 0o) + ô C? — ?o) + c {U — Uo^ +...
dt
Nous désignons encore par 9, g, u les accroissements, et nous aurons :
—rr =^ ^*Q + ^? + ^^^ +••• et deux autres équations semblables. Si d'abord on fait abstraction
des termes représentés par des points, on obtient trois équations linéaires que Ton sait intégrer par une méthode connue. On pose
œ -^ Cf. e + p.q -{- y te et l'on chercîhe dans quel cas, on a :
dt
On trouve une équation cubique en / et l'on obtient trois fonctions linéaires a?, ?/, .t, que l'on prend comme variables nouvelles ; les équations dilterentielles sont de la forme indiquée et s'intègrent facilement.
On peut interpréter géométriquement la substitution linéaire qui conduit à l'intégration. Portons les variables 0, u, q en coordonnées cartésiennes; on trouve un point M et un vecteur (ÛT. En portant lesjrois dérivées sur les trois axes, on obtiendra un autre vecteur OM' et Ton a :
