OA

l'espace des points M' se réduit à un plan que nous prendrons comme ["plan des (y, «). A la racine double correspond une droite

que nous prendrons comme axo des // ; Tiixe des j sera une droite quelconque du plan double. Les équations difrérentielles deviendront :

dx dy dz

HT ^^' ^r =' •" ^' -rfT =^- ■■'2' + •"^-

Le coefficient de z dans la troisième équation doit être égal au coefficient de y dans la seconde, parce que ce n*est que dans ce cas que les droites doubles du plan des (y, z) viennent se confondre sur l'axe des y.

On peut alors remplacer :

p. di par — — »

en changeant de variable auxiliaire ; on a alors : dœ ^ dy ^ dz

-df ^ ^' ^-^ -y'^sr =«y -^ ^

Nous ne produisons pas le calcul de la substitution linéaire, parce qu'il s'effectue par des règles connues ; en outre, cette substitution peut se déduire très rapidement des résultats du numéro précédent. Dans les deux méthodes, nous îivons admis la même approximation ; les résultats ne peuvent ditFérer que par l'introduction de la variable auxiliaire.

Nous avons posé :

, =: X = — 2sin {it — a — 6) sin {tt -^ a — <)). En développant le second nombre, on obtient :

dt

= — 2 (u — 6) sin 2a + .

Nous changerons de variable auxiliaire de manière h obtenir en réduisant le développement à son premier terme :

dQ

L'intégrale de Téquation (56) nous indique qu'en posant

n cos 6y — Ço cos 2a q + 2qoU tang 9 ^.^^ ^^^ ^ ^ 4 Qo œ tang cp

nous aurons :

dt

L'intégrale de l'équation (56) nous a permis d'éliminer q de Téquation (55) ; si on reprend ce calcul en portant dans l'équation (55) la valeur de q tirée de l'équation précédente on fonction de it, et x, on arrivera au môme résultat, sauf que le second membre aura eu plus le terme :

— Aqooc tang(p,

terme qui se réduira à x, après la suppression du facteur commun. L'équation différentielle en u et 6 sera donc remplacée par :

, du

Posons :

et introduisons la variable auxiliaire, nous trouvons :

ai

Introduisons cette valeur de u dans la première équation différentielle, nous trouvons :

Posons

nous trouvons :

dz

^ -dt =-y+^-

En résumé, la substitution linéaire est définie par les équations :

I ^ . Tl cosBo — Qo cos 2a q + Ho «^ tang cp — -^-^ ^^qoX tang ç,

Sin £fCL

Les équations différentielles deviennent :

dx

dt

dy dt

. dz

dt ^

Si on prend comme valeurs initiales :

on trouve pour intégrales :

X ^ 0, y -=^ t, z^^ — Mog ^ + ^ lofiT C.

Nous aurions pu introduire une seconde constante et écrire

mais le nouveau résultat se ramène au précédent en changeant la variable auxiliaire.

Les équations de la substitution donnent :

pour 00=0, u=^y, 9 ==

On a donc :

u=^ t, = — nog ^ + nog G,

d'où Ton retombe, en éliminant t, sur le résultat du numéro précédent.

Repivuons maintenant les équations coniplètes, où nous supposons X, V, Z, remplaces i)ar leurs (iévoloppen)ents conver^'onts ; en appliquant la substitution linéaire, nous trouverons :

lU

dt ^

Les fonctions inconnues ne sont pas développables par la formule de Taylor quand on prend f comme variable ; nous venons de voir, en effet, que le terme le plus important de la valeur de .^ est

— tlogt + t tog C.

Pour rendre ce développement possible, nous emploierons la méthode de M. Picard * qui consiste à chercher des intégrales ordonnées suivant les puissances de :

y -=■- — t w =^ t log f.

On obtient les équations aux dérivées partielles :

CiT ^}j' ox

or oyr ofr '

or ^jio o/r ^' '