OZ

y-o V-sr Va.»

En differentiant par rapport à v et par rapport à /r, on trouve toutes les dérivées des fonctions inconnues pour les valeurs initiales

sauf cependant :

6r orn 6v

que Ton peut égaler à deux constantes ; nous avons vu que la pre-

* Traité d'Armlysc. par Picard, t. iir, pnj^a's 11) et 33.

mière constante peut disparaître en modifiant la variable auxiliaire; on prendra :

oir

rjV

— log C

et l'on obtiendra des développements dont les premiers termes sont les valeurs de œ, y, z écrites plus haut. On démontre que ces développements sont convergents, en les comparant à ceux que Ton obtient pour

On peut donc démontrer que les fonctions q, u, 6 peuvent s'exprimer par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

t et tlogt.

Si t est suffisamment petit, on peut se borner aux premières puissances ; les erreurs relatives seront aussi petites que Ton veut. On obtient alors les équations (57) et (58) du numéro précédent.

138. Génératrices d'arrêt, — Soit OA (flg. 88) la caractéristique donnée ; nous la supposerons du premier système et nous donnerons une valeur positive à la constante Ç de l'équation (57). Si nous faisons croître u à partir de Uo, cette équation nous donne une valeur IK)sitive de 6 — Gq. Nous en concluons que la caractéris- o

tique du second système, partant d'un point A de la caractéristique rectiligne , est une courbe AB tournant sa concavité vers le sommet de la solution conique.

Nous avons démontré (136) que les différentielles, au point A, des fonctions jo et w sont les mêmes que dans la solution linéaire ; la courbure, au point A, est égale à zéro. On en déduit facilement que l'angle e formé par le rayon vecteur et la courbe AB, décroit à partir du point A, car on a :

Fig. 88.

dî

rfe

L'angle OBA sera donc plus petit que l'angle 2a, si AB est suffisamment petit ; le rayon OB se trouvera dans Tangle aigu formé par les caractéristiques au point B ; il s'agit donc d'une nappe de première espèce. Elle est, en outre, à faibles pressions, parce que les caractéristiques sont concaves vers le sommet. Si dans l'espoir de prolonger cette nappe de l'autre côté de la caractéristique, nous faisons décroître u à partir de Wo, nous trouvons que l'accroissement de 6 est imaginaire, car il s'exprime par le logarithme d'une quantité négative. Nous voyons donc que la caractéristique est une génératrice d'arrêt. On peut dire aussi, en supposant que l'observateur regarde vers le sommet, que cette caractéristique limite à droite une nappe de première espèce à faibles pressions.

Pour obtenir des valeurs décroissantes de 9, il faut prendre une autre solution et donner une valeur négative à la constante 0. Alors l'accroissement de 9 n'est réel que pour u décroissant. Les accroissements de 9 et de w sont toujours de même signe ; la caractéristique de second système tourne encore sa concavité vers le sommet. La dérivée de l'angle g a toujours la même valeur ; mais comme 9 décroit, l'angle e croit. Il résulte de là que le rayon OC, si AC est suffisamment petit, se trouve dans l'angle obtus formé par les caractéristiques au point G. La caractéristique du premier système limite alors, à gauche, une nappe de seconde espèce et à fortes pressions.

Nous pouvons appliquer le même raisonnement à une caractéristique rectiligne de second système ; l'équation (57) est applicable sans modification. Il faut remarquer que si on se plaçait de l'autre côté du plan, la caractéristique OA serait de second système ; en construisant une figure symétrique de celle que nous avons construite, par rapport à la verticale du sommet, nous obtiendrons la représentation d'une caractéristique rectiligne du second système et des nappes qu'elle limite. Les nappes à gauche deviennent les nappes à droite et réciproquement.

En résumé, les nappes à caractéristiques convexes vers le sommet n'ont pas de caractéristique rectiligne. Les caractéristiques rectilignes sont des génératrices d'arrêt. Les nappes de première espèce à faibles pressions peuvent être limitées à droite par une caractéristique rectiligne du premier système, à gauche par une caractéristique rectiligne du second système. Les nappes de seconde espèce à fortes pressions peuvent être limitées à gauche par une caractéristique rectiligne de premier système et à droite par une caractéristique rectiligne de second système.

139. Caractéristiques voisines. — On peut établir approximativement les équations des caractéristiques d<ans les environs d'une carac-

téristique rectiligne. Prenons (flg. 88) la caractéristique OA comme axe des œ et un axe des y mené par perpendiculairement à OA ; soient (œ, y) les coordonnées d'un point B d'une caractéristique de même système que OA ; on peut écrire approximativement :

L'équation (57) devient :

- = y log ^-

Cette équation est homogène ; on peut l'intégrer par la méthode connue. On peut aussi la ramener à une équation de Clairaut en prenant log x pour variable indépendante ; posons donc :

d log

*AJ -

obtient

log

en différentiant

dv ( lo£

En égalant le premier facteur à zéro, on trouve

ce qui donne l'intégrale générale

y -^a log ^.

En égalant le second facteur à zéro, on trouve

— 21)2 — ce qui donne Tintégrale singulière

Si dans l'intégrale générale, on fait croître :v indéfiniment, on obtient :

V = 00 , lim "^ = 0.

Les caractéristiques du premier système forment une famille de courbes homothétiques qui ont une branche infinie sans asymptote, et pour laquelle la tangente à Tinfini est parallèle à la caractéristique rectiligne.

La solution singulière représente une droite tangente aux caractéristiques du premier système ; c'est un contour apparent. Mais les résultats de cette analyse ne peuvent être acceptés comme approximatifs que si cette droite fait un angle très petit avec la caractéristique rectiligne. On retrouve aussi ce contour apparent en discutant réquation (57) ; on trouve facilement que 6 — 0o passe par un maximum pour

ce qui donne

On trouve aussi

On trouve le minimum de l'angle

i = a-\- u — 9, en prenant

?/ — Mo =« — i y

ce qui donne

La caractéristique du second système ABDE présente un rebroussement sur le contour apparent. On peut aussi établir Téquation approximative de cette caractéristique. Prenons le point A comme origine, et la tangente en A comme axe des œ ; on peut écrire approximativement, dans le triangle OAB,

on a encore